2/3/2023高三數(shù)學第一章

概率與統(tǒng)計湖北省應城市第一高級中學高二數(shù)學組正態(tài)分布頻率分布直方圖數(shù)學情景第一步：分組確定組數(shù)，組距？區(qū)間號區(qū)間頻數(shù)頻率累積頻率頻率/組距1153.5~157.550.05950.05950.0152157.5~161.580.09520.15470.0243161.5~165.5100.11900.27380.0304165.5~169.5150.17860.45340.0455169.5~173.5180.21430.66670.0546173.5~1775180.17860.84520.0457177.5~181.580.09520.94050.0248181.5~185.550.059510.015第二步：列出頻率分布表xy頻率/組距中間高，兩頭低，左右大致對稱第三步：作出頻率分布直方圖頻率組距產(chǎn)品尺寸（mm）ab

若數(shù)據(jù)無限增多且組距無限縮小，那么頻率分布直方圖的頂邊縮小乃至形成一條光滑的曲線，我們稱此曲線為概率密度曲線．總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率概率密度曲線概率密度曲線的形狀特征．

“中間高，兩頭低，左右對稱”

知識點一：正態(tài)密度曲線上圖中概率密度曲線具有“中間高，兩頭低”的特征，像這種類型的概率密度曲線,叫做“正態(tài)密度曲線”，它的函數(shù)表達式是知識點二：正態(tài)分布與密度曲線f(x)=，x∈(－∞,+∞)①式中的實數(shù)、(>0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)(期望)與標準差，這個總體是有無限容量的抽象總體，其分布叫做正態(tài)分布,f(x)的圖象稱為正態(tài)曲線。正態(tài)分布由參數(shù)、唯一確定，正態(tài)分布常記作N(、2)（1）當=時,函數(shù)值為最大.(3)的圖象關(guān)于對稱.（2）

的值域為

（4）當∈時為增函數(shù).當∈時為減函數(shù).正態(tài)密度曲線的圖像特征μ（－∞，μ]（μ，+∞）012-1-2x-33X=μσ正態(tài)曲線=μf(x)=，x∈(－∞,+∞)①正態(tài)曲線的性質(zhì)：(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交(2)曲線關(guān)于直線x=對稱(3)當x=時，曲線位于最高點(4)當x<時，曲線上升(增函數(shù))；當x>時，曲線下降(減函數(shù))并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近(5)一定時，曲線的形狀由確定越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；

越?。€越“瘦高”，總體分布越集中

在實際中遇到的許多隨機現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布．例如：生產(chǎn)中，在正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標（如電子管的使用壽命、電容器的電容量、零件的尺寸、鐵水的含碳量、纖維的纖度、……）一般都服從正態(tài)分布．在測量中，測量結(jié)果一般可以表示為ξ=a+η.其中a表示被測量的量的真值（未知常數(shù)），η表示測量的隨機誤差，ξ和η一般都服從正態(tài)分布．在生物學中，同一群體的某種特征（如某一地區(qū)同年齡組兒童的發(fā)育特征，如身高、體重、肺活量），在一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等，一般也服從正態(tài)分布．在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度以及降雨量等，水文中的水位，也都服從或近似服從正態(tài)分布．

總之，正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)及科學技術(shù)的許多領(lǐng)域之中．正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要地位．當μ＝0，σ＝1時，正態(tài)總體稱為標準正態(tài)總體，其相應的函數(shù)表達式是

其相應的曲線稱為標準正態(tài)曲線。標準正態(tài)總體N（0，1）在正態(tài)總體的研究中占有重要地位。任何正態(tài)分布的問題均可轉(zhuǎn)化成標準總體分布的概率問題。知識點：標準正態(tài)曲線x0xOy由于標準正態(tài)總體N（0，1）在正態(tài)總體的研究中占有非常重要的地位，已專門制作了“標準正態(tài)分布表”（課本第65頁）

。標準正態(tài)分布表中，相應于x0的值(x0)是指總體取值小于x0的概率，即

(x0)=P(x<x0)

用圖形表示為(陰影部分面積)由于標準正態(tài)曲線關(guān)于軸對稱，表中僅給出了對應與非負值的值。如果，那么由下圖中兩個陰影部分面積相等知：利用標準正態(tài)分布表，可求出標準正態(tài)總體在任一區(qū)間內(nèi)取值的概率。即，可用如圖的藍色陰影部分表示。公式：x0x1x2x0xOy說明：(1)(x0)=1(x0)(2)標準正態(tài)總體在任一區(qū)間(x1,x2)內(nèi)取值的概率P(x1<x<x2)=(x2)(x1)(3)對任一正態(tài)總體N(,2)，取值小于x的概率即，若服從正態(tài)分布N(,2)，則服從標準正態(tài)分布例2.求標準正態(tài)總體在(1,2)內(nèi)取值的概率．解：利用等式P=(x2)

(x1)有P=(2)

(1)=(2){1[(1)]}=(2)+(1)1=0.9772+0.84131=0.8185例3.若x～N(0,1),求(l)P(2.32<x<1.2)；(2)P(x2).解：(1)P(2.32<x<1.2)=(1.2)(2.32)

