4.2.3多容過程的解析法建模

在過程控制中，由多個容積組成的被控過程稱為多容過程。1.有自衡

（1）無時延【例4－4】圖4-5所示為一分離式雙容液位槽，設(shè)Q1為過程輸入量，第二個液位槽的液位h2為過程輸出量，若不計第一個與第二個液位槽之間液體輸送管道（長度為L）所造成的時間延遲，試求h2與Q1之間的數(shù)學關(guān)系。

①自衡單容過程階躍響應(yīng)曲線②

雙容過程階躍響應(yīng)圖4-5分離式雙容液位過程解：根據(jù)動態(tài)物料或能量平衡關(guān)系，可列出下列增量化方程：式中：Q1、Q2、Q3為流過閥1、閥2、閥3的流量；h1、h2為槽1、槽2的液位；C1、C2為槽1、槽2的液容系數(shù)；R2、R3為閥2、閥3的液阻。T1:槽1的過程時間常數(shù)，T1=R2C1;T2:槽2的過程時間常數(shù),T2=R3C2分析：在圖4-5b示出了該過程的階躍響應(yīng)曲線。由圖可見，與自衡單容過程的階躍響應(yīng)(曲線①)相比，雙容過程的階躍響應(yīng)(曲線②)從一開始就變化較慢。這是因為在兩個槽之間存在液體流通阻力，延緩了被控量的變化。顯然，如果依次相接的容器越多，過程容量越大，這種時間延緩就會越長。1）雙容也可用單容過程近似，方法為：通過h2響應(yīng)曲線的拐點作切線，與時間軸交于A，與h2的穩(wěn)態(tài)平衡值h2()相交于c，c點在時間軸上的投影為B。這樣，雙容過程就可以用有時延的單容過程來近似。時間軸上的0A段即為純時延時間0，AB段為過程的時間常數(shù)T0。于是，近似傳遞函數(shù)可寫為:2)如果過程為n個容器依次相接、不難推出多容過程(n個)的傳遞函數(shù)為:式中，K0為過程的總放大系數(shù)；T1…Tn為各個單容過程的時間常數(shù)。若各個容器的容量系數(shù)相同，各閥門的液阻也相同，則有T1=T2=…Tn=T0，于是多容過程的近似也可按上述雙容近似單容的辦法進行。多容過程對象數(shù)學模型n容對象的是n階系統(tǒng)；對象的容量越大、階數(shù)越多，容量時延τc也越大。（2）有時延圖4－5中，若設(shè)槽1與槽2之間管道長度形成的時間延遲為τ1，則傳遞函數(shù)為：2.無自衡

【例4－5】

若將閥3改為定量泵，使得過程的輸出流量與液位高低無關(guān)，則【例4－6】圖4－6為一并聯(lián)式雙容液位槽。與圖4－5相比，Q2的大小不僅與液位h1有關(guān)，而且與后接液位槽的h2也有關(guān)，設(shè)圖中各個變量及參數(shù)與例4－4相同，試求h2與Q1之間的數(shù)學描述。圖4-6并聯(lián)式雙容液位過程解：根據(jù)動態(tài)物料平衡關(guān)系，可得如下增量化方程設(shè)閥2、閥3的液阻分別為R2、R3，可近似認為：Q3與R3成反比，與h2成正比，Q2則與R2成反比，與h1-h2成正比。故有相應(yīng)傳函為：T1=R2C1,T2=R3C2,T12=R3C1K0=R3

由圖可見，對前者而言，前一過程會影響后一過程，后一過程不會影響前一過程。對后者而言，前一過程影響后一過程，后一過程也影響前一過程。兩過程互為關(guān)聯(lián)。圖4-7雙容液位過程框圖討論：過程特性參數(shù)K、T、τ數(shù)學模型的過程特性參數(shù)K，T，τ？三個參數(shù)有什么樣的物理意義？在系統(tǒng)中所起的作用如何？Ｋ的物理意義是穩(wěn)定后系統(tǒng)輸出的變化量為輸入變化量的Ｋ倍。在實際系統(tǒng)中，要注意放大倍數(shù)的量綱。Ｋ

