空間直線的方程2021/5/71分析：

點(diǎn)M在直線L上點(diǎn)M同時(shí)在這兩個(gè)平面上,

點(diǎn)M的坐標(biāo)同時(shí)滿足這兩個(gè)平面的方程.1.空間直線的一般方程.

空間直線可以看作是兩個(gè)平面的交線.

設(shè)直線L是平面1和2的交線,

平面的方程分別為

A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0,這就是空間直線的一般方程.來表示.

那么直線L可以用方程組2021/5/72例1

聯(lián)立方程表示平行于yoz坐標(biāo)面的平面表示平行于xoz坐標(biāo)面的平面的解是(3,4,z),其圖形是平面x-3=0與y-4=0的交線，它平行于z軸.xyzo342021/5/73代表平面y=5x+1與平面y=x-3的交線.

例2聯(lián)立方程

2021/5/74

如果一個(gè)非零向量平行于一條已知直線,這個(gè)向量就叫做這條直線的方向向量.方向向量

直線上任一向量都平行于該直線的方向向量.

當(dāng)直線L上一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)和它的一方向向量s=(m,n,p)為已知時(shí),直線L的位置就完全確定了.確定直線的條件

若已知一條直線的一般方程則此直線的方向向量為2021/5/75例3

求通過點(diǎn)M0(x0,y0,z0),方向向量為s=(m,n,p)的直線的(x-x0,y-y0,z-z0)//s,

從而有這就是直線的方程,叫做直線的對稱式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程.

直線的任一方向向量s的坐標(biāo)m、n、p叫做這直線的一組方向數(shù).向量s的方向余弦叫做該直線的方向余弦.則從M0到M的向量平行于方向向量:

設(shè)M(x,y,z)為直線上的任一點(diǎn),方程.2021/5/76通過點(diǎn)M0(x0,y0,x0),方向向量為s=(m,n,p)的直線方程:說明:

某些分母為零時(shí),其分子也理解為零.直線方程為例如,當(dāng)直線方程為2021/5/77通過點(diǎn)M0(x0,y0,z0),方向向量為s=(m,n,p)的直線方程:此方程組就是直線的參數(shù)方程.2021/5/78提示：

先求直線上的一點(diǎn),再求這直線的方向向量s.

提示：提示：提示：于是(1,-2,0)是直線上的一點(diǎn).

在直線的一般方程中令x=1,

解

以平面x+y+z=-1和2x-y+3z=4的法線向量的向量積作為直線的方向向量s:4i-j-3k.s(i+j+k)(2i-j+3k)

可得y=-2,z=0.

所給直線的對稱式方程為

例4

所給直線的參數(shù)方程為x14ty2tz3t

2021/5/79練習(xí)：

將一般方程解先在直線上找一點(diǎn).再求直線的方向向量令x=1,解方程組,得已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點(diǎn).化成標(biāo)準(zhǔn)方程及參數(shù)方程.2021/5/7109、人的價(jià)值，在招收誘惑的一瞬間被決定。2023/2/32023/2/3Friday,February3,202310、低頭要有勇氣，抬頭要有低氣。2023/2/32023/2/32023/2/32/3/20234:31:43PM11、人總是珍惜為得到。2023/2/32023/2/32023/2/3Feb-2303-Feb-2312、人亂于心，不寬余請。2023/2/32023/2/32023/2/3Friday,February3,202313、生氣是拿別人做錯(cuò)的事來懲罰自己。2023/2/32023/2/32023/2/32023/2/32/3/202314、抱最大的希望，作最大的努力。03二月20232023/2/32023/2/32023/2/315、一個(gè)人炫耀什么，說明他內(nèi)心缺少什么。。二月232023/2/32023/2/32023/2/32/3/202316、業(yè)余生活要有意義，不要越軌。2023/2/32023/2/303February202317、一個(gè)人即使已登上頂峰，也仍要自強(qiáng)不息。2023/2/32023/2/32023/2/32023/2/32021/5/711故所給直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為參數(shù)式方程為解題思路:先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.2021/5/712例5求點(diǎn)P到直線L的距離及P在L上的投影Q.解2021/5/713兩直線的夾角

兩直線的方向向量的夾角(通常指銳角)叫做兩直線的夾角.

設(shè)直線L1和L2的方向向量分別為

s1=(m1,n1,p1)和s2=(m2,n2,p2),那么L1和L2的夾角j滿足2021/5/714兩直線垂直與平行的條件

設(shè)有兩直線L1L2m1m2+n1n2+p1p2=0;

則方向向量分別為(m1,n1,p1)和(m2,n2,p2)的直線的夾角余弦:2021/5/715提示：直線與平面的夾角

當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),直線和它在平面上的投影直線的夾角j稱為直線與平面的夾角,當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定直線與平面的夾角為90.

設(shè)直線的方向向量為s=(m,n,p),平面的法線向量為n=(A,B,C),則直線與平面的夾角j

滿足

2021/5/716

方向向量為(m,n,p)的直線與法線向量為(A,B,C)的平面的夾角j

滿足

直線與平面垂直和平行的條件

設(shè)直線L的方向向量為s=(m,n,p),平面P的法線向量為n=(A,B,C),則

L//PAm+Bn+Cp=0.2021/5/717

上述方程表示通過定直線L的所有平面的全體,稱為平面束.平面束

考慮三元一次方程:A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0,即(A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中l(wèi)為任意常數(shù).其中系數(shù)A1、B1、C1與A2、B2、C2不成比例.

設(shè)直線L的一般方程為2021/5/718補(bǔ)例.

求直線在平面上的投影直線方程.解過已知直線的平面束方程從中選擇