第三章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)

在連續(xù)介質(zhì)假設(shè)下，從幾何學(xué)的角度研究流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)(如速度、加速度等)隨空間位置和時(shí)間的變化規(guī)律。第一節(jié)研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法第二節(jié)基本概念第三節(jié)連續(xù)性方程第四節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分解第五節(jié)勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)第六節(jié)平面勢(shì)流及疊加1第一節(jié)研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

流場(chǎng)：充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間。研究流體運(yùn)動(dòng)的方法：拉格朗日法和歐拉法。一、拉格朗日法拉格朗日法是著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，先跟蹤個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)，研究其位移、速度、加速度等隨時(shí)間的變化，然后將流場(chǎng)中所有質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況綜合起來(lái)，就得到所有流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。xyz用t0時(shí)刻該流體質(zhì)點(diǎn)的空間坐標(biāo)x0、y0、z0標(biāo)識(shí)該流體質(zhì)點(diǎn)，并記為a、b、c，稱(chēng)為拉格朗日變數(shù)。a、b、c是確定的數(shù)，是不變的。2第一節(jié)研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

一、拉格朗日法在直角坐標(biāo)系中，流體質(zhì)點(diǎn)在x、y、z方向的坐標(biāo)可描寫(xiě)成

x=x(a，b，c，t)ux=dx/dt=x′(a，b，c，t)

y=y(a，b，c，t)uy=dy/dt=y′(a，b，c，t)

z=z(a，b，c，t)uz

=dz/dt=z′(a，b，c，t)用t0時(shí)刻該流體質(zhì)點(diǎn)的空間坐標(biāo)x0、y0、z0標(biāo)識(shí)該流體質(zhì)點(diǎn)，并記為a、b、c，稱(chēng)為拉格朗日變數(shù)。a、b、c是確定的數(shù)，是不變的。3

二、歐拉法歐拉法著眼于流場(chǎng)中的空間點(diǎn)，研究流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)這些空間點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化，并用同一時(shí)刻所有點(diǎn)上的運(yùn)動(dòng)情況來(lái)描述流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。第一節(jié)研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

xyz在該直角坐標(biāo)系中，該空間點(diǎn)的坐標(biāo)是用x、y、z。在t時(shí)刻某流體質(zhì)點(diǎn)占據(jù)了該空間點(diǎn)。所以該流體質(zhì)點(diǎn)的速度可表述為同時(shí)把它賦給該空間點(diǎn)，所以說(shuō)該空間點(diǎn)的速度也是對(duì)流體質(zhì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)x、y、z是t的函數(shù)，而對(duì)空間點(diǎn)來(lái)說(shuō)x、y、z不是t的函數(shù)，而是固定值。4

二、歐拉法

第一節(jié)研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

xyz問(wèn)題：該空點(diǎn)的速度是求：占據(jù)該空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的速度？對(duì)流體質(zhì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)x、y、z是t的函數(shù)，而對(duì)空間點(diǎn)來(lái)說(shuō)x、y、z不是t的函數(shù)，而是固定值。5

二、歐拉法第一節(jié)研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

流體質(zhì)點(diǎn)的速度流體質(zhì)點(diǎn)的加速度6第一節(jié)研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

質(zhì)

點(diǎn)

加

速

度時(shí)變加速度由流速

不恒定

性引起位變

加速度由流速不均勻性引起7拉格朗日法

歐拉法

著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，跟蹤質(zhì)點(diǎn)描述其運(yùn)動(dòng)歷程著眼于空間點(diǎn)，研究質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)空間各固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特性布哨跟蹤第一節(jié)研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

8例題已知拉格朗日描述x=aet，y=be-t

求速度及加速度的歐拉描述。解：速度及加速度的拉格朗日描述速度及加速度的歐拉描述空間點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)9例題已知?dú)W拉描述ux=x，uy=-y，求速度的拉格朗日描述。解：空間點(diǎn)的速度流體質(zhì)點(diǎn)的速度設(shè)：t=0時(shí)，x=a，y=b，則c1=a，c2=b10第二節(jié)基本概念一、定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)流場(chǎng)中各點(diǎn)的流動(dòng)參數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)的流動(dòng)稱(chēng)為定常流動(dòng)。u=u(x，y，z)，p=p(x，y，z)例如，恒定流的流速場(chǎng)：恒定流的時(shí)變加速度為零，但位變加速度可以不為零。11第二節(jié)基本概念二、跡線與流線

