小學(xué)一年級數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)本質(zhì)概念第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日綱要結(jié)構(gòu)一、整數(shù)計算相關(guān)能力指標(biāo)S-1-03能認(rèn)識周遭物體中的角、直線和平面。S-1-07能認(rèn)識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現(xiàn)象S-2-02能理解垂直與平行的意義。S-2-05能理解旋轉(zhuǎn)角的意義。S-3-02能認(rèn)識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認(rèn)識比例尺。第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日綱要結(jié)構(gòu)二、分項細(xì)目詮釋

一年級二年級三年級四年級五年級六年級2-s-01能認(rèn)識周遭物體上的角、直線與平面（含簡單立體形體）。3-s-04能認(rèn)識角，並比較角的大小4-s-04能認(rèn)識角度單位「度」，使用量角器實測角度或畫出指定的角。5-s-01能透過操作，理解三角形三內(nèi)角和為180度。6-s-02能認(rèn)識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認(rèn)識比例尺。2-s-02能認(rèn)識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現(xiàn)象。4-s-05能理解旋轉(zhuǎn)角的意義。5-s-03能認(rèn)識圓心角，理解180度、360度的意義，並認(rèn)識扇形。4-s-06能理解平面上直角、垂直與平行的意義。第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

一、角概念（一）一般生活中所說的角概念一般人對角的認(rèn)識，常是真正角概念的局部：一個角有個線段當(dāng)作邊，兩邊中夾著一塊區(qū)域，產(chǎn)生一個尖尖的頂點。此外，常以角的頂點或頂點的鄰近區(qū)域來描述角，如桌角，牆角，三角形的角，四邊形的角，……等第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

一、角概念（二）理想的角概念從實際經(jīng)驗及數(shù)學(xué)上的定義，角的意義可分成以下三方面來說明：1.角是一雙定出兩個方向間的差量之射線。2.角是自同一端點射出的兩射線圍出的一個平面區(qū)域。3.角是一射線繞其端點旋轉(zhuǎn)一個程度的量。第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

一、角概念（二）理想的角概念1.圖形角：數(shù)學(xué)上的圖形角由相交且止於一點的兩線段所構(gòu)成。此二線段長短不拘，夾角大於0度小於180度。此二線段稱為角的邊，交點稱為頂點。第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

一、角概念（二）理想的角概念2.張開角：像蚌蛤，高等脊椎動物的嘴巴，是一種兩片的一端固定在一個可轉(zhuǎn)動的關(guān)節(jié)上，兩片或其中一片可以旋轉(zhuǎn)的裝置。用這種裝置可以做成夾子或摺扇。第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

一、角概念（二）理想的角概念3.旋轉(zhuǎn)角：將車輪的軸心固定，再讓車輪旋轉(zhuǎn)。這時可以選擇一條車輪的半徑，以此半徑的轉(zhuǎn)動來描述車輪的轉(zhuǎn)動。此一半徑可以先規(guī)定一個起始方向，例如以水平向右做開始，然後向上、向左、向下。這叫做逆時針向的轉(zhuǎn)動。如果以水平向右開始，先向下，在向左，然後向上，這叫做順時針向的轉(zhuǎn)動。第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

二、角的大小一般人常會在角的兩邊各選一點，以此兩點的距離當(dāng)做角的開度，形成一個角的邊越長，其角度就越大的錯誤觀念。因此，角的張開程度的大小不因為邊長的差異而有所不同之正確概念的建立，是角度數(shù)量化的基礎(chǔ)。所有度量角的方法均以細(xì)分圖為基礎(chǔ)，一般有二種常用的單位，它們分別根據(jù)「度」和「弧度」來量。第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

二、角的大?。ㄒ唬┒龋喝粢粓A以半徑將之等量分割為360部份，則每二相鄰的半徑所來的角為1度，記作1

（二）弳：一個圓心角所對弧的長，與圓的半徑成正比。如果取圓心角所對的弧長對其半徑的比值作為圓心角大小的度量，則此度量稱為弳，又稱為弧度。第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

三、直角概念、直線的垂直與平行關(guān)係（一）直角的形成及角的分類

「直角」歸初得自人們觀察鉛直方向與水平方向所成之形象特徵。數(shù)學(xué)上，角以兩邊所指的方向差的大小加以分類，若角度相等於一圓半徑繞圓心旋轉(zhuǎn)四分之一圓時，則稱此角為「直角」。仿此定義，相等於半徑旋轉(zhuǎn)半個圓時，稱為「平角」，若小於直角，則稱為「銳角」，大於直角而小於平角，則稱為「鈍角」，大於平角稱為「優(yōu)角」，兩邊重疊的優(yōu)角稱為「周角」或「全角」。

