第四章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法章節(jié)目錄4.1概述4.2拉壓直桿的有限元分析4.3梁的有限元分析4.4剛架的有限元分析4.1概述4.1.1桿系結(jié)構(gòu)定義由有限根桿件在它們的端點處相互連接而成的結(jié)構(gòu)分類平面桿系：各桿軸線和外力作用線在一個平面內(nèi)空間桿系：各桿軸線和外力作用線不在一個平面內(nèi)工程中常見類型拉壓直桿，桁架（平面和空間），梁（簡支懸臂梁等），剛架（平面和空間）4.1概述4.1.2桿系單元定義桿系結(jié)構(gòu)中的桿件、梁、柱等稱為桿系單元。連接的點稱為節(jié)點。桿系單元為一維單元。結(jié)構(gòu)離散一般原則：桿系的交叉點、邊界點、集中力作用點、桿件截面尺寸突變處等都應(yīng)該設(shè)置節(jié)點，節(jié)點之間的桿件即構(gòu)成單元。F節(jié)點1節(jié)點2單元①節(jié)點3節(jié)點2單元②4.1概述4.1.2桿系單元分類桁架單元：桁架中的桿件剛架單元：剛架中的桿件區(qū)別：桁架節(jié)點：鉸節(jié)點傳遞力！剛架節(jié)點：剛節(jié)點

傳遞力和力矩！4.1概述4.1.3桿系單元的有限元分析與平面問題和空間問題比較，基本流程完全相同；具體計算細節(jié)需要按照桿系單元的特性來進行。4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.1拉壓直桿（單元描述）幾何形狀：等截面A,長度為l載荷q：沿軸線分布節(jié)點：2個局部坐標系：沿軸線定義的一維坐標系ox因此，節(jié)點坐標

在x軸的坐標：xi,xj節(jié)點位移（自由度）

沿x軸的位移：ui

,uj單元節(jié)點位移列陣ijlxuiuj4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.2位移模式單元位移模式的推導位移模式形函數(shù)ijlxuiuj4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.3應(yīng)變應(yīng)變分量

拉壓直桿只有軸向應(yīng)變：幾何方程的推導4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.4應(yīng)力應(yīng)力分量

拉壓直桿只有軸向應(yīng)力：物理方程的推導4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.5單元剛度矩陣4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.5單元節(jié)點等效載荷（軸向載荷）集中力根據(jù)離散的要求，集中力直接施加在所處節(jié)點上體力軸向分布載荷q(x)推導依據(jù)：

面力按照集中載荷施加在面所在的節(jié)點上4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析網(wǎng)格離散單元分析整體分析400mm300mmXY20kN25kN①②③④1234ij4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析網(wǎng)格離散單元分析：在局部坐標系下建立單元平衡方程整體分析：在整體坐標系下組裝整體平衡方程因此，組裝過程中需要兩個坐標系之間的轉(zhuǎn)換：整體坐標系:OXY局部坐標系:OxyxyXYOα4.2.6平面桁架的有限元分析整體坐標系OXY：節(jié)點位移為Ui

,Vi(i,j)局部坐標系

Oxy：節(jié)點位移為ui

,uj

則有：4.2拉壓直桿的有限元分析ijxyXYOαUjVjUiViujui從整體坐標到局部坐標的坐標變換矩陣[T]4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析推導：注意：局部坐標系下的應(yīng)力和應(yīng)變4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析因此，單元剛度矩陣在局部坐標系和整體坐標系下的變換式：4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析在整體坐標系下的單元剛度矩陣為：4.3梁的有限元分析4.3.1純彎梁單元(單元描述)幾何形狀：長度l，橫截面為A。材料屬性：彈性模量E，橫截面的慣性矩為I。節(jié)點：i,j共2個局部坐標系：oxy物理量：撓度v，剪力Q，彎矩M，梁的轉(zhuǎn)角θ4.3梁的有限元分析材料力學基礎(chǔ)知識4.3梁的有限元分析4.3.1純彎梁單元(單元描述)節(jié)點坐標值：xi=0,xj=l節(jié)點位移值：撓度vi和轉(zhuǎn)角θi節(jié)點力：彎距Mi和剪力Qi因此，單元位移列陣：單元載荷列陣：4.3梁的有限元分析4.3.2

