地殼形變武漢大學(xué)許才軍第5章地殼應(yīng)力與應(yīng)變分析變形、應(yīng)變概念應(yīng)力分析基礎(chǔ)應(yīng)變分析基礎(chǔ)區(qū)域地殼運(yùn)動(dòng)應(yīng)變分析變形、應(yīng)變概念變形：當(dāng)?shù)貧ぶ袔r石體受到應(yīng)力作用后，其內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)經(jīng)受了一系列的位移，從而使巖石體的初始形狀、方位或位置發(fā)生了改變，這種改變通常稱為變形。位移的基本方式可以分為四種：平移、旋轉(zhuǎn)、體變和形變。

變形、應(yīng)變概念A(yù).平移B.旋轉(zhuǎn)C.形變D.體變平移和旋轉(zhuǎn)是指剛體的平移和旋轉(zhuǎn)，是物體相對(duì)于外部坐標(biāo)作整體的平移或旋轉(zhuǎn)。這種位移并不引起物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)位置的變化，因此平移和旋轉(zhuǎn)不會(huì)改變物體的形狀。體變和形變使物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置發(fā)生了改變，從而改變了物體的大小和形狀，即引起了物體的應(yīng)變。變形、應(yīng)變概念應(yīng)變：是物體在應(yīng)力作用下的形狀和大小的改變量(有時(shí)也包含一定程度的旋轉(zhuǎn))，所以應(yīng)變可理解為是表示物體變形的程度。地應(yīng)變：地殼是具有一定彈性的，當(dāng)作用于它的地應(yīng)力不超過(guò)地殼巖石的彈性強(qiáng)度時(shí)，就產(chǎn)生彈性應(yīng)變，稱為地應(yīng)變。2應(yīng)力分析基礎(chǔ)外力、內(nèi)力應(yīng)力的定義一點(diǎn)的應(yīng)力主應(yīng)力、主方向應(yīng)力場(chǎng)外力和內(nèi)力處于地殼中的任何地質(zhì)體，都會(huì)受到相鄰介質(zhì)的作用力。這種研究對(duì)象以外的物體對(duì)被研究物體施加的作用力稱為外力。由外力作用引起的物體內(nèi)部各部分之間的相互作用力稱為內(nèi)力。外力和內(nèi)力是一對(duì)相對(duì)的概念，當(dāng)研究范圍擴(kuò)大或縮小時(shí)，外力可以變?yōu)閮?nèi)力，內(nèi)力也可以變?yōu)橥饬Α＠?，?dāng)考察一個(gè)巖體內(nèi)的某個(gè)礦物顆粒的受力時(shí)，周圍顆粒對(duì)顆粒的作用力是外力；當(dāng)研究對(duì)象是該巖體時(shí)，周圍顆粒與該顆粒的相互作用力變成了內(nèi)力，而圍巖對(duì)巖體的作用力是外力；當(dāng)研究的對(duì)象擴(kuò)展到該巖體所在板塊時(shí)，圍巖與該巖體之間的相互作用力又變成了內(nèi)力，而相鄰板塊對(duì)該板塊的作用力是外力。

應(yīng)力是作用于固體上的外力或使固體發(fā)生變形的其它因素在固體中所產(chǎn)生的內(nèi)力的度量。

應(yīng)力如圖1（a），O是地殼內(nèi)的一點(diǎn)，在O點(diǎn)上取一確定的方向OP和與之成正交的面積元。朝OP方向的一方面稱為正方，反方向的一方稱為負(fù)方。正方的質(zhì)量作用于負(fù)方所有的力的合力為，當(dāng)趨近于零時(shí)，的極限稱為P點(diǎn)上通過(guò)面積元（法線方向是OP）的應(yīng)力，以公式表示為：（1）是一個(gè)向量。地殼中的每一點(diǎn)O和通過(guò)O的每一方向，都存在一個(gè)向量，它的作用方式是：如果通過(guò)O取一面積為、法線方向?yàn)镺P的小平面，正方的質(zhì)量將有一力作用于負(fù)方的質(zhì)量，負(fù)方的質(zhì)量也有一力作用于正方的質(zhì)量。圖1應(yīng)力的定義如圖1（b），過(guò)O點(diǎn)取一直角坐標(biāo)系O–xyz，設(shè)OP在Ox方向上，則在yz平面上；向量可以分解為成3個(gè)分量,,