1.跡線跡線就是流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。跡線只與流體質(zhì)點(diǎn)有關(guān)，對(duì)不同的質(zhì)點(diǎn)，跡線的形狀可能不同。但對(duì)一確定的質(zhì)點(diǎn)而言，其跡線的形狀不隨時(shí)間變化。x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)z=z(a，b，c，t)12

2.流線

流線是同一時(shí)刻流場(chǎng)中連續(xù)各點(diǎn)的速度方向線。

第二節(jié)基本概念t是參數(shù)13

2.流線流線具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：

①非定常流動(dòng)時(shí)，流線的形狀

隨時(shí)間改變；定常流動(dòng)時(shí)，其形狀

不隨時(shí)間改變。此時(shí)，流線與跡線

重合，流體質(zhì)點(diǎn)沿流線運(yùn)動(dòng)。

②流線是一條光滑曲線。流線之間不能相交。如果相交，交點(diǎn)的速度必為零。否則，同一時(shí)刻在交點(diǎn)上將出現(xiàn)兩個(gè)速度，這顯然是不可能的。第二節(jié)基本概念14第二節(jié)基本概念

流線是流速場(chǎng)的矢量線，是某瞬時(shí)對(duì)應(yīng)的流場(chǎng)中的一條曲線，該瞬時(shí)位于流線上的流體質(zhì)點(diǎn)之速度矢量都和流線相切。流線是與歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的概念。有了流線，流場(chǎng)的空間分布情況就得到了形象化的描繪。15例題已知直角坐標(biāo)系中的速度場(chǎng)ux=x+t；

uy=-y+t；uz=0,試求t=0時(shí)過(guò)M(-1,-1)

點(diǎn)的流線。解：ux=x+t；uy=-y+t；uz=0(x+t)(-y+t)=Ct=0時(shí)過(guò)M(-1,-1)：C=-1

xy=1由流線的微分方程：t=0時(shí)過(guò)M(-1,-1)點(diǎn)的流線16例題t=0時(shí)過(guò)M(-1,-1)：C1=C2=0

已知直角坐標(biāo)系中的速度場(chǎng)的歐拉描述ux=x+t；

uy=-y+t；uz=0,試求t=0時(shí)過(guò)M(-1,-1)

點(diǎn)的跡線。解：x+y=-2由跡線的微分方程：x=-t-1

y=t-1消去t，得跡線方程：17例題跡線流線xyot=0時(shí)過(guò)M(-1,-1)點(diǎn)的流線和跡線示意圖M(-1,-1)18三、流管、流束及總流1.流管在流場(chǎng)中作一條與流線不重合的封閉曲線，則通過(guò)該曲線上所有點(diǎn)的流線組成的管狀表面就稱(chēng)為流管。當(dāng)流管的斷面很小時(shí)稱(chēng)為微小流管。在流管的側(cè)面沒(méi)有流體出入。流線L流管19三、流管、流束及總流2.流束流管中的所有流體稱(chēng)為流束。當(dāng)流束的斷面很小時(shí)稱(chēng)為微小流束。3.總流流動(dòng)邊界內(nèi)所有流束的總和稱(chēng)為總流。在微小流束的截面上可以認(rèn)為所有的參數(shù)是均勻分布的。20四、過(guò)流斷面和水力直徑

1.過(guò)流斷面與總流或流束中的流線

處處垂直的斷面稱(chēng)為過(guò)流斷

面(或過(guò)流截面)。

2.濕周、水力半徑、水力直徑總流的過(guò)流斷面上，流體與固體接觸的長(zhǎng)度稱(chēng)為濕周，用χ表示。總流過(guò)流斷面的面積A與濕周χ之比稱(chēng)為水力半徑R，水力半徑的4倍稱(chēng)為水力直徑。di=4A/χ=4R21五、流量及平均速度通過(guò)流場(chǎng)中某曲面A的流速通量稱(chēng)為質(zhì)量流量，記為Qm，單位為kg/s.流量計(jì)算

