計算方法南京大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)系第二章插值法（續(xù)）2023/2/3§2.6分段低次插值

在區(qū)間[a,b]上用插值多項式P逼近函數(shù)f時，f和P在每個節(jié)點上的差異(理論上)應(yīng)該為零。自然，我們期望在一切中間點上也能很好地逼近f，并且當(dāng)插值點增加時這種逼近效果應(yīng)該越來越好。 但上述的期望不可能實現(xiàn)的。當(dāng)認識到這一點時，在數(shù)學(xué)界曾引起強烈的震動。20世紀初，Runge就給出了一個等距節(jié)點插值多項式不收斂到的例子。2023/2/3

設(shè)函數(shù)，在該區(qū)間上取個等距節(jié)點,構(gòu)造的次拉格朗日插值多項式為

其matlab的lagrange.m文件及相關(guān)圖形如下.Runge現(xiàn)象2023/2/3%lagrange.mfunctiony=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0;

fork=1:nL=1;

forj=1:n

ifj~=kL=L*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

endend

s=s+L*y0(k);

end

y(i)=s;endy;Lagrange插值多項式求插值的Matlab程序.2023/2/3%Compare_Runge.mx=-5:0.1:5;z=0*x;y=1./(1+x.^2);plot(x,z,'k',x,y,'r')axis([-55-1.52]);pause,holdonforn=2:2:20x0=linspace(-5,5,n+1);y0=1./(1+x0.^2);x=-5:0.1:5;y1=lagrange(x0,y0,x);plot(x,y1),pauseendy2=1./(1+x0.^2);y=interp1(x0,y2,x);plot(x,y,'k'),holdoffgtext('n=2'),gtext('n=4'),gtext('n=6')gtext('n=8'),gtext('n=10')gtext('f(x)=1/(1+x^2)')比較不同的插值多項式次數(shù)對插值的影響2023/2/3不同次數(shù)的Lagrange插值多項式的比較圖Runge現(xiàn)象2023/2/3令，則，下表列出了和的值。2023/2/3

結(jié)果表明,隨著的增加，的絕對值幾乎成倍地增加，這說明當(dāng)時在上不收斂。

Runge證明了，存在一個常數(shù),使得當(dāng)時，

;而當(dāng)時發(fā)散。說明:并不是插值多項式的次數(shù)越高,插值效果越好,精度也不一定是隨次數(shù)的提高而升高,這種現(xiàn)象在上個世紀初由Runge發(fā)現(xiàn),故稱為Runge現(xiàn)象.

分段線性插值特別簡單，從幾何上看，就是用折線逼近曲線。分段線性插值的數(shù)學(xué)定義設(shè)是區(qū)間上的函數(shù)，在節(jié)點上的函數(shù)值為，求一分段折線函數(shù)滿足：（1）（2在上，是一次多項式。（3）則稱為的分段線性插值函數(shù)。

分段線性插值2023/2/3易知,P(x)是個折線函數(shù)，在每個區(qū)間上,有在[a,b]上是連續(xù)的，但其一階導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的.2023/2/3

當(dāng)時,

當(dāng)時,

分段線性插值的基函數(shù)

當(dāng)時,2023/2/3顯然是的線性組合：

在區(qū)間上的值為：，表達式在區(qū)間上，只有是非零的，其它基函數(shù)均為零。即注意2023/2/3算例節(jié)點（如下表），求區(qū)間上分段線性插值函數(shù)，并利用它求出已知函數(shù)近似值。在區(qū)間[0,5]上取等距插值2023/2/3解:在每個分段區(qū)間于是，實際值:

當(dāng)n=7時，P(4.5)=0.04762270321996;當(dāng)n=10時，P(4.5)=0.04705882352941由此可見，對于光滑性要求不高的插值問題，分段線性插值的效果非常好！計算也簡單!2023/2/32.7三次樣條插值2023/2/3劃分X:（每個小區(qū)間作Hermite插值）2023/2/32023/2/32023/2/3稱S(x)為在節(jié)點X上的三次樣條插值函數(shù)要確定4n個參數(shù).2023/2/32023/2/31）固支條件，已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值2）兩端的二階導(dǎo)數(shù)值已知2023/2/3稱為自然邊界條件3）周期性條件稱為周期樣條函數(shù)這時2023/2/3S(x)=...三彎矩算法推導(dǎo)2023/2/32023/2/32023/2/32023/2/32023/2/32