它們分別在ox，oy，oz方向上。分量在ox方向上，與正交，稱為法向應(yīng)力；，在的平面上，稱為切應(yīng)力(剪應(yīng)力）。若通過(guò)一個(gè)面的法向應(yīng)力為正，稱為張應(yīng)力，為負(fù)則稱為壓應(yīng)力；張應(yīng)力將該面正方的質(zhì)量從負(fù)方的質(zhì)量拉開(kāi)，壓應(yīng)力使正方的質(zhì)量向負(fù)方的質(zhì)量壓縮。圖1正面上沿坐標(biāo)正向、負(fù)面上沿坐標(biāo)負(fù)向的應(yīng)力為正的應(yīng)力；反之為負(fù)的應(yīng)力。（圖上所示均為正應(yīng)力）應(yīng)力正、負(fù)規(guī)定(SignConvention)

x

z

y切應(yīng)力互等定理同理*其他應(yīng)力分量對(duì)z軸合力矩為零，圖上未標(biāo)出

xyz相互垂直兩微分面上的切應(yīng)力（與）大小相等，且同時(shí)指向或背向兩面的交線。稱為切應(yīng)力互等定理，即。如此，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由6個(gè)獨(dú)立分量描述：

xyz平面應(yīng)力狀態(tài)（PlaneStress）當(dāng)含有z方向分量的應(yīng)力都等于零時(shí)，稱為平面應(yīng)力狀態(tài)，此時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)由三個(gè)分量描述：

x

z

yo平面應(yīng)力狀態(tài)矢量是一階張量（Tensor）矢量A，在x－y坐標(biāo)系里可以用坐標(biāo)（X，Y）表示，在x’－y’坐標(biāo)系里可以用坐標(biāo)（X’，Y’）表示。它在新、老坐標(biāo)系里的分量有如下的轉(zhuǎn)換關(guān)系：yxAoXYx’X’Y’事實(shí)上，矢量是一階張量應(yīng)力的國(guó)際單位為帕斯卡（Pascal），簡(jiǎn)稱帕（Pa），即。

兆帕（Mpa）巴(bar)大氣壓(atm)公斤/達(dá)因/帕(Pa)1.0139.807常見(jiàn)應(yīng)力單位換算成帕?xí)r的系數(shù)表應(yīng)力的單位及其換算應(yīng)力矢量是與截面聯(lián)系在一起的，通過(guò)地殼巖石中的任一點(diǎn)，可作出無(wú)數(shù)個(gè)截面，因而存在無(wú)數(shù)個(gè)應(yīng)力矢量，一個(gè)應(yīng)力矢量不能代表一點(diǎn)的應(yīng)力。

一點(diǎn)的應(yīng)力一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是指某一瞬間作用于物體上的應(yīng)力情況，即過(guò)一點(diǎn)的所有截面的全部應(yīng)力矢量，才代表一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力矢的尾端構(gòu)成應(yīng)力橢圓

應(yīng)力矢的首端構(gòu)成應(yīng)力橢圓

應(yīng)力分量地殼內(nèi)一點(diǎn)O的應(yīng)力可以用下述9個(gè)應(yīng)力分量完全描述：

由于，，，一點(diǎn)上的應(yīng)力只需要用6個(gè)分量來(lái)描述。一點(diǎn)的應(yīng)力二維應(yīng)力

如圖（a)，過(guò)O點(diǎn)作一平面x=0，該面右方質(zhì)量作用于左方質(zhì)量單位面積的力的分量為和；同樣，如圖（b），過(guò)O點(diǎn)作一平面y＝0，通過(guò)該面單位面積的力的分量為和由于，這4個(gè)分量中只有3個(gè)是獨(dú)立的

