第二節(jié)中心極限定理實(shí)際背景

在現(xiàn)實(shí)中為什么很多數(shù)量指標(biāo)都服從或近似正態(tài)分布。

研究發(fā)現(xiàn)這些指標(biāo)通常是大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素綜合而成，即中心極限定理研究的內(nèi)容，當(dāng)時(shí),什么情況下

的極限分布是中心極限定理設(shè)是相互獨(dú)立，均值和方差存在

則隨機(jī)變量和的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量。則定義：若

的分布函數(shù)

對任意

滿足

則稱服從中心極限定理。問：服從中心極限定理的條件是什么?

定理4.5（獨(dú)立同分布的中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,服從相同的分布,且則對于任何實(shí)數(shù)x,有

注：1）定理表明獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和

當(dāng)n充分大時(shí)，隨機(jī)變量之和與其標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量分別為

2)獨(dú)立同分布中心極限定理的另一種形式可寫為3)雖然在一般情況,我們很難求出的分布的確切形式。但當(dāng)n很大時(shí)，可以求出近似分布。推論1：在獨(dú)立同分布中心極限的條件下，當(dāng)很大時(shí)，對任意實(shí)數(shù)a<b,有近似公式：

1）

2）

例1擲一顆骰子100次,記第次擲出的點(diǎn)數(shù)其算術(shù)平均為試求概率解:由題意得利利用中心極限定理可得

這表明,擲100次骰子點(diǎn)數(shù)的平均在3到4之間的概率近似為0.9966,很接近于1.例2計(jì)算器在進(jìn)行加法時(shí)，將每個(gè)加數(shù)舍入最靠近它的整數(shù)，設(shè)所舍入誤差相互獨(dú)立，且在（-0.5，+0.5）上服從均勻分布。

1）將1500個(gè)數(shù)相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少？

2）最多可由幾個(gè)數(shù)相加使得總和的絕對值小于10的概率不小于0.90？解：設(shè)第個(gè)加數(shù)的舍入誤差為

已知在（-0.5，+0.5）上服從均勻分布。

2）設(shè)最多有n個(gè)數(shù)相加，使誤差總和符合要求。即要確定n，試?yán)?某汽車銷售點(diǎn)每天銷售的汽車服從參數(shù)為

泊松分布，若一年365天都經(jīng)營汽車銷售，且每天銷售的汽車數(shù)是相互獨(dú)立的，求一年中售出700輛以上汽車的概率？

解:記則為一年的總銷量,由利用獨(dú)立同分布中心極限定理，可得這表明,該銷售點(diǎn)一年售出700輛以上的概率近似為0.8665.二、棣美佛-拉普拉斯中心極限定理定理4.6設(shè)在獨(dú)立試驗(yàn)序列中，事件A的概率p(A)=p(0<P<1),隨機(jī)變量表示A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則對任何實(shí)數(shù)x有

注記：1）該定理是概率論歷史上第一個(gè)中心極限定理，由棣美佛于1730年給出時(shí)的證明，幾十年后經(jīng)拉普拉斯推廣到

的一般情況

推論2若當(dāng)n很大時(shí)，則

例4調(diào)整某種儀表200臺(tái)，調(diào)整無誤的概率為0，設(shè)調(diào)整過大或過小的概率都是，問調(diào)整過大的儀表在95臺(tái)到105臺(tái)間的概率是多少？注：若直接用二項(xiàng)分布來計(jì)算中心極限定理當(dāng)n很大時(shí)較準(zhǔn)確例5某電視機(jī)廠每月生產(chǎn)10000臺(tái)電視機(jī)，但它的顯像管車間的正品率為0.8，為了以0.997的概率保證出廠的電視機(jī)都裝上正品的顯像管，該車間每月生產(chǎn)多少只顯像管？解:設(shè)生產(chǎn)顯像管正品數(shù)X,月總產(chǎn)量n,則為了試電視機(jī)都裝上正品，則每月至少生產(chǎn)10000臺(tái)正品，則所求為由拉普拉斯定理得：且n較大，即反查正態(tài)分布表得例6從次品率為0.05的一批產(chǎn)品中隨機(jī)地取200件產(chǎn)品，分別用二項(xiàng)分別，泊松分布，拉普拉斯中心極限計(jì)算取出的產(chǎn)品中至少有3個(gè)次品的概率？解:設(shè)為表示取出的200件產(chǎn)品中的次品數(shù),則1)用二項(xiàng)分布近似計(jì)算2）用泊松分布計(jì)算。3