仿真模擬(五)一、選擇題(本大題共18小題，每小題3分，共54分)1．已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，則圖中的陰影部分表示的集合為()A．{x|x≤1或x>2} B．{x|x<0或1<x<2}C．{x|1≤x<2} D．{x|1<x≤2}答案A解析B＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，由題意可知陰影部分對應(yīng)的集合為?U(A∩B)∩(A∪B)，而A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝R，即?U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}，所以?U(A∩B)∩(A∪B)＝{x|x≤1或x>2}，故選A.2.eq\r(3,lg5－13)－eq\r(lg2－12)等于()A．lgeq\f(2,5) B．1C．－1 D．lgeq\f(5,2)答案C解析eq\r(3,lg5－13)－eq\r(lg2－12)＝lg5－1－(1－lg2)＝lg5＋lg2－2＝lg(5×2)－2＝1－2＝－1，故選C.3．若關(guān)于x的不等式(ax－1)(x＋1)＜0(a∈R)的解集為{x|－1＜x＜1}，則a的值是()A．－2 B．－1C．0 D．1答案D解析由題意得(ax－1)(x＋1)＝0的兩根為－1和1，∴eq\f(1,a)＝1，得a＝1.4．已知數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，若a4＝16，則S4等于()A．15B．30C．31D．63答案B解析由等比數(shù)列的通項公式an＝a1qn－1得a4＝a1q3，a1＝eq\f(a4,q3)＝eq\f(16,8)＝2，所以S4＝eq\f(2×1－24,1－2)＝30，故選B.5．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤－x＋2，,y≤x－1，,y≥0))所表示的平面區(qū)域的面積為()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)答案D解析作出不等式組對應(yīng)的區(qū)域為△BCD，由題意知xB＝1，xC＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋2，,y＝x－1，))得yD＝eq\f(1,2)，所以S△BCD＝eq\f(1,2)×(xC－xB)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).6．“x＝1”是“x2＝1”成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析由x＝1?x2＝1知，充分性成立，由x2＝1?x＝±1?x＝1知，必要性不成立．所以“x＝1”是“x2＝1”成立的充分不必要條件．7．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P為雙曲線右支上一點，滿足∠PF2F1＝eq\f(π,2)，連接PF1交y軸于點Q，若|QF2|＝eq\r(2)c，則雙曲線的離心率是()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．1＋eq\r(2) D．1＋eq\r(3)答案C解析∵PF2⊥x軸，∴|PF2|＝eq\f(b2,a)，∴|PF1|＝2a＋eq\f(b2,a)＝eq\f(a2＋c2,a)，∴eq\f(a2＋c2,a)＝2eq\r(2)c，即a2＋c2＝2eq\r(2)ac，∴e2－2eq\r(2)e＋1＝0，∴e＝1＋eq\r(2)或e＝eq\r(2)－1(舍)．8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．1B．2C．3D．4答案B解析由三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形(其上、下底分別為1和2，且高為2)，高為2的四棱錐，所以該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1＋2,2)×2×2＝2，故選B.9．若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,4]上單調(diào)遞減，則有()A．f(－1)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＞f(－π)B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＞f(－1)＞f(－π)C．f(－π)＞f(－1)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))D．f(－1)＞f(－π)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))答案A解析由f(x)是偶函數(shù)，則f(－1)＝f(1)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在區(qū)間[0,4]上單調(diào)遞減，∴f(1)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＞f(π)，即f(－1)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＞f(－π)．10．若cos2α＝eq\f(1,3)，則sin2αtanα的值為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,2)答案A解析由題意得sin2αtanα＝2sinαcosα·eq\f(sinα,cosα)＝2sin2α＝1－cos2α＝eq\f(2,3)，故選A.11．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝1，a7＝－23，若數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1an)))的前n項和為－eq\f(14,55)，則n等于()A．14 B．15C．16 D．