公式中，曲面A的法線指向應(yīng)予明確，指向相反，流量將反號(hào)。閉曲面的法向一般指所圍區(qū)域的外法向。稱(chēng)為流量，記為Q，它的物理意義是單位時(shí)間穿過(guò)該曲面的流體體積，所以也稱(chēng)為體積流量，單位為m3/s.dAuAn22五、流量及平均速度總流過(guò)流斷面上的流速與法向一致，所以穿過(guò)過(guò)流斷面A的流量大小

為，其中u

為流速的大小。定義體積流量與斷面面積

之比為斷面平均流速，它是過(guò)水?dāng)嗝嫔喜痪鶆蛄魉賣(mài)的一個(gè)平均值，假設(shè)過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)流速大小均等于v，方向與實(shí)際流動(dòng)方向相同，則通過(guò)的流量與實(shí)際流量相等。23六、一元流動(dòng)、二元流動(dòng)和三元流動(dòng)流量及平均速度

一維流動(dòng)二維流動(dòng)三維流動(dòng)平面流動(dòng)軸對(duì)稱(chēng)流動(dòng)任何實(shí)際流動(dòng)從本質(zhì)上講都是在三維空間內(nèi)發(fā)生的，二維和一維流動(dòng)是在一些特定情況下對(duì)實(shí)際流動(dòng)的簡(jiǎn)化和抽象，以便分析處理。24六、一元流動(dòng)、二元流動(dòng)和三元流動(dòng)流量及平均速度例如，以下的流動(dòng)uxazyxo25六、一元流動(dòng)、二元流動(dòng)和三元流動(dòng)流量及平均速度直角系中的平面流動(dòng)：流場(chǎng)與某一空間坐標(biāo)變量無(wú)關(guān)，且沿該坐標(biāo)方向無(wú)速度分量的流動(dòng)。xyoxyzou0u0大展弦比機(jī)翼繞流

二維流動(dòng)26六、一元流動(dòng)、二元流動(dòng)和三元流動(dòng)流量及平均速度柱坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱(chēng)流動(dòng)：zro液體在圓截面管道中的流動(dòng)子午面27七、系統(tǒng)和控制體眾多流體質(zhì)點(diǎn)的集合稱(chēng)為系統(tǒng)。系統(tǒng)一經(jīng)確定，它所包含的流體質(zhì)點(diǎn)都將確定。系統(tǒng)的大小、位置和形狀是可以變化的。系統(tǒng)控制體是指流場(chǎng)中某一確定的空間。這一空間的邊界稱(chēng)為控制面?？刂企w一經(jīng)選定，它在某坐標(biāo)系中的大小、位置和形狀都不再變化?？刂企w28第三節(jié)連續(xù)性方程

連續(xù)性方程的物理學(xué)本質(zhì)：質(zhì)量不滅定律在流體力學(xué)中的反映。在拉格朗日方法體系中有：

在歐拉方法體系中有：29第三節(jié)連續(xù)性方程

一、定?？偭鬟B續(xù)性方程在歐拉方法體系中有：定常流動(dòng)時(shí)有ρ=C30第三節(jié)連續(xù)性方程在有分流匯入及流出的情況下，連續(xù)方程只須作相應(yīng)變化。質(zhì)量的總流入=質(zhì)量的總流出。一、定常總流連續(xù)性方程ρ=C31第三節(jié)連續(xù)性方程

二、直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程xyzodxdydzuxabcda’b’c’d’凈流入前后這一對(duì)表面的流體質(zhì)量為在時(shí)間段dt

里，從abcd

面流入微元體的流體質(zhì)量為從a’b’c’d’面流出的流體質(zhì)量為32第三節(jié)連續(xù)性方程xyzodxdydzuzabcda’b’c’d’和uy

二、直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程同理可知，在時(shí)間段dt

里，沿著y方向和z方向凈流入左右和上下兩對(duì)表面的流體質(zhì)量分別為33第三節(jié)連續(xù)性方程三維流動(dòng)的連續(xù)性微分方程在時(shí)間段dt

里，微元控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增加根據(jù)質(zhì)量不滅定律簡(jiǎn)化34第三節(jié)連續(xù)性方程