第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

三、直角概念、直線的垂直與平行關(guān)係（二）垂直和平行概念

垂直線：生活中所說的垂直線，常指與水平面成直角的線，數(shù)學(xué)上的則稱交角的直線為互相垂直的線。

平行線：二直線若方向相同，則為平行線，或處處等距的兩直線為平行線。若在平面上而言，可說成任意延長不相交的兩直線為平行線。

第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

四、角的合成與分解將旋轉(zhuǎn)臂以一定方向旋轉(zhuǎn)到一個程度停止，再旋轉(zhuǎn)後在停止。其結(jié)果與將旋轉(zhuǎn)臂一次旋轉(zhuǎn)至第二次停止的方向相當(dāng)，我們稱為旋轉(zhuǎn)角的合成。反之，本來預(yù)備以一定方向旋轉(zhuǎn)到某一定程度，但是還沒有轉(zhuǎn)到就停下來了。問還要再轉(zhuǎn)多少程度？可以稱為旋轉(zhuǎn)角的分解。

第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

一、從圖形角、張開角到旋轉(zhuǎn)角建立各種角概念

（一）圖形角

小學(xué)階段的兒童，尚不易理解理想化的角概念。根據(jù)荷蘭數(shù)學(xué)教育家vanHiele對兒童幾何思考模式的研究指出：兒童最初是透過視覺觀察具體物，由實物的輪廓來辨認(rèn)圖形，須透過感官的操作，視覺的觀察進行分類、造型、堆疊、描繪、著色等活動獲得概念。

第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

數(shù)學(xué)新課程在最初引出角的概念時，由圖形角出發(fā)，採取角是多邊形頂點的局部的觀點，由描出凸多邊形各角的活動引出角度小於180度的角之部份形象以認(rèn)識角。以「概念是解題活動過程的抽象」的看法，讓兒童透過要素抽離的實際活動，自多邊形上描下角形，使兒童認(rèn)識角是構(gòu)成多邊形的要素，初步認(rèn)識角。

第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

（二）張開角

由於角的多種不同意義，兒童對角的理解較為困難，8至9歲的學(xué)童對角的認(rèn)識，大都僅止於物體上靜態(tài)的角之局部形象。因此為使理想化的角概念和實物上的角產(chǎn)生聯(lián)結(jié)，應(yīng)利用「角概念的產(chǎn)品」，如扇子的開合現(xiàn)象紀(jì)入，從產(chǎn)品的功能及其形成活動引出「角概念（張開角）」、「角的內(nèi)部與角共生現(xiàn)象」、「方向改變」及「邊為射線的一部份（可任意延長）」的意義。

第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

（三）旋轉(zhuǎn)角是一種動作，動作停止，其現(xiàn)象即消失，為具體呈現(xiàn)其起始位置和終止位置，通常以直線段或身線表出，若要強調(diào)其起始位置及旋轉(zhuǎn)方向，常以「」指示，如

第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

旋轉(zhuǎn)是一種較抽象難懂的位置變換，10到11歲的兒童，才有50%以上能夠描繪一個簡單圖形繞著一個頂點的旋轉(zhuǎn)（Michael,1989）。Kirsche（1987）認(rèn)為小學(xué)時期的兒童能夠而且應(yīng)該獲得旋轉(zhuǎn)的非正式經(jīng)驗，旋轉(zhuǎn)角概念容易以像時鐘一樣的圖像表示，再由想像及觀察生活中類似此種現(xiàn)象的轉(zhuǎn)動情境，加強旋轉(zhuǎn)概念，第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

此階段兒童幾何概念的發(fā)展，大都還屬於vanHiele所謂的視覺辨識過渡到分析期的階段，而且旋轉(zhuǎn)概念才初閃引出，對於旋轉(zhuǎn)一圈後，可再重復(fù)原路徑繼續(xù)旋轉(zhuǎn)的角概念，尚不易理解，故經(jīng)時僅以360度以內(nèi)為範(fàn)圍，利用鐘面指針旋轉(zhuǎn)及間隔與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)係，擴展此概念。

第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

二、由角的大小比較、合成、度量單位的引出到畫特定角（一）兒童角量概念的發(fā)展特徵

根據(jù)皮亞傑（J.Piaget）的研究發(fā)現(xiàn)，角的大小常被兒童認(rèn)為和角臂的長度有關(guān)。8歲以前的兒童，大都以角的邊長來觀察角的大小，直到8歲以後，才能察覺角的兩國張開的程度，但此時許多學(xué)童尚缺乏角的保留性概念，同大的角，若擺置的方向不同，如

