能量算符和平移算符具有共同的本征函數(shù)平移算符彼此對(duì)易平移算符和能量算符對(duì)易周期勢(shì)場(chǎng)模型下的晶體中，電子波函數(shù)為：周期勢(shì)場(chǎng)中的電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：∴平移算符的本征值是波矢k的周期函數(shù):k=2π/a平移算符的本征值及其物理意義——原胞之間電子波函數(shù)位相的變化（2）平移算符本征值量子數(shù)簡(jiǎn)約波矢，不同的簡(jiǎn)約波矢，原胞之間的位相差不同（1）簡(jiǎn)約波矢改變一個(gè)倒格子矢量平移算符的本征值（3）近似條件：周期勢(shì)場(chǎng)隨位置的變化很小，引起的電子勢(shì)能比動(dòng)能小，這種情況下采取“準(zhǔn)自由電子”近似法，用微擾來處理。5.3準(zhǔn)自由電子近似法1.零級(jí)近似零級(jí)近似的波動(dòng)方程：一.一維情形（非簡(jiǎn)并態(tài)）零級(jí)近似微擾零級(jí)近似的解為恒定場(chǎng)V中的自由粒子的解，即本征函數(shù)和本征值：L=Na,N為原胞數(shù)k為本征值的量子數(shù)零級(jí)近似下的解為自由電子，故稱為近自由電子近似2微擾計(jì)算

根據(jù)微擾理論：本征值的一級(jí)修正：本征值的二級(jí)修正：波函數(shù)一級(jí)修正：’求解矩陣元因?yàn)閂(x)晶格的周期性，所以對(duì)整個(gè)晶格的積分可以化為對(duì)每個(gè)原胞積分的和。第n個(gè)原胞：∵k和k’正交∴按元胞劃分對(duì)不同元胞n引入積分變數(shù)(1)對(duì)應(yīng)周期場(chǎng)V（x）的傅立葉展開得到的第n個(gè)系數(shù)(2)一維倒格矢一級(jí)修正得到的電子函數(shù)表現(xiàn)出了具有類似于布洛赫函數(shù)的形式：由自由粒子的波函數(shù)乘上具有晶格周期性的函數(shù)考慮微擾后的波函數(shù)(k-k’=n2π/a)當(dāng)x變化a的整數(shù)倍的時(shí)候，波函數(shù)的值不變考慮微擾后的能量（k-k’=n2π/a）：但是，當(dāng)利用非簡(jiǎn)并態(tài)的微擾理論得到的能量二級(jí)修正在nπ/a附近發(fā)散，此時(shí)應(yīng)采用簡(jiǎn)并微擾。由于修正項(xiàng)一般較小，所以色散關(guān)系接近拋物線形式對(duì)稱分布在布里淵區(qū)邊界總結(jié)上述，在非簡(jiǎn)并情況下，利用一般微擾論得到，受擾動(dòng)體系的能量和態(tài)矢量分別由下式給出：若要兩個(gè)表達(dá)式有意義，級(jí)數(shù)應(yīng)該收斂，那么：說明：（1）|Vn|=|<k’|ΔV|k>|要小，即微擾矩陣元要小；（2）|Ek–Ek’|要大，即能級(jí)間距要寬。3.簡(jiǎn)并微擾計(jì)算（k=nπ/a

，

k’=-nπ/a

）將能量簡(jiǎn)并的各狀態(tài)線性組合構(gòu)成成新波函數(shù)作為零級(jí)近似Ψ0，代入波動(dòng)方程：滿足本征方程：其中?。海蠋氩▌?dòng)方程討論：(設(shè))離較遠(yuǎn)(1)將能量按展開：Ｏ只考慮了在微擾中簡(jiǎn)并態(tài)之間的的相互影響使原來能量較高的態(tài)能量提高，原來能量較低的態(tài)能量降低。但修正項(xiàng)較小，所以能量改變不明顯，能量曲線接近拋物線。(2)即接近時(shí)當(dāng)時(shí)將按展開：（2）而不能取兩者之間的值。其能量不連續(xù)間隔為：當(dāng)k＝nπ/a，能量曲線斷開，能級(jí)間發(fā)生排斥作用，產(chǎn)生突變，使準(zhǔn)連續(xù)的能級(jí)分裂成一系列的帶，即能帶。4.布里淵區(qū)、能帶和能隙b.在準(zhǔn)自由電子模型中，由于周期勢(shì)場(chǎng)的微擾作用，波函數(shù)具有布洛赫函數(shù)的形式，能量有所修正：a.在零級(jí)近似下電子被看成自由粒子，能量與波矢呈拋物線型