=(1.2)[1(2.32)]=0.8849(10.9898)=0.8747.(2)P(x2)=1P(x<2)=1(2)=l0.9772=0.0228.例4.服從正態(tài)分布N(1,4)，試求(1)F(3)(2)P(2<<5)(3)P(>0)解：∵服從正態(tài)分布N(1,4)，則=服從標準正態(tài)分布=(2)(0.5)=0.97720.6915=0.2857=1(0.5)=(0.5)=0.6915

例5．分別求正態(tài)總體N(μ,σ2)在區(qū)間(μ－σ,μ+σ)，(μ－2σ,μ+2σ)，(μ－3σ,μ+3σ)內(nèi)取值的概率．解：F(μ+σ)=Ф()=Ф(1),F(μ－σ)=Ф()=Ф(－1),

所以正態(tài)總體N(μ,σ2)在(μ－σ，μ+σ)內(nèi)取值的概率是F(μ+σ)－F(μ－σ)=Ф(1)－Ф(－1)=Ф(1)－[1－Ф(1)]=2Ф(1)－1=2×0.8413－1≈0.683；

同理，正態(tài)總體N(μ，σ

2)在的(μ－2σ，μ+2σ)內(nèi)取值的概率是F(μ+2σ)－F(μ－2σ)=Ф(2)－Ф(－2)≈0.954；正態(tài)總體N(μ，σ2)在的(μ－3σ，μ+3σ)內(nèi)取值的概率是F(μ+3σ)－F(μ－3σ)=Ф(3)－Ф(－3)≈0.997；上述計算結(jié)果可用下表和圖來表示：區(qū)間取值概率

下面以正態(tài)總體為例，說明統(tǒng)計中常用的假設檢驗方法的基本思想．我們從上表看到，正態(tài)總體在(μ－2σ,μ+2σ)以外取值的概率只有4.6％，在(μ－3σ,μ+3σ)以外取值的概率只有0.3％，由于這些概率值很小，通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件．也就是說，通常認為這些情況在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的．小概率事件：發(fā)生概率一般不超過5％的事件，即事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生進行假設檢驗的方法與步驟：

一、提出統(tǒng)計假設，具體問題里的統(tǒng)計假設服從正態(tài)分布N(,2)

二、確定一次試驗中的a值是否落入(3,+3)；三、作出判斷：如果a(3,+3)，就接受假設；如果a(3,+3)，就拒絕假設，說明生產(chǎn)過程中出現(xiàn)了異常情況

服從正態(tài)分布的總體特征產(chǎn)品尺寸這一典型總體，它服從正態(tài)分布。它的特征：生產(chǎn)條件正常穩(wěn)定，即工藝、設備、技術(shù)、操作、原料、環(huán)境等可以控制的條件都相對穩(wěn)定，而且不存在產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的明顯因素。

一般地，當一隨機變量是大量微小的獨立隨機因素共同作用的結(jié)果，而每一種因素都不能起到壓倒其他因素的作用時，這個隨機變量就被認為服從正態(tài)分布。1.5正態(tài)分布(習題課)1.5正態(tài)分布例1.查表求下列各值(0.5)、(2.3)、(1.45)

0.30850.98930.0735例2.已知某車間正常生產(chǎn)的某種零件的尺寸滿足正態(tài)分布N(27.45,0.052),質(zhì)量檢驗員隨機抽查了10個零件，測得它們的尺寸為：27.34、27.49、27.55、27.23、27.40、27.46、27.38、27.58、27.54、27.68,請你根據(jù)正態(tài)分布的小概率事件，幫助質(zhì)量檢驗員確定哪些零件應該判定在非正常狀態(tài)下生產(chǎn)的

解：小概率事件是指在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生的事件,我們對落在區(qū)間(27.4530.05,27.45+30.05)=(27.3,27.6)之外生產(chǎn)的零件尺寸做出拒絕接受零件是正常狀態(tài)下生產(chǎn)的假設,有兩個零件不符合落在區(qū)間(27.3,27.6)之內(nèi)；答：尺寸為27.23和尺寸為27.68的兩個零件，它們是在非正常狀態(tài)下生產(chǎn)的例3.燈泡廠生產(chǎn)的白熾燈壽命ξ(單位:h),已知ξN(1000,302),要使燈泡的平均壽命為1000h的概率為99.7％,問燈泡的最低使用壽命應控制在多少小時以上？解：因為燈泡壽命ξN(1000,302)，故ξ在(1000330,1000+330)內(nèi)取值的概率為99.7％，即在(910,1090)內(nèi)取值的概率為99.7％，故燈泡的最低使用壽命應控制在910h以上例4.假設某市今年高考考生成績服從正態(tài)分布N(500,1002)，現(xiàn)有25000名考生，計劃招生10000名，試估計錄取分數(shù)線解：設分數(shù)線為，那么分數(shù)超過的概率應為錄取率，即查表得(0.25)0.5987，故∴525故錄取分數(shù)線估計為525分

例5.某縣農(nóng)民年均收入服從=500元，=20元的正態(tài)分布(1)求此縣農(nóng)民年均收入在500元520元間人數(shù)的百分比(2)如果要使農(nóng)民的年均收入在(a,+a)的概率不少于0.95，則