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第三節(jié)一階線性微分方程一、一階線性方程二、貝努利方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的.例如線性的;非線性的.一、線性方程1.定義2.分類(lèi)：齊次方程的通解為(1).線性齊次方程3.解法(使用分離變量法)(2).線性非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程：其通解為討論常數(shù)變易法兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比:常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實(shí)質(zhì):

未知函數(shù)的變量代換.作變換積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解解法110.相應(yīng)齊次方程其通解為20.常數(shù)變易例1(1)30.原方程的通解為法2如圖所示，平行與y軸的動(dòng)直線被光滑曲線y=f(x)與y=x3(x>0)截下的線段PQ之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線f(x).兩邊求導(dǎo)得解解此微分方程例2所求曲線為1.標(biāo)準(zhǔn)形式方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.解法:

需經(jīng)過(guò)變量代換化為線性微分方程.二、伯努利(Bernoulli)方程求出通解后，將代入即得代入上式求解下列方程的通解解.

此方程為貝努利方程，其中n=5。例3解以y因變量，x為自變量，此方程的類(lèi)型難以確定.但是此方程為貝努利方程

.x為因變量，n=2解用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為例4解分離變量法得所求通解為解代入原式分離變量法得所求通解為另解1.齊次

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