.若通過(guò)O的平面的法線OP與Ox軸成傾角，如圖（d），則通過(guò)該面的應(yīng)力分量，

可以用，，表示為如下(2)式(J.C.Jaeger,1969):J.C.Jaeger,Elasticity,FractureandFlow:WithEngineeringandGeologicalApplications,J.W.ArrowsmishLtd.,Bristal,GreatBritain(1969).

（2）若坐標(biāo)軸ox，oy旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，成為ox′，oy′則相對(duì)于ox′，oy′的應(yīng)力分量，可利用（2）式分別就角度和(90°+)得出：

上面兩式相加，得出

這就是說(shuō)，如果兩軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，雖然和本身都變化了，但

+保持不變。方程（2）式完全描述了一點(diǎn)上的應(yīng)力隨著方向

變化的方式。

平面應(yīng)力狀態(tài)分析

物體上o點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)。沿方向取單元體，其上應(yīng)力由描述。若過(guò)該點(diǎn)取沿任意方位的單元體，其上應(yīng)力則由描述。目的是建立與之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。oo正平面應(yīng)力狀態(tài)下的任意斜截面上的應(yīng)力解析法－轉(zhuǎn)換方程面積dA平面應(yīng)力狀態(tài)的研究方法——解析法\圖解法楔形分離體的平衡－轉(zhuǎn)換方程力平衡方程：張量關(guān)系：注：此處的x’方向與截面法向重合（一般無(wú)此條件）楔形分離體的平衡－轉(zhuǎn)換方程力平衡方程：張量關(guān)系：注：此處的y’方向與截面切向重合（一般無(wú)此條件）主應(yīng)力、主方向微分（2）式得令其為零可得此時(shí)法向應(yīng)力為最大或最小；而此時(shí)切應(yīng)力為零。

上式定義了成正交的兩個(gè)方向（主方向），在這兩方向上，一點(diǎn)上的法向應(yīng)力一為最大，一為最小，切應(yīng)力為零。這兩方向構(gòu)成應(yīng)力的主軸，主軸上的應(yīng)力稱為主應(yīng)力，通常用和表示（＞）。

上式有兩個(gè)根，記為和，對(duì)應(yīng)的極值記為和。主應(yīng)力、主平面

主應(yīng)力、主平面將以上三角關(guān)系代入的表達(dá)式得面內(nèi)的最大、最小正應(yīng)力：

主應(yīng)力、主平面oIII面內(nèi)最大切應(yīng)力及作用面將對(duì)微分，并令其等于零得：表明面內(nèi)最大切應(yīng)力作用面與主平面成夾角。由于與的正切成負(fù)倒數(shù)關(guān)系，所以面內(nèi)最大切應(yīng)力及作用面面內(nèi)最大切應(yīng)力作用面與主平面成夾角。o主平面最大切應(yīng)力作用面o面內(nèi)最大切應(yīng)力及作用面將代入正應(yīng)力公式，最大、最小切應(yīng)力作用面上的正應(yīng)力為記兩個(gè)根為和，將代入切應(yīng)力公式，對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力極值為面內(nèi)最大切應(yīng)力及作用面求最大切應(yīng)力最小、最大切應(yīng)力處于與主應(yīng)力成45的截面上。

