第七章7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)具體實(shí)例，理解取有限值的離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念.2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.3.掌握方差的性質(zhì)以及兩點(diǎn)分布的方差的求法.

核心素養(yǎng)：數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.新知學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的均值是一個(gè)重要的數(shù)字特征，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢(shì)”.因?yàn)殡S機(jī)變量的取值圍繞其均值波動(dòng)，而隨機(jī)變量的均值無(wú)法反映波動(dòng)幅度的大小，所以我們還需要尋找反映隨機(jī)變量取值波動(dòng)大小的數(shù)字特征.

6789100.090.240.320.280.076789100.070.220.380.300.03

思考：怎樣定量刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量取值的離散程度？我們知道，樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度，它是通過(guò)計(jì)算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來(lái)實(shí)現(xiàn)的.一個(gè)自然的想法是，隨機(jī)變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來(lái)度量呢？……

隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.現(xiàn)在，可以用兩名同學(xué)射擊成績(jī)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)刻畫(huà)他們射擊成績(jī)的穩(wěn)定性.由方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義，兩名同學(xué)射擊成績(jī)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為

在方差的計(jì)算中，利用下面的結(jié)論經(jīng)常可以使計(jì)算簡(jiǎn)化.

典例剖析

例6投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如下表所示.

股票A收益的分布列

股票B收益的分布列收益/元02概率0.10.30.6收益/元

012概率0.30.40.3（1）投資哪種股票的期望收益大？（2）投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)較高？

點(diǎn)評(píng)：（1）在實(shí)際中，可以選擇適當(dāng)?shù)谋壤顿Y兩種股票.使期望收益最大或風(fēng)險(xiǎn)最小.（2）隨機(jī)變量的方差是一個(gè)重要的數(shù)字特征，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度，或者說(shuō)反映隨機(jī)變量取值的離散程度.在不同的實(shí)際問(wèn)題背景中，方差可以有不同的解釋.例如，如果隨機(jī)變量是某項(xiàng)技能的測(cè)試成績(jī)，那么方差的大小反映了技能的穩(wěn)定性；如果隨機(jī)變量是加工某種產(chǎn)品的誤差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果隨機(jī)變量是風(fēng)險(xiǎn)投資的收益，那么方差的大小反映了投資風(fēng)險(xiǎn)的高低；等等.隨堂小測(cè)

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