越大，表明該輸入信號通過對應(yīng)通道對輸出的作用越強。若有2個輸入變量作用于被控變量，則有兩個通道，對應(yīng)2個放大倍數(shù)。T

是標志輸出對于輸入變化響應(yīng)快慢的參數(shù)，越小響應(yīng)越快。T

的量綱是對應(yīng)流量的單位時間量綱。不同通道，T

是不同的。T

大，則系統(tǒng)響應(yīng)平穩(wěn)，系統(tǒng)較穩(wěn)定，但調(diào)節(jié)時間長。時間常數(shù)T當時，當時，當時，

對于一階慣性環(huán)節(jié)遲延時間τ滯后分為容量遲延和傳輸遲延。傳輸遲延τ0

由于物料的傳輸需要一定時間而產(chǎn)生的滯后。

q22hFτ0q1q1‘Rl容量遲延τc

由于系統(tǒng)中物料或能量的傳遞需要克服一定的阻力而產(chǎn)生的遲延。

實際控制系統(tǒng)中，遲延時間τ還表現(xiàn)為檢測儀表信號傳輸遲延，執(zhí)行儀表控制輸出遲延等形式；遲延時間的量綱應(yīng)該與時間常數(shù)T一致。遲延時間τ對控制是不利的。

4.3實驗法建立過程的數(shù)學模型試驗辨識法可分為經(jīng)典辨識法與現(xiàn)代辨識法兩大類。在經(jīng)典辨識法中，最常用的有基于響應(yīng)曲線的辨識方法；在現(xiàn)代辨識法中，又以最小二乘辨識法最為常用。問題的提出：大多數(shù)工業(yè)過程的機理模型是很難建立的，只有采用實驗建模。試驗辨識方法最常用的有三種：

響應(yīng)曲線法、相關(guān)統(tǒng)計法以及最小二乘法。響應(yīng)曲線法是指通過操作調(diào)節(jié)閥，使被控過程的控制輸入產(chǎn)生一階躍變化或方波變化，得到被控量隨時間變化的響應(yīng)曲線或輸出數(shù)據(jù)，再根據(jù)輸入－輸出數(shù)據(jù)，求取過程的輸入－輸出之間的數(shù)學關(guān)系。響應(yīng)曲線法又分為階躍響應(yīng)曲線法和方波響應(yīng)曲線法

4.3.1.1階躍響應(yīng)曲線法1）試驗測試前，被控過程應(yīng)處于相對穩(wěn)定的工作狀態(tài)一試驗注意事項2）在相同條件下應(yīng)重復多做幾次試驗，減少隨機干擾的影響3）對正、反方向的階躍輸入信號進行試驗，將兩次實驗結(jié)果進行比較，以衡量過程的非線性程度4.3.1響應(yīng)曲線法4）完成一次試驗后，應(yīng)將被控過程恢復到原來的工況并穩(wěn)定一段時間，再做第二次試驗5）輸入的階躍幅度不能過大，以免對生產(chǎn)的正常進行產(chǎn)生不利影響。但也不能過小，以防其它干擾影響的比重相對較大而影響試驗結(jié)果。一般取正常輸入信號最大幅值的10％。在進行階躍響應(yīng)試驗后,根據(jù)試驗結(jié)果先假定數(shù)學模型的結(jié)構(gòu),再確定具體參數(shù)。缺點:

實驗時往往會對正常生產(chǎn)造成影響。2.模型結(jié)構(gòu)的確定對于大多數(shù)過程來說，數(shù)學模型常?？山瓶醋饕浑A、二階及其時延結(jié)構(gòu)，即對于某些無自衡過程，常可近似看作此外，還可用更高階或其他較復雜的形式近似。但是，復雜的數(shù)學模型意味著復雜的控制，同時也使估計模型參數(shù)數(shù)目增多，增加辨識的難度。因此，在保證辨識精度的前提下，數(shù)學模型結(jié)構(gòu)應(yīng)力求簡單。3.模型參數(shù)的確定（1）由階躍響應(yīng)確定一階環(huán)節(jié)參數(shù)若過程的階躍響應(yīng)曲線如圖4-11所示，t=0時的曲線斜率最大，之后斜率減小，逐漸上升到穩(wěn)態(tài)值y()時斜率為零、則該響應(yīng)曲線可用無時延一階環(huán)節(jié)來近似。

