13.1.2線段的垂直平分線的性質AB學習目標：

1．理解線段垂直平分線的性質和判定．

2．能運用線段垂直平分線的性質和判定解決實際問題．

3．會用尺規(guī)經過已知直線外一點作這條直線的垂線，了解作圖的道理．學習重點：線段垂直平分線的性質．課件說明知識回顧線段是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？什么叫線段的垂直平分線？你能用不同的方法驗證這一結論嗎？知識點一：線段垂直平分線的性質探究：如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點，請猜想點P1，P2，P3，…到點A與點B的距離之間的數量關系．相等．ABlP1P2P3已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P在l上．求證：PA=PB．命題：“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．”ABPCl用符號語言表示為：∵CA=CB，l⊥AB，∴直線l是線段AB的垂直平分線∴PA=PB．ABPCl

證明：∵l⊥AB，∴

∠PCA=∠PCB=90°

．

在△APC與△BPC中PC=PC（公共邊）∠PCA=∠PCB（已證）

AC=BC（已知）∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴

PA=PB(全等三角形的對應邊相等)．已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P在l上．求證：PA=PB．線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．提示:這個結論是經常用來證明兩條線段相等的根據之一.用符號語言表示為：∵CA=CB，l⊥AB，∴直線l是線段AB的垂直平分線∴PA=PB．小結：線段垂直平分線的性質：2、線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等1、垂直線段，平分線段。8課堂練習練習1如圖，在△ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC與E，則△ADE的周長等于______．ABCDE2、如圖，在△ABC中，ED垂直平分AB，1)若BD＝10，則AD=

。2)若∠A＝50°，則∠ABD＝

。3)若AC＝14，△BCD的周長為24，則BC=

。1050°10PABC已知：如圖，PA=PB．求證：點P在線段AB的垂直平分線上．證明：如圖作PC⊥AB于點C

則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∴

Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴

AC=BC．又

PC⊥AB，∴點P在線段AB的垂直平分線上

PA=PB，

PC=PC，

反過來，如果PA=PB，那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？點P在線段AB的垂直平分線上．知識點二：線段垂直平分線的判定用幾何語言表示為：PABC

線段垂直平分線的判定與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．∵

PA=PB，∴點P在AB的垂直平分線上．這些點能組成什么幾何圖形？

你能再找一些到線段AB兩端點的距離相等的點嗎？能找到多少個到線段AB兩端點距離相等的點？

在線段AB的垂直平分線l上的點與A，B的距離都相等；反過來，與A，B的距離相等的點都在直線l上，所以直線l可以看成與兩點A、B的距離相等的所有點的集合．PABC小結：線段垂直平分線的判定方法：1、定義法2、與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB=AC．∵點C在AE的垂直平分線上，∴AC=CE．課堂練習練習3如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關系？AB+BD與DE有什么關系？ABCDE

∴AB=AC=CE．∵

AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．解：∵AB=AC，∴點A在BC的垂直平分線．∵

MB=MC，∵點M在BC的垂直平分線上∴直線AM是線段BC的垂直平分線．練習4如圖，AB=AC，MB=MC．直線AM是線段BC的垂直平分線嗎？ABCDM練習5、如圖PA=PB，則直線MN是線段AB的垂直平分線。（1）任意取一點K，使點K與點C在直線AB兩旁.尺規(guī)作圖經過已知直線外一點作這條直線的垂線。（2）以點C為圓心，CK為半徑作弧，交AB于點D和點E.

（4）作直線CF，直線CF就是所求作的垂線。CABKFDE已知：直線AB和AB外一點C求作：AB的垂線，使它經過點C.做法：（3）分別以點D和點E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點F.