從后面講的應(yīng)力圓知識(shí)可知，最大主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)－45的截面上，也就是與x方向成－58.3的截面上,切應(yīng)力為正。6.714.04.0-6.7131.7ox13.3o45o45o應(yīng)力狀態(tài)的分類：(1).單向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中，只有一個(gè)不為零——簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)。(2).雙向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中，只有一個(gè)為零。(3).三向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力都不為零——復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。dzdxdyXYZOsysyszsztzytyztyztzytyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxzdzdxdyXYZOs1s2s3如果已知一點(diǎn)上的應(yīng)力狀態(tài)，就可立即得出主軸方向和主應(yīng)力值；再把主軸取作參考軸，來(lái)表達(dá)任一方向的應(yīng)力就簡(jiǎn)單多了。若一平面的法線與x軸成角，則通過(guò)該平面的法向應(yīng)力和切應(yīng)力為：

——拉為正，壓為負(fù)。

——單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為負(fù)。

應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力分析中，有一種重要的圖解方法，稱為應(yīng)力莫爾圓，它能完整地代表一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。如圖表示—點(diǎn)平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力莫爾圓，圖中，橫坐標(biāo)代表正應(yīng)力，縱坐標(biāo)代表剪應(yīng)力，圖中以C點(diǎn)為圓心，以CM為半徑的圓上的任何一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)就代表了二維空間中某一截面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力。

應(yīng)力莫爾圓討論單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為負(fù)

的表達(dá)式可寫(xiě)成兩邊平方并求加，消去得圖解法－應(yīng)力莫爾圓(一般情況)其中圖解法－應(yīng)力莫爾圓(一般情況)上式為一圓方程，圓心為C（a，0），半徑為R。取軸向右為正,軸向下為正。在該坐標(biāo)系中作圓，稱為應(yīng)力莫爾圓。圖解法－應(yīng)力莫爾圓（一般情況）作莫爾圓的步驟：以C

為圓心，CX

為半徑作Mohr圓。確定正x

面對(duì)應(yīng)的應(yīng)力點(diǎn)；

確定點(diǎn)C(a,0)

；

132莫爾應(yīng)力圓以C為圓心，CX

為半徑作圓。連接X(jué)

和Y

，與軸交點(diǎn)為C;

確定正y

面對(duì)應(yīng)的應(yīng)力點(diǎn)

確定正x

面對(duì)應(yīng)的應(yīng)力點(diǎn)

或

應(yīng)力莫爾圓證明：斜截面上的應(yīng)力因?yàn)樗詰?yīng)力圓上的點(diǎn)X的坐標(biāo)為（x，xy），與單元體x

面的應(yīng)力相對(duì)應(yīng)。應(yīng)力圓上X’的坐標(biāo)為（x’，x’y’），與單元體的x’面上的應(yīng)力相對(duì)應(yīng)。應(yīng)力圓上CX’與CX的夾角為2，是x’軸與x軸之夾角的2倍。應(yīng)力圓例題例：某點(diǎn)應(yīng)力x=40MPa，y=-20MPa，xy＝30MPa。

試用解析法和圖解法求主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。1，解析法2，圖解法=40MPa，=-20MPa，＝30MPax22.5IIIyxyxx’x”x”y”x”45°45°xyY(-20,-30)X’(52.43,0)X(40,30)C(a,0)45X’’(10,-42.4)Y’’(10,42.4)o45Y’(-32.43,0)三維應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力三維應(yīng)力狀態(tài)是應(yīng)力狀態(tài)的一般形式，就其研究的方法而言，同二維應(yīng)力狀態(tài)基本相似，下面通過(guò)例子來(lái)進(jìn)行分析。如圖所示：主平面單元體，其上的主應(yīng)力均為已知，要求單元體內(nèi)各截面的應(yīng)力。（1）分析與平行的任意斜截面abcd上的應(yīng)力。<a>用平面abcd將單元體一分為二，取左下部分為研究對(duì)象。<b>對(duì)圖b進(jìn)行受力分析：由上式可看出：1)斜面abcd上的應(yīng)力與單元體僅在結(jié)果完全相同，而與無(wú)關(guān)，即僅取決于我們可以得出：在平面內(nèi)，與該類斜截面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)于所確定的應(yīng)力圓上。作用下求得的。故而均位4)綜上所述：在位于應(yīng)力圓上，或位于由三個(gè)應(yīng)力圓所構(gòu)成的陰影區(qū)域內(nèi)。平面內(nèi)，代表任一斜截面上的應(yīng)力的點(diǎn)或2)同理，可得出：?jiǎn)卧w中與平行的各斜截面上的應(yīng)力位于同所確定的應(yīng)力圓上，與截面上的應(yīng)力位于平行的各斜所確定的應(yīng)力圓上。由3)可以證明：對(duì)于與三個(gè)主應(yīng)力均不平行的任意斜截面上的應(yīng)力〈見(jiàn)單元體圖中的efg平面〉它們?cè)诒匚挥谏鲜鋈龍A所構(gòu)成的陰影區(qū)內(nèi)。平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