圖4-11一階無時延階躍響應(yīng)對上式所示的一階無時延環(huán)節(jié)，需要確定的參數(shù)只有K0和T0，其確定方法通常有直角坐標圖解法和半對數(shù)坐標圖解法。1)直角坐標圖解法設(shè)階躍輸入變化量為x0，可求得一階無時延環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)為

(4-53)式中，K0為過程的放大系數(shù)，T0為時間常數(shù)。需要說明的是，由于實驗一般是在過程正常工作下進行的，只是在原來輸入的基礎(chǔ)上疊加了x0的階躍變化量，所以式(4－53)所表示的輸出表達式是對應(yīng)原來輸出值基礎(chǔ)上的增量表達式。因此，用輸出測量數(shù)據(jù)作階躍響應(yīng)曲線，應(yīng)減去原來的正常輸出值。也就是說，圖4－11所示階躍響應(yīng)曲線，是以原來的穩(wěn)態(tài)工作點為坐標原點的增量變化曲線。以后不加特別說明，均是指這種情況。另外,,以此斜率作切線，切線方程為，當t=T0時，有T0求法：Ⅰ作圖法：先由圖4－11定出y(∞),確定k0數(shù)值，再在曲線的起點t=0處作切線，該切線與y(∞)的交點所對應(yīng)的時間(圖上OB段)即為T0。K0求法：Ⅱ計算法：根據(jù)測試數(shù)據(jù)直接計算求得。因為取則圖4-11一階無時延階躍響應(yīng)則在曲線上找得上述幾個數(shù)據(jù)所對應(yīng)的時間t1、t2、t3則不難計算出T0。若求取的T0值有差異，可用求平均值的方法對T0加以修正

2)半對數(shù)坐標圖解法

直角坐標圖解法求取T0，是依靠在t=0處作階躍響應(yīng)曲線的切線來進行的。缺點:1)階躍響應(yīng)在起始階段數(shù)值較小，切線方向不易確定，因而誤差較大。

2)較難判定有時延還是無時延。在這種情況下，可采用半對數(shù)坐標圖解法求解。半對數(shù)坐標圖解法求解K0仍同上述，只是求取T0的方法不同。根據(jù)式(4－53)，可有上式兩邊取自然對數(shù)，可得上式說明：若以ln[y(∞)-y(t)]為縱坐標變量，t為橫坐標變量，該式表示一條直線。但需在半對數(shù)坐標紙上進行作圖。Lg[y(∞)-y(t)]圖4-12半對數(shù)坐標圖解法求T0通常半對數(shù)坐標紙的坐標軸是以常用對數(shù)（以10為底）值刻度的。上式需換算。由于所以根據(jù)試驗測試或從階躍響應(yīng)曲線上讀得的數(shù)據(jù)，在半對數(shù)坐標紙上作圖，所做曲線若是一條直線，該直線假定與橫坐標軸交于B點，與縱坐標軸交于A點，則有優(yōu)點:

可以很方便地判定所辨識的過程究竟是不是一階無時延環(huán)節(jié)。若是，則其階躍響應(yīng)必是一條直線。若不是一條直線，則在t較大時接近一條直線，在t較小時各點偏離這條直線，可能是二階及二階以上或有時延的過程特性。若多數(shù)點遠離直線，分布也無規(guī)則，這說明測試數(shù)據(jù)受干擾影響，應(yīng)進一步采取措施抑制干擾影響，提高測試精度，重新進行試驗測試。當曲線形狀為開始上升最快，最后達到平衡模型結(jié)構(gòu)選擇：一階慣性環(huán)節(jié)參數(shù)辨識方法：計算法：放大倍數(shù)：K=[y(∞)-y(0)]/x0時間常數(shù)：半對數(shù)圖解法：（2）由階躍響應(yīng)確定一階時延環(huán)節(jié)參數(shù)