如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．因此，只要找到任意一組對應點，作出對應點所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸．如果兩個圖形成軸對稱，怎樣作出圖形的對軸？這種作法的依據是什么？知識點三：作線段的垂直平分線ABCD作法：（1）分別以點A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點；（2）作直線CD．

CD就是所求作的直線．這種作圖方法還有哪些作用？確定線段的中點．作已知線段的垂線。

線段垂直平分線的判定

如圖，已知線段AB，用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線.AB⑴分別以點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點；⑵作直線CD.CD即為所求的直線.CD再一次鞏固尺規(guī)作圖結論：對于軸對稱圖形，只要找到任意一組對應點，作出對應點所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸.1.下圖中的五角星有幾條對稱軸？作出這些對稱軸．AB作法：（1）找出五角星的一對對應點A和B，連接AB．（2）作出線段AB的垂直平分線n．則n就是這個五角星的一條對稱軸．n用同樣的方法，可以找出五條對稱軸，所以五角星有五條對稱軸．

【跟蹤訓練】課堂練習練習1作出下列圖形的一條對稱軸，和同學比較一下，你們作出的對稱軸一樣嗎？課堂練習練習2如圖，角是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？課堂練習練習3如圖，與圖形A成軸對稱的是哪個圖形？畫出它的對稱軸．ABCD性質：在線段垂直平分線上的點到線段兩個端點距離都相等。判定：與線段兩個端點距離相等的點都在線段的垂直平分線上。線段垂直平分線的集合定義：線段垂直平分線可以看作是與線段兩個端點距離相等的所有點的集合。課堂小結線段垂直平分線的性質與判定定理的區(qū)別二者是互逆定理，線段垂直平分線的性質定理的已知條件是線段垂直平分線，結論是垂直平分線上的點與這條線段兩端點的距離相等．線段垂直平分線的判定定理的已知條件是一個點與一線段兩端點的距離相等，結論是這個點在線段的垂直平分線上．線段垂直平分線的性質是解決線段相等問題的一種重要方法；線段垂直平分線的判定可用來證明兩線的位置關系（垂直平分）．知識反饋1、∵

，∴AB＝AC（_______________________

）

2、∵_______________________

，∴

A在線段BC的中垂線上（____________________________

）AD為BC的中垂線AB＝AC線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。BCAD3、如圖，NM是線段AB的中垂線,下列說法正確的有：。①AB⊥MN,②AD=DB，③MN⊥AB，④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分線ABMND①②③

在⊿ABC中，PD，PE分別是AB，AC的垂直平分線，并相交于點P，求證：點P也在BC的垂直平分線上。知識應用PDEABC∴點P在BC的垂直平分線上。（和一條線段的兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。）ABCPD證明：連結PB?！?/p>

PD是AB的垂直平分線（已知）

∴

PA=PB（線段的垂直平分線上的點和這條線段的兩個端點的距離相等）∵

PA=PC（已知）

∴

PB=PC（等量代換）已知：△ABC中，邊AB、BC的垂直平分線交于點P。求證：PA=PB=PC.PABC結論：三角形三邊的垂直平分線交于一點，并且這點到三個頂點的距離相等。高速公路AB

在某高速公路L的同側，有兩個工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，市政府計劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個工廠的工人都沒意見，問醫(yī)院的院址應選在何處？你的方案是什么?生活中的數學L·

某區(qū)政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個購物中心，試問，該購物中心應建于何處，才能使得它到三個小區(qū)的距離相等。ABC思考：生活中的數學如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應建在什么位置？說說理由.碼頭應建在線段的垂直平分線與A，B一側的河岸邊的交點上．理由是線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．應用新知，解決問題如圖，A，B是路邊兩個新建小區(qū)，要在公路邊增設一個公共汽車站.使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽車站應建在什么地方？【提示】連接AB，作AB的垂直平分線，則與公路的交點就是要建的公共汽車站.有A，B，C三個村莊，現準備要建一所學校，要求學校到三個村莊的距離相等，請你確定學校的位置.ABC【提示】學校在連接任意兩點的兩條線段的垂直平分線的交點處.1.正方形ABCD邊長為a，點E，F分別是對角線BD上的兩點，過點E，F分別作AD，AB的平行線，如圖所示，則圖中陰影部分的面積之和等于

．【解析】運用軸對稱、轉化的思想，陰影部分面積等于正方形面積的一半，即.答案：2.如圖，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D，求△BCD的周長.DCBEA【解析】∵ED是線段AB的垂直平分線，∴∵△BCD的周長=BD+DC+BC∴△BCD的周長===BD=AD，