由右圖可見(jiàn)：在三維應(yīng)力狀態(tài)下，最大，最小正應(yīng)力分別為最大，最小主應(yīng)力，即：最大剪應(yīng)力為：

又由于，故位于與均成的斜面上。注：上述結(jié)論，同樣適用于單向和雙向應(yīng)力狀態(tài)。5)討論：目錄應(yīng)力場(chǎng)：受力物體內(nèi)的每一點(diǎn)都存在與之對(duì)應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)，物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在物體占據(jù)的空間內(nèi)組成的總體，稱為應(yīng)力場(chǎng)。物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)相同時(shí)，組成均勻應(yīng)力場(chǎng)，否則組成非均勻應(yīng)力場(chǎng)。由于上覆巖石壓力

（式中，是巖石密度，是重力加速度，是距地表的深度）隨深度而變化及地殼巖石的非均勻性，地殼中不存在理想的均勻應(yīng)力場(chǎng)。構(gòu)造應(yīng)力場(chǎng)：由構(gòu)造作用造成的應(yīng)力場(chǎng)稱構(gòu)造應(yīng)力場(chǎng)。地應(yīng)力：地殼巖石中存在的應(yīng)力稱為地應(yīng)力。地應(yīng)力除了構(gòu)造應(yīng)力外，還有非構(gòu)造應(yīng)力，如有重力引起的應(yīng)力，地形引起的應(yīng)力，開(kāi)挖引起的應(yīng)力，人工載荷引起的應(yīng)力，等等。

應(yīng)力場(chǎng)古應(yīng)力場(chǎng)：在地史時(shí)期作用的應(yīng)力場(chǎng)稱為古應(yīng)力場(chǎng)(探討地殼運(yùn)動(dòng)規(guī)律，指導(dǎo)成礦預(yù)測(cè)等，具有重要作用)?，F(xiàn)今應(yīng)力場(chǎng)：現(xiàn)今作用的應(yīng)力場(chǎng)稱為現(xiàn)今應(yīng)力場(chǎng)(對(duì)于地震預(yù)報(bào)分析工作和工程場(chǎng)地穩(wěn)定性評(píng)價(jià)，具有重要的意義)。

應(yīng)力場(chǎng)的圖示：應(yīng)力場(chǎng)通常采用主應(yīng)力跡線和主應(yīng)力等直線、最大剪應(yīng)力等直線等來(lái)表示，有時(shí)也采用主應(yīng)力矢量圖表示。用應(yīng)力跡線和應(yīng)力等值線表示的應(yīng)力場(chǎng)A.剪應(yīng)力分布（等值線單位為Mpa）B．主應(yīng)力跡線C．最大剪應(yīng)力跡線

主應(yīng)力矢量圖表示應(yīng)力場(chǎng)非連續(xù)變形分析方法求得的華北地區(qū)主應(yīng)力分布圖3.應(yīng)變分析基礎(chǔ)應(yīng)變的定義應(yīng)變的度量均勻應(yīng)變與非均勻應(yīng)變