，而波函數(shù)則是平面波形式。當(dāng)k不在nπ/a附近，能量修正較小；當(dāng)k在nπ/a附近，能量修正值較大；c.各能帶之間的間隔為“帶隙”或“能隙”或“禁帶”，能隙大小為2┃Vn┃，在能隙中不存在能級(jí)，每個(gè)帶大小為一個(gè)倒格子原胞長(zhǎng)度即2π/a，包含等于晶體原胞數(shù)目N的量子態(tài)。d.每一個(gè)能量連續(xù)區(qū)域稱為布里淵區(qū)。當(dāng)N很大的時(shí)候，k取值密集，可以看成能量準(zhǔn)連續(xù)。帶3帶2擴(kuò)展布里淵區(qū)帶1第一布里淵區(qū)帶1第二布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)帶2帶3V(x)變化越劇烈，Vn越大，能隙越寬。簡(jiǎn)單驗(yàn)證：每一個(gè)能帶所占的k空間為一個(gè)布里淵區(qū)：每一個(gè)能帶中k取值可能數(shù)每一個(gè)能帶包含個(gè)量子態(tài)考慮自旋e.每個(gè)能帶包含2N個(gè)量子態(tài)的取值：相鄰k取值間隔：每一個(gè)能帶中的狀態(tài)數(shù)：N考慮電子波波矢的周期性，將各個(gè)布里淵區(qū)平移，合并到第一布里淵區(qū)，得到簡(jiǎn)約布里淵區(qū)；將簡(jiǎn)約布里淵區(qū)圖形按周期展開，得到周期布里淵區(qū)；帶3帶2帶1周期布里淵區(qū)簡(jiǎn)約布里淵區(qū)擴(kuò)展布里淵區(qū)二.三維情形1.零級(jí)近似其中：2.微擾計(jì)算其中(倒格矢)有能量跳躍：當(dāng)或時(shí)，從原點(diǎn)出發(fā)與Gn的連線的垂直平分面方程o3.布里淵區(qū)和能帶交疊a.布里淵區(qū)——在空間，原點(diǎn)與所有倒格點(diǎn)連線的垂直平分面將空間分割成的各個(gè)區(qū)域；在布里淵區(qū)內(nèi)，能量準(zhǔn)連續(xù)變化；每個(gè)布里淵區(qū)的大小為：空間的維數(shù)每個(gè)布里淵區(qū)(對(duì)應(yīng)一個(gè)能帶)所包含電子態(tài)數(shù)：2N在布里淵區(qū)邊界處，能量發(fā)生突變；以二維作圖為例，畫出簡(jiǎn)單立方的二維布里淵區(qū)分布大小第一布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)大小每個(gè)布里淵區(qū)的體積相同原點(diǎn)和6個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的立方體簡(jiǎn)單立方的第一布里淵區(qū)原點(diǎn)和12個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正十二面體體心立方晶體的第一布里淵區(qū)原點(diǎn)和8個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正八面體，沿立方軸的6個(gè)次近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面割去八面體的六個(gè)角，形成的14面體——八個(gè)面是正六邊形，六個(gè)面是正四邊形面心立方晶體的第一布里淵區(qū)簡(jiǎn)立方面心立方體心立方一區(qū)二區(qū)三區(qū)b.能帶交疊：不同能帶在能量上不能完全分隔開，能帶間（主要是相鄰能帶）發(fā)生交疊現(xiàn)象。這是三維與一維的一個(gè)重要區(qū)別。說明：B是第二布里淵區(qū)能量最低點(diǎn)，與第一布里淵區(qū)邊界點(diǎn)A相鄰，但能量是斷開的，C是第一布里淵區(qū)能量最高點(diǎn)，且,此時(shí)發(fā)生能帶1與能帶2的交疊現(xiàn)象。帶2帶1EE沿OA方向BAkCk沿OC方向3.2質(zhì)量相同兩種原子形成一維雙原子鏈，最近鄰原子間的力常數(shù)交錯(cuò)等于和，并且最近鄰的間距1)求出色散關(guān)系和分析計(jì)算處格波的2)大致畫出色散關(guān)系圖

綠色標(biāo)記的原子位于2n-1，

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