過程響應(yīng)曲線在t=0時斜率幾乎為零，之后斜率逐漸增大，到達某點（稱為拐點）后斜率又逐漸減小，如圖4－13所示，曲線呈現(xiàn)s形狀。該過程可用一階慣性加時延環(huán)節(jié)來近似。傳遞函數(shù)為需確定三個參數(shù)：k0、T0、

求K0方法同上。求T0、如下所述：Ⅰ作圖法：在階躍響應(yīng)曲線斜率最大處（即拐點D處）作一條切線，該切線與時間軸交于C點，與y(t)的穩(wěn)態(tài)值y(∞)交于A點，A點在時間軸上的投影為B點。則CB段為T0大小，OC段為的大小。缺點：D點選擇主觀隨意性大，造成參數(shù)準確性差。此方法可能誤差較大，可采用如下計算方法求取。

當階躍響應(yīng)曲線上的拐點不易確定時，可直接取階躍響應(yīng)曲線穩(wěn)態(tài)值的28％和63％所對應(yīng)的時間t1和t2，再按下式計算滯后時間和時間常數(shù)T0。Ⅱ計算法：先將階躍響應(yīng)y(t)轉(zhuǎn)換為標幺值y0(t)，即則相應(yīng)的階躍響應(yīng)表達式為在圖中選取不同的兩個時間點t1<t2，分別對應(yīng)y0(t1)和y0(t2)。圖4-14階躍響應(yīng)曲線則兩邊取自然對數(shù)，有聯(lián)立求解可得：說明：

為了使求得的T0和更精確，可在圖4－17的曲線上多選幾個點，例如選四個點。并將每兩個點分為一組，分別按照上述方法求取各自的T0和值。對所求得的T0和再分別取平均值作為最后的T0和。如果不同組所求得的T0或值相差較大，則說明用一階環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)來近似不太合適，則可選用二階結(jié)構(gòu)近似。二階無時延傳遞函數(shù)：3由階躍響應(yīng)曲線確定二階環(huán)節(jié)參數(shù)需確定參數(shù)：K0、T1、T2確定T1、T2一般采用兩點法。二階無時延環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)為式中，x0為階躍輸入的幅值，可以利用階躍響應(yīng)上兩個點的數(shù)據(jù)(t1,y(t1))和(t2,y(t2))確定T1和T2。假定取y(t)分別為0.4y(∞)和0.8y(∞)(y(∞)=k0x0)，可從圖4－15上定出相應(yīng)的t1和t2，由此可得聯(lián)立方程該式的近似解為：采用上式確定T1和T2時，應(yīng)滿足的條件。表4-3高階過程的n與t1/t2的關(guān)系若，為二階環(huán)節(jié)（此時）若，則用高于二階的環(huán)節(jié)來近似。設(shè)n階環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)T0的確定可按下式近似求出式中的n可根據(jù)比值t1/t2的大小由下表查得。若，應(yīng)為一階環(huán)節(jié)n12345678101214t1/t20.320.460.530.580.620.650.670.6850.710.7350.75例：解：1、以一階慣性延遲環(huán)節(jié)為模型結(jié)構(gòu)：K=0.193m/單位階躍=0.193m/單位輸入；取y*(t1)=0.39，y*(t2)=0.63，從曲線上得到：t1=127.91s,t2=193.53s2、以二階以上慣性環(huán)節(jié)為模型利用兩點法估計二階慣性環(huán)節(jié)，K=0.193m/單位輸入。取y*(t1)=0.40，y*(t2)=0.80，得到：