無(wú)限小應(yīng)變分析

二維應(yīng)變張量應(yīng)變的定義

當(dāng)一地塊受到應(yīng)力作用時(shí)，其中的質(zhì)點(diǎn)系O，P，Q，R的相對(duì)構(gòu)形將以某種方式發(fā)生變化。這種情況稱為該地塊經(jīng)受應(yīng)變。圖中的實(shí)線表示質(zhì)點(diǎn)系O，P，Q，R未受應(yīng)變的位置，虛線表示它們應(yīng)變后的位置，向量OO′稱為O點(diǎn)的位移。如果給出了一地塊中每一點(diǎn)的位移，那末該地塊的應(yīng)變狀態(tài)就完全清楚了。在應(yīng)變分析中，都是假定已知位移，來(lái)詳細(xì)研究應(yīng)變的性質(zhì)及其隨方向的變化。應(yīng)當(dāng)指出，這里所說(shuō)的應(yīng)變，是指地塊內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)構(gòu)形的變化；如果像剛體那樣，位移只是平移和旋轉(zhuǎn)，就不存在應(yīng)變。應(yīng)變有兩種量度：一是一條線的長(zhǎng)度變化，二是兩條線（或一條線和一平面）之間的角度變化，分別稱為線應(yīng)變和切（剪）應(yīng)變。

1、線應(yīng)變

設(shè)是兩相鄰點(diǎn)O和P之間的距離，是應(yīng)變后的相應(yīng)點(diǎn)O′和P′之間的距離，則線應(yīng)變定義為線應(yīng)變的符號(hào)為正（伸張）表示張應(yīng)變的符號(hào)為負(fù)（壓縮）表示壓應(yīng)變

應(yīng)變的度量2、剪應(yīng)變變形前相互垂直的兩條直線，變形后其夾角偏離直角的量稱為角剪切應(yīng)變或簡(jiǎn)稱角剪應(yīng)變。其正切稱為剪（切）應(yīng)變

物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變特征相同的應(yīng)變稱為均勻應(yīng)變。其特征是：應(yīng)變前的直線在應(yīng)變后仍然是直線，一組平行線應(yīng)變后仍然互相平行。物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變特征發(fā)生變化的應(yīng)變稱為非均勻應(yīng)變。其特征是：與均勻應(yīng)變相反，直線經(jīng)應(yīng)變后不再是直線，而成了曲線或折線，平行線應(yīng)變后不再互相平行。非均勻應(yīng)變又可分成連續(xù)應(yīng)變（變形）和不連續(xù)應(yīng)變（變形）：如果物體內(nèi)從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是逐漸改變的，則稱為連續(xù)應(yīng)變（變形）；如果是突然改變的，則應(yīng)變是不連續(xù)的，稱為不連續(xù)應(yīng)變（變形）。均勻應(yīng)變與非均勻應(yīng)變

非均勻變形連續(xù)變形

無(wú)限小應(yīng)變分析

定義的和是如此之小，以至它們的平方與乘積都可以忽視

二維無(wú)限小應(yīng)變按無(wú)限小應(yīng)變假設(shè)，視為無(wú)限小，則上式趨向一個(gè)極限同樣，可以導(dǎo)出一點(diǎn)在y軸方向的線應(yīng)變

如前圖所示，線段PS和PQ原來(lái)是垂直的，∠QPS=90°，形變后角度減小了，這兩線段交角的變化（在此情況下也是兩軸交角的變化）的正切，就是剪切應(yīng)變，以或表示，故

同樣，可以導(dǎo)出已知，和，可按下式求出任意方位角上的線應(yīng)變(Jaeger):第1剪應(yīng)變率：代表形變中東西向伸長(zhǎng)和南北向壓縮的純剪切部分，也可以認(rèn)為是一個(gè)走向?yàn)镹45°W的垂直面上的右旋剪切，或者是一個(gè)走向?yàn)镹45°E的垂直面上的左旋剪切。第2剪應(yīng)變率