位移模式

代入單元兩個節(jié)點的坐標和位移條件，即可求解四個待定常數(shù)a1～a4：（）廣義坐標法建立形函數(shù)（兩個節(jié)點，四個自由度）4.3梁的有限元分析4.3.3應(yīng)變4.3梁的有限元分析4.3.4應(yīng)力4.3.5單元剛度矩陣單元平衡方程：34.3梁的有限元分析4.3.6等效節(jié)點載荷若存在集中力或者集中力矩，將作用點取為節(jié)點若存在分布載荷，按照虛功等效的原則進行計算適用情況：截面高度小于長度的1/5的桿系結(jié)構(gòu)。原因：單元的位移模式，決定了沒有考慮剪切撓度。4.4剛架的有限元分析4.4.1平面剛架相互獨立的兩種變形形式軸向拉壓面內(nèi)彎曲因此：剛架單元＝桿單元＋梁單元局部坐標系:oxyz任一節(jié)點有三個自由度：軸向拉伸、橫向位移、繞z軸的轉(zhuǎn)角4.4剛架的有限元分析4.4.1平面剛架兩個坐標系：局部坐標系整體坐標系4.4.2平面剛架單元（單元描述：局部坐標系下）節(jié)點位移軸向位移橫向位移繞z軸的轉(zhuǎn)角節(jié)點載荷軸向力剪力彎矩4.4剛架的有限元分析剛架的有限元分析因此，局部坐標系下：單元節(jié)點位移列陣：單元節(jié)點載荷列陣：4.4.2平面剛架單元（單元描述：局部坐標系下）4.4剛架的有限元分析4.4.3單元剛度矩陣(局部坐標系下)3單元分析：局部坐標系整體分析：整體坐標系因此，需要進行坐標轉(zhuǎn)換。4.4剛架的有限元分析4.4.4坐標變換（推導過程省略）

-坐標變換矩陣-節(jié)點力

-單元剛度矩陣4.4剛架的有限元分析等效結(jié)點載荷

單元上的非結(jié)點載荷向結(jié)點移置時應(yīng)遵循的靜力等效原則，而靜力等效移置的結(jié)果是唯一的，載荷移置后的結(jié)構(gòu)與載荷移置前相比，所有結(jié)點位移無變化，且除進行過載荷移置的單元外，其他單元的內(nèi)力分布不受影響．本講雖然沒有構(gòu)造形函數(shù)設(shè)定位移模式，不便于依前述靜力等效的定義進行非結(jié)點載荷的移置，仍可以根據(jù)上述等效移置應(yīng)獲得的效果方便地構(gòu)造出等效結(jié)點載荷。

圖(a)所示平面剛架，第3單元作用有非結(jié)點載荷，該單元相應(yīng)的桿端力和桿端力矩如圖3(b)所示，為V1、V2與M1、M2．構(gòu)造圖3(c)所示的兩種受力狀態(tài)，這兩種狀態(tài)的組合顯然構(gòu)成原結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)，其中Ⅱ狀態(tài)的位移與內(nèi)力同原結(jié)構(gòu)對比，結(jié)點位移一致，其他單元內(nèi)力一致，所以Ⅱ狀態(tài)的結(jié)點載荷就是所要求的等效結(jié)點載荷。上述分析雖然在平面剛架中進行，對空間剛架也是同樣適用的．求等效結(jié)點載荷的具體方法歸結(jié)為：按結(jié)構(gòu)力學位移法解題思想求出該單元的固端力與固端力矩(參考結(jié)構(gòu)力學相關(guān)內(nèi)容)，將這些固端力與固端力矩反方向作用于結(jié)構(gòu)的對應(yīng)結(jié)點，即該單元非結(jié)點載荷的等效結(jié)點載荷。例、平面框架結(jié)構(gòu)的有限元分析

如圖所示的框架結(jié)構(gòu),其頂端受均布力作用,用有限元方法分析該結(jié)構(gòu)的位移。結(jié)構(gòu)中各個截面的參數(shù)都為:E=3.0X1011Pa,I=6.5×10-7m4,A=6.8×10-4m2。1離散化：均布外載的等效計算公式：2求單元剛度陣

單元1的局部坐標與整體坐標一致，其他單元的剛度陣要進行坐標變換之后，在進行整體剛度陣的組裝。3建立整體剛度矩陣4邊界條件計算結(jié)果：4.4剛架的有限元分析4.4.5空間剛架結(jié)構(gòu)分析辦法：將平面剛架結(jié)構(gòu)擴充到空間剛架結(jié)構(gòu)。節(jié)點位移（自由度）：6個（3個平動位移和3個旋轉(zhuǎn)位移）第四章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法學習要求：掌握拉壓直桿單元和梁單元的單元特性，了解剛架單元的單元特性；掌握拉壓直桿單元和梁單元的單元分析方法，了解剛架單元的單元剛度矩陣的構(gòu)成；掌握平面桿系結(jié)構(gòu)的有限元分析中局部坐標系和整體坐標