t1=130.31s,t2=277.93s，算得：t1/t2≈0.46

T1=T2=95

兩種數(shù)學模型響應(yīng)曲線比較一階模型二階模型實際曲線4二階時延環(huán)節(jié)參數(shù)的確定純滯后：

由于物料或能量需要經(jīng)過一個傳輸過程而形成的，如皮帶運輸。容量滯后：

由于對象中包含多個容積所引起的，如化學反應(yīng)器。二階時延環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：需確定的參數(shù)為：T1、T2、K0、在圖4－18所示的階躍響應(yīng)曲線上，通過拐點F作切線，得純時延可以證得與有如下關(guān)系式中的，同時應(yīng)有T1+T2=Tc。求解上式（在T1+T2=Tc約束下）即可得T1和T2。K0的求法同上，而=0+c5無自衡過程的參數(shù)確定方法圖4-19無自衡過程階躍響應(yīng)數(shù)學模型：無自衡過程的階躍響應(yīng)隨時間將無限增大，但其變化速度會逐漸趨于恒定。去掉純滯后部分，則在輸入為階躍變化x(t)=x0*1(t)情況下，輸出變化速度將是一個常數(shù)x0/T0所以在圖4－19所示階躍響應(yīng)的變化速度最大處作切線，該切線斜率若測得為tanα，則有。由此，參數(shù)T0即可近似取得。至于遲后時間，可用圖上切線與時間軸的交點來近似取代。圖4-19無自衡過程階躍響應(yīng)（4）確定二階時延環(huán)節(jié)的參數(shù)二階時延環(huán)節(jié)階躍響應(yīng)曲線如右圖：傳遞函數(shù)為：需確定參數(shù)4個在階躍響應(yīng)曲線上，通過拐點F作切線得純滯后時間，容量滯后時間以及、的確定與前面所講的相同，而總的純滯后時間可以證明：與的關(guān)系為其中在的約束條件下，可以解得和這個方程為超越方程，求解比較復雜，通常采用圖解法自學圖解法4.3.1.2方波響應(yīng)曲線法方波響應(yīng)曲線法是在正常輸入的基礎(chǔ)上，施加一方波輸入，并測取相應(yīng)輸出的變化曲線，據(jù)此估計過程參數(shù)。通常在實驗獲取方波響應(yīng)曲線后，先將其轉(zhuǎn)換為階躍響應(yīng)曲線，然后再按階躍響應(yīng)法確定有關(guān)參數(shù)。如圖所示、輸出響應(yīng)由兩個時間相差t0、極性相反、形狀完全相同的階躍響應(yīng)的疊加而成。

所需的階躍響應(yīng)為t=0～t0階躍響應(yīng)曲線與方波響應(yīng)曲線重合t=0～2t0時，依次類推，即可由方波響應(yīng)曲線求出完整的階躍響應(yīng)曲線4.3.2最小二乘法4.3.2.1離散化模型與輸入試驗信號1．離散化模型（1）離散時域模型如果對被控過程的輸入信號u(t)，輸出信號y(t)進行采樣，采樣周期為T則相應(yīng)得到差分方程為（2）離散頻域模型離散頻域模型可用脈沖傳遞函數(shù)表示。對輸出離散序列進行Z變換其中：2．輸入試驗信號（1）輸入試驗信號的條件與要求為了使被控過程是可辨識的，輸入試驗信號必須滿足如下條件:1）在辨識時間內(nèi)被控過程的模態(tài)必須被輸入試驗信號持續(xù)激勵。2）輸入試驗信號的選擇應(yīng)能使辨識模型的精度最高；從工程的角度，輸入試驗信號的選取還要考慮如下一些要求：3）工程上易于實現(xiàn)，成本低。1）輸入試驗信號的功率或幅值不宜過大，也不能太?。?）輸入試驗信號對過程的“凈擾動”要??；（2）輸入試驗信號的選取白色噪聲作為輸入試驗信號可以保證獲得較好的辨識效果，但白色噪聲在工程上不易實現(xiàn)研究表明，最長線性移位寄存器序列（簡稱M序列）具有近似白色噪聲的性能3．M序列的產(chǎn)生M序列的產(chǎn)生通常有兩種方法，一是用移位寄存器產(chǎn)生，二是用軟件實現(xiàn)