18答案A解析a7＝a1＋6d＝－23，由a1＝1，得d＝－4，an＝a1＋(n－1)d＝－4n＋5，∵eq\f(1,an＋1an)＝eq\f(1,d)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1)))＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1)))，設(shè)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1an)))的前n項和為Sn，∴Sn＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)－\f(1,a2)＋\f(1,a2)－\f(1,a3)＋…＋\f(1,an)－\f(1,an＋1)))＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)－\f(1,an＋1)))＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,－4n＋1)))＝－eq\f(14,55)，解得n＝14.12．在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊為a，b，c，若三邊a，b，c成等差數(shù)列，B＝30°，且△ABC的面積為eq\f(3,2)，則b的值是()A．1＋eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．3＋eq\r(3) D.eq\f(3＋\r(3),3)答案A解析∵S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(3,2)，且B＝30°，∴ac＝6.又b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－eq\r(3)ac＝(a＋c)2－(2＋eq\r(3))ac，即b2＝(a＋c)2－(2＋eq\r(3))×6，又a＋c＝2b，∴b2＝4b2－(12＋6eq\r(3))，∴3b2＝12＋6eq\r(3)，∴b2＝4＋2eq\r(3)，b＝1＋eq\r(3).13．圓C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9與圓C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4內(nèi)切，則m的值為()A．－2 B．－1C．－2或－1 D．2或1答案C解析由題意得兩個圓的圓心坐標分別為(m，－2)，(－1，m)，半徑分別為3,2，由兩圓內(nèi)切的條件得eq\r(m＋12＋－2－m2)＝3－2，解得m＝－2或m＝－1，故選C.14．平面α，β及直線l滿足：α⊥β，l∥α，則一定有()A．l∥βB．l?βC．l與β相交D．以上三種情況都有可能答案D解析當(dāng)α⊥β，l∥α?xí)r，如圖所示，l與β可能平行、相交或在β內(nèi)，故選D.15．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|x－1|，x<2，,\f(1,2)fx－2，x≥2，))則方程16f(x)－lg|x|＝0的實根個數(shù)為()A．8B．9C．10D．11答案C解析方程16f(x)－lg|x|＝0的實根個數(shù)等價于函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)＝eq\f(lg|x|,16)的交點的個數(shù)，在平面直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)f(x)及g(x)＝eq\f(lg|x|,16)的圖象，由圖易得兩函數(shù)圖象在(－1,0)內(nèi)有1個交點，在(1,10)內(nèi)有9個交點，所以兩函數(shù)圖象共有10個交點，即方程16f(x)－lg|x|＝0的實根的個數(shù)為10，故選C.16．若關(guān)于x的不等式3－|x－a|>x2在(－∞，0)上有解，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,4)，3)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(13,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(13,4))) D．(3，＋∞)答案A解析由3－|x－a|>x2，得|x－a|<3－x2，則有3－x2>0，在平面直角坐標系中畫出函數(shù)y＝3－x2和y＝|x－a|的圖象，如圖所示．當(dāng)函數(shù)y＝|x－a|的圖象在x＝a左側(cè)的部分經(jīng)過點(0,3)時，可得a＝3；當(dāng)函數(shù)y＝|x－a|的圖象在x＝a右側(cè)的部分和函數(shù)y＝3－x2的圖象相切時，方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－a，,y＝3－x2))有唯一解，即x2＋x－a－3＝0有唯一解，即Δ＝1－4(－a－3)＝0，解得a＝－eq\f(13,4)，綜上所述，原不等式若有解，則實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,4)，3))，故選A.17．設(shè)A，B是橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1長軸的兩個端點，若C上存在點P滿足∠APB＝120°，則k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))∪[12，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪[6，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪[12，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))∪[6，＋∞)答案A解析①當(dāng)0<k<4時，易知當(dāng)點P位于短軸的端點M時，∠APB取最大值，要使橢圓C上存在點P滿足∠APB＝120°，則∠AMB≥120°，即∠AMO≥60°，tan∠AMO＝eq\f(2,\r(k))≥tan60°，解得0<k≤eq\f(4,3)；②當(dāng)k>4，即橢圓的焦點在y軸上時，同理可得k≥12.綜上，k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))∪[12，＋∞)，故選A.18．已知函數(shù)f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，給出下列命題：①f(x)必是偶函數(shù)；②當(dāng)f(0)＝f(2)時，f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱；③若a2－b≤0，則f(x)在[a，＋∞)上是增函數(shù)；④若a＞0，在[－a，a]上f(x)有最大值|a2－b|.其中正確的命題序號是()A．③ B．①④C．②④ D．