二、直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程ρ=C定常ρ=C35第三節(jié)連續(xù)性方程習(xí)題3-9

直徑D=1.2m的水箱通過(guò)d=30mm的小孔泄流。今測(cè)得水箱的液面在1s內(nèi)下降了0.8mm。求泄流量Q和小孔處的平均速度v。解：36第三節(jié)連續(xù)性方程習(xí)題3-11

大管d1=150mm和小管d2=100mm之間用一變徑接頭連接。若小管中的速度v2=3m/s，求流量Q和大管中的平均速度v1。解：設(shè)流體不可壓，根據(jù)連續(xù)方程，有37第三節(jié)連續(xù)性方程習(xí)題3-15判斷流動(dòng)ux=xy；uy=-xy

是否滿足不可壓縮流動(dòng)的連續(xù)性條件。解：因?yàn)?/p>

ux=xy；uy=-xy

與時(shí)間無(wú)關(guān)，所以流動(dòng)定常，根據(jù)定常不可壓微分形式連續(xù)方程，有因?yàn)椋▂－x）≠0，所以流動(dòng)不滿足不可壓流動(dòng)的連續(xù)條件。38第三節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析考察和分析流體質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)位移和相對(duì)運(yùn)動(dòng)。談及相對(duì)運(yùn)動(dòng)就必須把討論問(wèn)題的尺度從流體質(zhì)點(diǎn)擴(kuò)大到流體微團(tuán)。給出在同一時(shí)刻流體微團(tuán)中任意兩點(diǎn)速度之間的關(guān)系。分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式。39第三節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析dr40ABxyodxdyt

CD以oxy平面上的運(yùn)動(dòng)為例，分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)。A’B’C’D’第三節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析t+dtA’B’C’D’41ABxyodxdyt

CD以oxy平面上的運(yùn)動(dòng)為例，分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)。第三節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析42A’B’C’D’第三節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析－線變形43第三節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析－旋轉(zhuǎn)和角變形44第三節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析－旋轉(zhuǎn)和角變形ABxyodxdyt

CD45第三節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析－旋轉(zhuǎn)和角變形46第三節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析－有旋和無(wú)旋唯一的標(biāo)準(zhǔn)是看流速場(chǎng)是否滿足，寫(xiě)成分量形式為：

判別：

有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)

無(wú)旋流動(dòng)有旋流動(dòng)這個(gè)分類(lèi)是

很重要的47第一節(jié)研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

一、拉格朗日法在直角坐標(biāo)系中，流體質(zhì)點(diǎn)在x、y、z方向的坐標(biāo)可描寫(xiě)成

x=x(a，b，c，t)ux=dx/dt=x′(a，b，c，t)

y=y(a，b，c，t)uy=dy/dt=y′(a，b，c，t)

z=z(a，b，c，t)uz

=dz/dt=z′(a，b，c，t)48上次課主要內(nèi)容回顧

二、歐拉法第一節(jié)研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

49上次課主要內(nèi)容回顧第一節(jié)研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

質(zhì)

點(diǎn)

加

速

度時(shí)變加速度由流速

不恒定

性引起位變

加速度由流速不均勻性引起50上次課主要內(nèi)容回顧第二節(jié)基本概念一、定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)流場(chǎng)中各點(diǎn)的流動(dòng)參數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)的流動(dòng)稱(chēng)為定常流動(dòng)。u=u(x，y，z)，p=p(x，y，z)51上次課主要內(nèi)容回顧第二節(jié)基本概念二、跡線與流線

1.跡線跡線就是流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。跡線只與流體質(zhì)點(diǎn)有關(guān)，對(duì)不同的質(zhì)點(diǎn)，跡線的形狀可能不同。但對(duì)一確定的質(zhì)點(diǎn)而言，其跡線的形狀不隨時(shí)間變化。x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)z=z(a，b，c，t)52上次課主要內(nèi)容回顧

2.流線

流線是同一時(shí)刻流場(chǎng)中連續(xù)各點(diǎn)的速度方向線。

第二節(jié)基本概念t是參數(shù)53上次課主要內(nèi)容回顧

2.流線流線具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：

①非定常流動(dòng)時(shí)，流線的形狀

隨時(shí)間改變；定常流動(dòng)時(shí)，其形狀

不隨時(shí)間改變。此時(shí)，流線與跡線

重合，流體質(zhì)點(diǎn)沿流線運(yùn)動(dòng)。

②流線是一條光滑曲線。流線之間不能相交。如果相交，交點(diǎn)的速度必為零。否則，同一時(shí)刻在交點(diǎn)上將出現(xiàn)兩個(gè)速度，這顯然是不可能的。第二節(jié)基本概念54上次課主要內(nèi)容回顧三、流管、流束及總流1.流管流線L流管55上次課主要內(nèi)容回顧三、流管、流束及總流2.流束

3.總流流動(dòng)邊界內(nèi)所有流束的總和稱(chēng)為總流。56上次課主要內(nèi)容回顧四、過(guò)流斷面和水力直徑

1.過(guò)流斷面與總流或流束中的流線

處處垂直的斷面稱(chēng)為過(guò)流斷

面(或過(guò)流截面)。

2.濕周、水力半徑、水力直徑總流的過(guò)流斷面上，流體與固體接觸的長(zhǎng)度稱(chēng)為濕周，用χ表示。總流過(guò)流斷面的面積A與濕周χ之比稱(chēng)為水力半徑R，水力半徑的4倍稱(chēng)為水力直徑。di=4A/χ=4R57上次課主要內(nèi)容回顧五、流量及平均速度dAuAn58上次課主要內(nèi)容回顧七、系統(tǒng)和控制體眾多流體質(zhì)點(diǎn)的集合稱(chēng)為系統(tǒng)。系統(tǒng)一經(jīng)確定，它所包含的流體質(zhì)點(diǎn)都將確定。系統(tǒng)的大小、位置和形狀是可以變化的。系統(tǒng)控制體是指流場(chǎng)中某一確定的空間。這一空間的邊界稱(chēng)為控制面?？刂企w一經(jīng)選定，它在某坐標(biāo)系中的大小、位置和形狀都不再變化?？刂企w59上次課主要內(nèi)容回顧第三節(jié)連續(xù)性方程

連續(xù)性方程的物理學(xué)本質(zhì)：質(zhì)量不滅定律在流體力學(xué)中的反映。在拉格朗日方法體系中有：在歐拉方法體系中有：60上次課主要內(nèi)容回顧第三節(jié)連續(xù)性方程一、定常總流連續(xù)性方程ρ=C61上次課主要內(nèi)容回顧第三節(jié)連續(xù)性方程

二、直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程ρ=C定常ρ=C62上次課主要內(nèi)容回顧第三節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析dr63上次課主要內(nèi)容回顧ABxyodxdyt

CDA’B’C’D’第三節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析t+dtA’B’C’D’64上次課主要內(nèi)容回顧第三節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析－線變形65上次課主要內(nèi)容回顧第三節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析－旋轉(zhuǎn)和角變形66上次課主要內(nèi)容回顧第三節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析－有旋和無(wú)旋唯一的標(biāo)準(zhǔn)是看流速場(chǎng)是否滿足，寫(xiě)成分量形式為：

判別：

有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)

無(wú)旋流動(dòng)有旋流動(dòng)這個(gè)分類(lèi)是

很重要的67上次課主要內(nèi)容回顧第五節(jié)勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)可以證明：當(dāng)流動(dòng)為無(wú)旋(即有勢(shì))時(shí)，函數(shù)φ(x，y，z)必存在，且上式一定成立。一、勢(shì)函數(shù)68第五節(jié)勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)二、流函數(shù)等流函數(shù)ψ(x，y)＝C是流線?？梢宰C明：當(dāng)流動(dòng)為不可壓時(shí)，函數(shù)ψ(x,y)必存在，且上式一定成立。69第六節(jié)平面勢(shì)流及其迭加一、幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流

1.平行流

oαxyψ2ψ1ψ4φ2ψ3ψ5φ3φ4φ5φ170第六節(jié)平面勢(shì)流及其迭加一、幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流

2.點(diǎn)源和點(diǎn)匯設(shè)平面上有一涌出流體的源泉點(diǎn)O(稱(chēng)為源點(diǎn))。單位時(shí)間內(nèi)流出體積為Q的流體。如果流體只在相