§2.1引言第2章插值法一、問題背景用來表示某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系。但有些只能給出[a,b]的一系列點(diǎn)，有些雖有解析表達(dá)式但計算復(fù)雜，它們都只能形成一個函數(shù)表。但在很多情況下，我們往往需要求出不在表上的函數(shù)值，所以我們希望做一個既能反映函數(shù)f(x)的特性，又便于計算的簡單函p(x)，用p(x)近似f(x)。應(yīng)用：例如程控加工機(jī)械零件等。這樣確定的就是插值函數(shù)。二、一般概念從幾何上看，插值法就是求曲線y=p(x),使其通過給定的n+1個點(diǎn)(xi,yi),i=0,1,…,n,并用它近似已知曲線y=f(x).y1ynxx1xnyx0圖2-1§2.1.2多項式插值設(shè)在區(qū)間[a,b]上給定n+1個點(diǎn)a≤x0<x1<…xn≤b上的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0,1,…,n),求次數(shù)不超過n的多項（1,2）使

p(xi)=yi,i=0,1,…,n.(1.3)由此可得到關(guān)于系數(shù)a0,a1,…,an的n+1元線性方程組（1.4）此方程組的系數(shù)矩陣為A=稱為范德蒙德（Vandermonde)矩陣，由于xi(i=0,1,…,n)互異，故detA=因此，線性方程組（1.4）的解a0,a1,…,an存在且唯一，于是有下面的結(jié)論：定理一滿足條件（1.3）的插值多項式p(x)是存在唯一的。（1.5）§2拉格朗日插值一、線性插值和拋物插值對給定插值點(diǎn),求出形如的插值多項式的方法有多種.幾何意義：就是通過兩點(diǎn)（xk,yk)與（xk+1,yk+1)的直線，如圖2-2所示y=L1(x)y=f(x)yk+1ykxk+1xkyx0yx0xkxk+1111圖2-3幾何上就是通過三點(diǎn)（xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1)的拋物線。yx0xkXk+1Xk-11圖2-42.2.2拉格朗日插值多項式需要指出(2.3)式與（2.5）式是當(dāng)n=1和n=2時的特殊情形。注意：n次插值多項式Ln(x)通常是次數(shù)為n的多項式，特殊情況下次數(shù)可能小于n.練習(xí)給定數(shù)據(jù)表xi0123yi01514求三次拉格朗日插值多項式L3(x).2.2.3插值余項與誤差估計定義：若在[a,b]上用Ln(x)近似f(x)，則其截斷誤差為Rn(x)=f(x)-Ln(x)，也稱為插值多項式的余項。證明：由給定條件知Rn(x)在節(jié)點(diǎn)xk(k=0,1,…，n)上為零，即Rn(xk)=0(k=0,1,…，n)，于是

其中K(x)是與x有關(guān)的待定函數(shù)。現(xiàn)把x看成[a,b]上的一個固定點(diǎn)，作函數(shù)（2.13）根據(jù)f的假設(shè)可知在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)存在，根據(jù)插值條件及余項定義，可知在點(diǎn)及x處均為零，故在[a,b]上有n+2個零點(diǎn)，根據(jù)羅爾定理，在的兩個零點(diǎn)間至少有一個零點(diǎn)，故在[a,b]內(nèi)至少有n+1個零點(diǎn)，對再應(yīng)用羅爾定理，可知在[a,b]內(nèi)至少有n個零點(diǎn)。依此類推，在(a,b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，記為，使于是將它代入（2.13）式，就得到余項表達(dá)式（2.12）。證畢。注意：余項表達(dá)式只有在f(x)的高階導(dǎo)數(shù)存在時才能應(yīng)用。利用余項表達(dá)式（2.12），當(dāng)f(x)=xk(k≤n)時，由于fn+1(x)=0,于是有由此得（2.17）特別當(dāng)k=0時，有（2.18）例1

已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用線性插值計算和拋物插值計算sin0.3367的值,

并估計誤差.例1

已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用拋物插值計算sin0.3367的值,并估計誤差.§2.3差商與牛頓插值2.3.1插值多項式的逐次生成利用插值基函數(shù)很容易得到拉格朗日多項式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中甚為重要.但當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時，計算要全部重新進(jìn)行，甚為不便。2.3.2均差及其性質(zhì)差商的基本性質(zhì):由(3.4)得差商表:kxkf(xk)一階差商二階差商三階差商…01234┆x0x1x2x3x4┆f(x0)f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)┆f[x0,x1]f[x1,x2]f[x0,x1,x2]f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]f[x3,x4]f[x2,

x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]…┆┆┆2.3.3牛頓插值多項式（3.7）（3.8）牛頓均差插值多項式kxkf(xk)一階差商二階差商三階差商四階差商0123412345147863301-1-1/3-2-3/2-1/61/24§2.3.4差分與等距節(jié)點(diǎn)插值上節(jié)討論任意分布節(jié)點(diǎn)的插值公式，應(yīng)用時常碰到等距節(jié)點(diǎn)的情形，此時插值公式可簡化，為此先介紹差分．一、差分及其性質(zhì)差分的基本性質(zhì):差分表:?2f0

?2f1…

┆?2f2┆┆?f0?f1?f2?f3┆f0f1f2f3f4┆01234┆

?2?3

…?fkk二、等距節(jié)點(diǎn)插值公式§2.4埃爾米特插值§2.5分段低次插值一、高次插值的病態(tài)性質(zhì)上面我們用插值多項式Ln(x)近似f(x),一般認(rèn)為Ln(x)的次數(shù)n越高逼近f(x)的精度越好，實(shí)際并非如此。龍格給出了一個等距節(jié)點(diǎn)插值多項式Ln(x)不收斂于f(x)的例子。他給出的函數(shù)為f(x)=1/(1+x2),它在[-5,5]上各階導(dǎo)數(shù)均存在。在[-5,5]上取n+1個等距節(jié)點(diǎn)所構(gòu)造的拉格朗日插值多項式為如下表所示，n24681012141618200.1379310.0663900.0544630.0496510.0470590.0454400.0443340.0435300.0429200.0424400.759615-0.3568260.607879-0.8310171.578721-2.7550005.332743-10.17386720.123671-39.952449-0.6218640.423216-0.5534160.880668-1.5316622.800440-5.28840910.217397-20.08075139.994889龍格證明了，存在一個常數(shù)c≈3.63,使得下面取n=10，根據(jù)計算畫出可以看出，在x=±5附近這說明用高次插值多項式Ln(x)近似f(x)效果并不好