①②③答案A解析對于①，當(dāng)且僅當(dāng)a＝0時，函數(shù)f(x)＝|x2－2ax＋b|為偶函數(shù)，①錯誤；對于②，當(dāng)a＝0，b＝－2時，滿足f(0)＝2＝f(2)，此時函數(shù)圖象不關(guān)于直線x＝1對稱，②錯誤；對于③，當(dāng)a2－b≤0時，(－2a)2－4b＝4(a2－b)≤0，所以f(x)＝x2－2ax＋b，則f(x)在[a，＋∞)上是增函數(shù)，③正確；對于④，當(dāng)a＝1，b＝4時，滿足a＞0，此時f(x)＝|x2－2x＋4|在[－1,1]上的最大值為f(－1)＝|(－1)2－2×(－1)＋4|＝7≠|(zhì)12－4|，④錯誤．綜上所述，正確結(jié)論的序號為③，故選A.二、填空題(本大題共4小題，每空3分，共15分)19．已知向量a＝(－2，x)，b＝(y,3)，若a∥b且a·b＝12，則x＝________，y＝________.答案2－3解析∵a∥b，∴xy＝－6，又a·b＝12，∴－2y＋3x＝12，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－3.))20．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3ex－1，x<2，,log3x2－1，x≥2，))則f(f(2))的值為________．答案3解析∵f(2)＝log3(22－1)＝1，∴f(f(2))＝f(1)＝3e1－1＝3.21．若橢圓的方程為eq\f(x2,10－a)＋eq\f(y2,a－2)＝1，且此橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2)，則實數(shù)a＝________.答案eq\f(14,3)或eq\f(22,3)解析由題意得當(dāng)10－a＞a－2＞0，即2＜a＜6時，eq\f(x2,10－a)＋eq\f(y2,a－2)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則其離心率e＝eq\r(1－\f(a－2,10－a))＝eq\f(\r(2),2)，解得a＝eq\f(14,3)；當(dāng)a－2＞10－a＞0，即6＜a＜10時，曲線eq\f(x2,10－a)＋eq\f(y2,a－2)＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則其離心率e＝eq\r(1－\f(10－a,a－2))＝eq\f(\r(2),2)，解得a＝eq\f(22,3).綜上所述，實數(shù)a＝eq\f(14,3)或eq\f(22,3).22．在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，BC邊上的高等于eq\f(1,3)BC，則cosA＝________.答案－eq\f(\r(10),10)解析如圖，設(shè)AD＝h，則BD＝h，∴CD＝2h，∴AC＝eq\r(5)h，∴sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，cosθ＝eq\f(\r(5),5)，∴cosA＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(10),10).三、解答題(本大題共3小題，共31分)23．(10分)如圖，在△ABC中，B＝eq\f(π,3)，BC＝2，點D在邊AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E為垂足．(1)若△BCD的面積為eq\f(\r(3),3)，求CD的長；(2)若DE＝eq\f(\r(6),2)，求角A的大小．解(1)∵△BCD的面積為eq\f(\r(3),3)，B＝eq\f(π,3)，BC＝2，∴eq\f(1,2)×2×BD×sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),3)，∴BD＝eq\f(2,3).在△BCD中，由余弦定理，可得CD＝eq\r(BC2＋BD2－2BC·BDcosB)＝eq\r(4＋\f(4,9)－2×2×\f(2,3)×\f(1,2))＝eq\f(2\r(7),3).(2)∵DE＝eq\f(\r(6),2)，∴CD＝AD＝eq\f(DE,sinA)＝eq\f(\r(6),2sinA)，在△BCD中，由正弦定理，可得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sinB).∵∠BDC＝2A，∴eq\f(2,sin2A)＝eq\f(\r(6),2sinAsin\f(π,3))，∴cosA＝eq\f(\r(2),2)，又∵A為三角形的內(nèi)角，∴A＝eq\f(π,4).24．(10分)已知拋物線y2＝－x與直線y＝k(x＋1)相交于A，B兩點．(1)求證：OA⊥OB；(2)當(dāng)△OAB的面積等于eq\r(10)時，求k的值．(1)證明如圖所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝－x，,y＝kx＋1，))消去x得，ky2＋y－k＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－eq\f(1,k).∵A，B在拋物線y2＝－x上，∴yeq\o\al(2,1)＝－x1，yeq\o\al(2,2)＝－x2，∴yeq\o\al(2,1)·yeq\o\al(2,2)＝x1x2.∵kOA·kOB＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f(1,y1y2)＝－1，∴OA⊥OB.(2)解設(shè)直線與x軸交于點N，顯然k≠0.令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝eq\f(1,2)|ON||y1|＋eq\f(1,2)|ON||y2|＝eq\f(1,2)|ON|·|y1－y2|，∴S△OAB＝eq\f(1,2)·1·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(1,2)eq\r(\f(1,k2)＋4).∵S△OAB＝eq\r(10)，∴eq\f(1,2)eq\r(\f(1,k2)＋4)＝eq\r(10)，∴k＝±eq\f(1,6).25．(11分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x－a|＋b.(1)當(dāng)a>0時，求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不存在正數(shù)a，使得不等式f(x)<0對任意x∈(0,1]恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．解(1