：代表形變中北東-南西向伸長(zhǎng)和北西-南東向壓縮的純剪切部分，也可以認(rèn)為是一個(gè)走向?yàn)闁|西的垂直面上的右旋剪切，或者是一個(gè)走向?yàn)槟媳钡拇怪泵嫔系淖笮羟小?/p>

當(dāng)?shù)?剪應(yīng)變率為正時(shí)，表示地塊受到東西向伸長(zhǎng)、南北向壓縮的形變；為負(fù)時(shí)則相反。當(dāng)?shù)?剪應(yīng)變率為正時(shí)，表示地塊受到北東—南西向伸長(zhǎng)、北西—南東向壓縮的形變；為負(fù)時(shí)則相反。

3，面膨脹

矩形PQRS的面積為

形變后的平行四邊形PQ′R′S′的面積為

4，剛體旋轉(zhuǎn)角

如圖，PE為直角QPS的平分線；此直角形變后成為∠Q′PS′，角平分線PE形變后旋轉(zhuǎn)到PE′的方向，所旋轉(zhuǎn)的角度稱為剛體旋轉(zhuǎn)角

Q:剛體旋轉(zhuǎn)角是否引起點(diǎn)的相對(duì)位移發(fā)生變化？

最大最小主應(yīng)變

若平面坐標(biāo)系的y軸指北，則，和分別表示一點(diǎn)上東西方向和南北方向的伸縮率（線應(yīng)變）以及這兩方向之間的角度的變化（切應(yīng)變），這是一組應(yīng)變量。就任一地面點(diǎn)來(lái)說(shuō)，在方位角為的任一方向以及與其垂直的方向上，都有一組應(yīng)變量，和。按彈性力學(xué)理論，在這許許多多成對(duì)的方向中，存在著一對(duì)互相垂直的特殊方向，它們的線應(yīng)變分別達(dá)到最大值和最小值，稱為主應(yīng)變，按下式計(jì)算:二維應(yīng)變張量（具體推導(dǎo)）根據(jù)彈性力學(xué)理論，已知一點(diǎn)的應(yīng)變張量,則在該點(diǎn)沿方向的線應(yīng)變?yōu)?/p>

另有方向與重直,則

、

間的剪應(yīng)變?yōu)?/p>

如果與

x軸正向、y

軸正向的夾角分別為和即二維應(yīng)變張量則可得是否存在某個(gè)方向使得線應(yīng)變?nèi)〉脴O值？根據(jù)線性代數(shù)理論知道，這實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為求實(shí)對(duì)稱矩陣

的特征值問(wèn)題，即線應(yīng)變的極值

與極值方向滿足下列方程

Q:求極值的另一種方法！據(jù)此可得到的特征多項(xiàng)式

主應(yīng)變的計(jì)算公式為

求地殼主應(yīng)變的圖解法圓的方程

最大剪切應(yīng)變

取主軸為坐標(biāo)軸，則主應(yīng)變和可以表示為這一方程稱為應(yīng)變圓錐曲線。若和同符號(hào)，此曲線為橢圓；若兩者反符號(hào)，則為雙曲線；若，則為等軸雙曲線。

應(yīng)變橢圓

最大和最小應(yīng)變，分別是應(yīng)變橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸,長(zhǎng)軸的方位角按下式計(jì)算

三維應(yīng)變張量三維應(yīng)變張量應(yīng)變二次曲面，它的三軸是主應(yīng)變軸，主軸方向上的線應(yīng)變是主應(yīng)變體膨脹三維應(yīng)變張量利用三維應(yīng)變張量6個(gè)應(yīng)變分量可以對(duì)地殼應(yīng)變作全面的描述，提供更有地球物理意義的信息！應(yīng)變場(chǎng)的圖示：應(yīng)變場(chǎng)通常采用面應(yīng)變等直線、最大剪應(yīng)變等直線或（以及）主應(yīng)變矢量圖等來(lái)表示。應(yīng)變場(chǎng)的圖示面應(yīng)變等值線圖

