專題02平面向量技巧導圖技巧導圖技巧詳講技巧詳講一：奔馳定理1：奔馳定理內容---三角形的面積比等于其所對應的系數(shù)比已知是內的一點，的面積分別為，，，求證：2.推導過程證明方法一：如圖延長與邊相交于點則推論是內的一點，且，則二.極化恒等式2.推導過程：三角形的四心1.推論重心：中線的交點，①是的重心②中線長度分成2：1③=內心：角平分線的交點（內切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等①是的內心②外心：①是的外心②垂心：高線的交點，高線與對應邊垂直①是的垂心:證明：如圖為三角形的垂心，同理得，②由，得，即，所以．同理可證，．技巧舉證技巧舉證技巧1奔馳定理【例1】是內一點，滿足，則（）A． B． C． D．技巧法注意事項技巧法注意事項條件一般是3個同起點的向量相加減且等于零向量，若系數(shù)有正有負則公共點在三角形外，系數(shù)都為正則公共點在三角形內三角形所對應的向量的找法圖像法：三角形頂上的向量頂點法：公共點即起點，剩余3點構成三角形的三個頂點，對應的向量兩個點其中一個點為公共點，另外一點則是三角形的頂點。【舉一反三】1.已知所在平面內一點，滿足，則與的面積的比值為（）A． B． C． D．2.（廣東省深圳外國語學校2020）點是所在平面上一點，若，則與的面積之比是（）A．3 B．2 C． D．3.（天津市紅橋區(qū)2019）已知點O是內一點，滿足，，則實數(shù)m為（）A．2 B．-2 C．4 D．-4技巧2三角形的四心【例2-1】點O是△ABC所在平面內的一點，滿足，則點O是的__________心．【例2-2】（黑龍江省哈爾濱市哈爾濱師范大學附屬中學）在中，設，則動點M的軌跡必通過的（）A．垂心 B．內心 C．重心 D．外心【舉一反三】1.（河北省保定市）過內一點任作一條直線，再分別過頂點作的垂線，垂足分別為，若恒成立，則點是的（）A．垂心 B．重心 C．外心 D．內心2．（遼寧朝陽柳城高中）設點P是△ABC所在平面內一點，，則點P是△ABCA．內心 B．外心 C．重心 D．垂心3．設點O是三角形ABC所在平面上一點，若，則點O是三角形ABC的________心．4．設是平面內一定點，為平面內一動點，若，則為的（）A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心技巧3極化恒等式【例3】（1）（2020福建省南平市）在中，若，邊上中線長為3，則（）A．-7 B．7 C．-28 D．28（2）（2020屆河南省八市重點高中聯(lián)盟領軍）在中，，點在上，且，若，則的值是（）A． B． C． D．【舉一反三】1.（2018?天津）如圖，在平面四邊形中，，，，．若點為邊上的動點，則的最小值為A． B． C． D．32.（2017年新課標2）已知是邊長為4的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值是A． B． C． D．3．（2020屆湖北省武漢市）已知等邊△ABC內接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點，則的最大值是（）A． B．1 C． D．2技巧強化技巧強化1．（2020上海市控江中學）點在△內部，且滿足，則△的面積與△、△面積之和的比為________2．已知點P在△ABC所在的平面內，若2＋3＋4＝3，則△PAB與△PBC的面積的比值為__________．3．（2020屆山西省太原市第五中學校）設點在的外部，且，則。4．(2020·哈爾濱三模)已知O為正三角形ABC內一點，且滿足，若△OAB的面積與△OAC的面積比值為3，則λ的值為。5．（2020屆海南省全國大聯(lián)考）設點是的重心，且滿足，則。6．若在△中,，其外接圓圓心滿足，則__________.7．已知是銳角的外心，．若，則實數(shù)______．8．（2020湖北省重點高中聯(lián)考協(xié)作）已知是平面上一定點，滿足，，，則的軌跡一定通過的（外心 、垂心、重心、內心）9．已知O，N，P在所在平面內，且，，且，則點O，N，P依次是的（填三角形的四心）10．（2020河南省八市重點高中聯(lián)盟）已知是半徑為1的圓的一條直徑，點是圓上一動點，則的最大值等于。11．（2020屆江蘇省無錫市）正方形的邊長為2，圓內切于正方形，為圓的一條動直徑，點為正方形邊界上任一點，則的取值范圍是______.12．（2020屆江蘇省蘇州市張家港市）已知正方形的邊長為4，是的中點，動點在正方形的內部或其邊界移動，并且滿足，則的最小值是______．13．（2020屆江蘇省沭陽