二、交錯級數(shù)及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂

第一節(jié)（2）一、正項級數(shù)及其審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法

第四章一、正項級數(shù)及其審斂法若則稱為正項級數(shù)

.注意到：1.部分和數(shù)列單調(diào)遞增2.單調(diào)有界數(shù)列存在極限定理1.

正項級數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”發(fā)散1.

有界判別法例1.

證明：正項級數(shù)收斂.證明：已知則，有故有界.則收斂.定理2(比較審斂法)設(shè)且存在對一切有(1)若強(qiáng)級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強(qiáng)級數(shù)則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個正項級數(shù),(常數(shù)k>0),由有界判別法出發(fā)不僅能判斷級數(shù)斂散性還可以給出新的判別方法。2.

比較判別法及其極限形式都有證:設(shè)對一切分別表示弱級數(shù)和強(qiáng)級數(shù)的部分和,則有因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性,故不妨(1)若強(qiáng)級數(shù)則有因此對一切有由定理1可知,也收斂.收斂,弱級數(shù)則有(2)若弱級數(shù)因此這說明強(qiáng)級數(shù)也發(fā)散.發(fā)散,說明：1.

比較判別法僅適用于正項級數(shù)；2.

不等式條件可以從某一個N后都滿足就行；3.常用的參考級數(shù)常用的不等式例2.

討論p

級數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因為對一切而調(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p

級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,2)若因為當(dāng)故考慮強(qiáng)級數(shù)的部分和故強(qiáng)級數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級數(shù)收斂.時,2)若注1：調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).注

若存在對一切注2：一個級數(shù)斂散性同一個廣義積分聯(lián)系起來了.證明級數(shù)發(fā)散.證:

因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例3時，有（通項的極限不是0）例4判別斂散性（A）收斂（B）發(fā)散#2014021901例4判別斂散性（A）收斂（B）發(fā)散#2014021902例4判別斂散性證：而收斂。故原級數(shù)收斂。而收斂。故原級數(shù)收斂。例5若收斂，則與收斂。證明：收斂，收斂。都收斂，而與收斂。用比較法關(guān)鍵1：找到不等式2：找到可比的已知斂散性級數(shù)為了應(yīng)用上方便，給出下面比較法的極限形式定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞

時,證:

據(jù)極限定義,由定理

2

可知同時收斂或同時發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時,即由定理2可知,若發(fā)散,(1)當(dāng)0<l<∞時,(2)當(dāng)l=

0時,由定理2知收斂,若特別取可得如下結(jié)論:對正項級數(shù)是兩個正項級數(shù),(1)當(dāng)0≤l<∞

時,則(2)當(dāng)

0＜l≤∞時，則注1.若，則同斂散。2.設(shè)分別為通項的分母，分子關(guān)于n的最高次數(shù)，則收斂。發(fā)散。例6.

判別級數(shù)的斂散性.（A）收斂（B）發(fā)散#2014021903～例6.

判別級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知的斂散性.例7.

判別級數(shù)（A）收斂（B）發(fā)散#2014021904的斂散性.例7.

判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～例8.

判別級數(shù)的斂散性.解：討論：（1）若極限為0，此時只能判斷收斂性，（2）若極限為正無窮，此時只能判斷發(fā)散性，取則對于注意到1：用比較法得事先取定一個合適的已知斂散性的級數(shù)；2：一個級數(shù)的斂散性應(yīng)與其本身項有關(guān)。常用比值法與根值法判斷速度。3.

積分審斂法－－－－廣義積分?jǐn)可⑿耘c無窮級數(shù)斂散性聯(lián)系適用：通項單調(diào)減少！定理3.

積分審斂法設(shè)通項滿足若存在單調(diào)減函數(shù)，使則級數(shù)與廣義積分有相同斂散性．例9.

討論級數(shù)的斂散性.解:

設(shè)

當(dāng)時，是正值遞減函數(shù)，且記發(fā)散．收斂；當(dāng)時，發(fā)散；當(dāng)