非連續(xù)變形分析最大剪應(yīng)變等值線圖

非連續(xù)變形分析

有限元模型計(jì)算的中國(guó)大陸主應(yīng)變場(chǎng)

主應(yīng)變

非連續(xù)變形分析StrainRateofBlocks

區(qū)域地殼運(yùn)動(dòng)應(yīng)變分析1、應(yīng)變分析中所用的兩種基本數(shù)據(jù)2、應(yīng)變分析方法3、有限單元應(yīng)變分析法4、地形變資料求解應(yīng)變值的歸化

應(yīng)變分析中所用的兩種基本數(shù)據(jù)

(1)新、舊測(cè)量的原始觀測(cè)資料，(2)根據(jù)新、舊測(cè)量結(jié)果的比較得出的位移場(chǎng)。兩者優(yōu)缺點(diǎn)利用原始觀測(cè)資料時(shí)，要求新、舊測(cè)量的網(wǎng)形和觀測(cè)量都相同，因而其適用性受到一些限制；其優(yōu)點(diǎn)是，不依賴其他的觀測(cè)量，避免了監(jiān)測(cè)網(wǎng)平差中因基準(zhǔn)點(diǎn)設(shè)定不當(dāng)?shù)仍驇?lái)的影響。

利用位移場(chǎng)時(shí)，由于網(wǎng)中各點(diǎn)的位移向量是根據(jù)新、舊平差結(jié)果的坐標(biāo)之差得出的，為了使位移場(chǎng)能反映實(shí)際地殼應(yīng)變，把殘余的誤差影響化為最小，必須采取特殊的平差方法，例如自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差。其優(yōu)點(diǎn)是，所有的觀測(cè)量都可用于應(yīng)變分析，并不要求新、舊測(cè)量中的觀測(cè)量都相同，只是要求它們屬于同一大地基準(zhǔn)。此外，在求定位移場(chǎng)的平差過(guò)程中，可以濾掉觀測(cè)數(shù)據(jù)的粗差和估計(jì)觀測(cè)質(zhì)量；而且由各點(diǎn)位移向量的圖解，可以看出各點(diǎn)位移的趨勢(shì)。目前側(cè)重于利用位移場(chǎng)。

應(yīng)變分析方法均勻應(yīng)變場(chǎng)的位移分析法有限單元法（FEM）樣條函數(shù)擬合法不連續(xù)變形分析法（DDA）數(shù)值流形方法（FEM+DDA）均勻應(yīng)變場(chǎng)位移分析法設(shè)質(zhì)點(diǎn)P（，）無(wú)限接近的另一點(diǎn)M（,）經(jīng)變形后其位移分量的關(guān)系為：可推得位移與應(yīng)變的關(guān)系為：其實(shí)用公式為：Strainaccumulationandrotationratemodel(Jaeger,1964)

應(yīng)變累積和旋轉(zhuǎn)率模型RigidBodyTranslationVelocityofBlocks

StrainRateofBlocks

RotationRateofBlocks采用有限單元應(yīng)變分析法，就是把一個(gè)大區(qū)域分割成一些有限的小區(qū)。三角網(wǎng)和三邊網(wǎng)的基本圖形是三角形，把它作為有限單元比較方便。分別對(duì)各三角形進(jìn)行應(yīng)變分析，就可以得到接近于真實(shí)的地殼應(yīng)變情況。有限單元應(yīng)變分析法在應(yīng)用三角形直接計(jì)算應(yīng)變時(shí)，根據(jù)公式我們可以直接看到計(jì)算的結(jié)果與三角形的大小有明顯關(guān)系。另外，統(tǒng)計(jì)結(jié)果也