第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

a和b為同大的角，c和d皆為直角，但擺放的開口方向不同，他們會認(rèn)為大小不一樣。第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，兒童能察覺角的大小是指兩個邊張開程度的不同之後，才能做兩個不同的角量之比較，進而以一個基準(zhǔn)角去描述另一個角的角量，將角量數(shù)值化。Micheal強調(diào)兒童必須熟悉角的射線、區(qū)域、旋轉(zhuǎn)三種的概念，而且達(dá)到融會貫通之後，才能瞭解測出度數(shù)的意義。

第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

開度相差較大的角，兒童可以由視覺判定其大小，開度相差不大的角、角的邊長短不一致或角的開口方向不同，較難由視覺正確分辨的情況，可以經(jīng)引導(dǎo)後，利用疊合方式加以判別。

第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

開度相差較大的角，兒童可以由視覺判定其大小，開度相差不大的角、角的邊長短不一致或角的開口方向不同，較難由視覺正確分辨的情況，可以經(jīng)引導(dǎo)後，利用疊合方式加以判別。

兒童能以單位度量角度之前，必須先具備角的合成概念

第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

（二）由直觀比較、直接比較到間接比較判定兩個或兩個以上的角之大小

教學(xué)時，必須以不同的實便呈現(xiàn)不同特徵的角供兒童觀察、操作與討論。因此，新課程中，首先提出開度差異較大的角，如張開兩把差異極顯著的紙扇，由兒童直觀的利用視覺辨別。其次提供較難由視覺正確分辨其大小的角，如利用各種圖形板上的角，引出使用疊合之方式進行直接比較。第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

直接比較與角所附著情境的不同，可分成四種不同難易層次，由低而高分別為（1）單純角形且可任意移動的二角之疊合；（2）一角可隨意拿動，另一角不可單獨移動；（3）兩角皆不可單獨移動，但其附著物可隨意移動，且可疊合；（4）實物上的角，其中至少一個便於拿動。教學(xué)時，自較低層次的比較情況開始，再漸進到較高層次的比較。

第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

（二）由直觀比較、直接比較到間接比較判定兩個或兩個以上的角之大小

教學(xué)時，必須以不同的實便呈現(xiàn)不同特徵的角供兒童觀察、操作與討論。因此，新課程中，首先提出開度差異較大的角，如張開兩把差異極顯著的紙扇，由兒童直觀的利用視覺辨別。其次提供較難由視覺正確分辨其大小的角，如利用各種圖形板上的角，引出使用疊合之方式進行直接比較。第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

（三）由簡化的量角器經(jīng)驗刻度的描述到一般量角器引出「度」的意義

角度的二維持特徵和長度的一維性質(zhì)不同，因此對初步經(jīng)驗的兒童而言，一般量角器是一把量角的怪尺，為完全陌生的儀器，其構(gòu)造較為複雜，較難理解。新課程先以簡化的量角器讓兒童查覺其上的刻度線，形成不同開度的角形，再產(chǎn)生角的開度與量角器上刻度數(shù)值之聯(lián)結(jié)，進而嘗試在量角器上比對，逐漸形成以數(shù)值描述角度的共識。第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

其大致的引導(dǎo)過程如下：1.引出量角工具的需要感2.進行角的合成及個別單位的累積3.認(rèn)識量角器上刻度的意義：第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

（四）角度的估測與驗證

連續(xù)量的估測是一種粗糙的截取活動，對某一定的量有了量感這後，也可以此量做增減，估計另一物件之量的大小。因此，在學(xué)童已有三角板上各個角度大小及1度、5度等概念之後，可以這些為參考進行做測活動，再以量角器加以驗證，使學(xué)童增加角度量感及熟練量角器的操作要領(lǐng)。第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

（五）使用量角器經(jīng)驗畫特定度數(shù)的角之方法

1.畫出角的頂點和一個邊。2.用量角器量出角度，確定另一邊所落的位置，做上記號。3.把所做記號和頂點連出另一邊。教學(xué)時，只要兒童以合理策略畫出指定度數(shù)的角即可，並不限定其操作方法第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

（六）旋轉(zhuǎn)角的比較與度量、建立180度到360度以內(nèi)之角度概念

第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

三、由建立直角概念，察覺長方形、正方形、直角三角形的特徵及引出直線的垂直與平行關(guān)係（一）兒童直角概念的認(rèn)知發(fā)展特徵

Bryant（1974）的研究發(fā)現(xiàn)，5歲的兒童可以在一堆直角與非直角的圖形卡中分辨出直角，且比一堆非直角的圖卡中彼此的區(qū)別容易。同時發(fā)現(xiàn)，在一些直角的圖形中，角的邊是否呈水平或鉛直，在比較兩角是否相等時，對於觀察者的反應(yīng)有敏感的影響。Noss（1987）發(fā)現(xiàn)部分的兒童對直角的保留概念發(fā)展約在10－11歲以後才較成熟。兒童最初僅接受一邊是水平，另一邊呈鉛直情況的直角。第三十三頁，共三十七頁，