極限與連續(xù)第二章§1從阿基里斯追趕烏龜談起

——數(shù)列極限

公元前五世紀(jì),以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家芝諾(Zeno)用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識(shí),引發(fā)出以下著名的悖論：

如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場(chǎng)賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始,假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍,也永遠(yuǎn)也追不上烏龜.芝諾的理論依據(jù)是：當(dāng)比賽開始的時(shí)候,阿基里斯跑了1000米,此時(shí)烏龜仍然前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)100米時(shí),烏龜仍然前于他10米,…,

如此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來越近,但卻是永遠(yuǎn)也追不上烏龜?shù)?這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒有任何毛病.那么,問題究竟出在哪兒呢？

如果我們從級(jí)數(shù)的角度來分析這個(gè)問題,芝諾的這個(gè)悖論就會(huì)不攻自破.

我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》利用圓內(nèi)接正多邊形計(jì)算圓面積的方法--割圓術(shù)，就是極限思想在幾何上的應(yīng)用。一、數(shù)列概念割圓術(shù)

“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——(魏晉)劉徽割圓術(shù)正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積說明：劉徽從圓內(nèi)接正六邊形，逐次邊數(shù)加倍到正3072邊形得到圓周率的近似值為3.1416數(shù)列的定義例如稱為無窮數(shù)列,簡(jiǎn)稱數(shù)列.

說明：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)截杖問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”數(shù)列極限的定性描述Definition

如果n無限增大時(shí)，數(shù)列{an}的通項(xiàng)an無限接近于常數(shù)a，則稱該數(shù)列以a為極限，記做或如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.上例中，以0為極限的變量稱為無窮小量. 如每一項(xiàng)均為常數(shù)的數(shù)列稱為常數(shù)列. 常數(shù)列的極限仍是該常數(shù). 如數(shù)列{1,1,1,…}為常數(shù)列，且絕對(duì)值無限變大的變量稱為無窮大量，或稱其收斂于∞，或－∞. 如2n,-2n均為無窮大量，且為n→∞時(shí)的無窮小量播放數(shù)列極限的定量描述如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：定義總存在正數(shù)N,

不等式記為或幾何解釋:其中二、數(shù)列極限的性質(zhì)及收斂準(zhǔn)則定理1(唯一性定理)若數(shù)列{an}收斂,則其極限值必唯一．定理2(有界性定理)若數(shù)列{an}收斂，則{an}必是有界數(shù)列．定理3(保序性定理)設(shè){an},{bn}的極限存在,且,則存在正整數(shù)N,當(dāng)n＞N時(shí),有an＞bn.推論1(保號(hào)性定理)設(shè){an}的極限存在，且(或),則存在正整數(shù)N,當(dāng)n＞N時(shí),有an＞0(或an＜0)．推論2設(shè){an},{bn}的極限存在,若an≤bn(當(dāng)n＞N時(shí)),則．特別地,若an≥0(或an≤0),則[或].定理4(夾逼定理)設(shè)數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足xn≤yn≤zn(當(dāng)n＞N時(shí))，且,則．定理5(單調(diào)有界數(shù)列收斂準(zhǔn)則)單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限；單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限．即單調(diào)有界數(shù)列必有極限．§2函數(shù)極限一、自變量在有限點(diǎn)處的極限3.幾何解釋:說明：?jiǎn)蝹?cè)極限：左極限：右極限：解左右極限存在且相等,例4左右極限存在但不相等,例12證幻燈片33二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”？例5證幾何解釋:例7解例6解xy三、極限存在的函數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1函數(shù)極限的唯一性性質(zhì)2有極限函數(shù)的局部有界性推論1性質(zhì)3有極限函數(shù)的局部保號(hào)性注意推論2定理一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限§3 無窮小(量)定義以零為極限的函數(shù)(或數(shù)列)稱為無窮小(量).例如,注:1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混為一談;3.零是唯一可以作為無窮小的數(shù).2.稱一個(gè)函數(shù)是無窮小，必須指明自變量的變化趨勢(shì).無窮小和極限的關(guān)系:定理

變量u以A為極限的充分必要條件是：變量u可以表示為A與一個(gè)無窮小量的和。即limu=Au=A+a，其中a是無窮小

。證略.定理表明：

極限概念可以用無窮小量概念來描述.無窮小量的性質(zhì)：

1°

有限多個(gè)無窮小量之和仍是無窮小量；

定理2°

無窮小量與有界變量之積仍是無窮小量；

3°

有限多個(gè)無窮小量之積仍是無窮小量；

4°

無窮小量除以極限不為零的變量，其商仍為無窮小量。

例1解無窮大(量)定義

如果變量u在其變化過程中|u|無限增大，則稱u為無窮大(量)，記作

精確定義：1.無窮大量是一個(gè)變量，不可與很大很大的數(shù)混為一談；2.稱函數(shù)是無窮大量，必須指明其自變量的變化趨勢(shì)。注:證

得證.

xoy例2無窮大量與無界變量的關(guān)系(1)無窮大量顯然是無界變量；

(2)但無界變量不一定是無窮大量。例如數(shù)列

無窮大量與無窮小量的關(guān)系意義

關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.例3無窮小量的比較例如,

比值極限不同,反映了兩者趨向于零的“快慢”程度不同.觀察各極限定義：說明: