向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示新知探究平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

數(shù)字化是當(dāng)前社會(huì)的最大特色，任何一件事物都被數(shù)字化了，當(dāng)然這里的數(shù)字化強(qiáng)調(diào)的是數(shù)碼，向量的數(shù)量積的幾何運(yùn)算為我們展示的是一幅美麗的畫卷，它解決了幾何中與度量相關(guān)的角度、長(zhǎng)度（距離）等問(wèn)題，向量的坐標(biāo)運(yùn)算又是如何展示這些問(wèn)題的呢？本節(jié)我們來(lái)探索這個(gè)問(wèn)題．新知探究問(wèn)題1

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、數(shù)量積，已知向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），請(qǐng)你寫出a±b的坐標(biāo)運(yùn)算以及數(shù)量積的定義．（1）a＋b＝（x1，y1）＋（x2，y2）＝（x1＋x2，y1＋y2）；（3）a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ．（2）a－b＝（x1，y1）－（x2，y2）＝（x1－x2，y1－y2）；新知探究問(wèn)題2

已知兩個(gè)向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎樣用a與b的坐標(biāo)表示a·b呢？設(shè)i，j分別是x軸、y軸方向上的單位向量，則a·b＝（x1i＋y1j）·（x2i＋y2j）．＝x1x2i2＋（x1y2＋x2y1）i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2．新知探究追問(wèn)1：若a⊥b，a與b的夾角為θ，你又能得出什么結(jié)論？（1）若a⊥b，則x1x2＋y1y2＝0；（2）若a與b的夾角為θ，則cosθ＝

．

新知探究問(wèn)題3

若a＝（x，y），試將向量的模｜a｜用坐標(biāo)表示．∵a＝xi＋yj，x，y∈R，∴a2＝（xi＋yj）2＝（xi）2＋2xy

i·j＋（yj）2＝x2i2＋2xy

i·j＋y2j2．又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴a2＝x2＋y2，∴｜a｜2＝x2＋y2，

新知探究

＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1），

新知探究問(wèn)題4

已知a＝（2，－1），b＝（2，3），求（1）a·b；（2）｜a＋b｜；

（3）求a與b夾角θ的余弦值．（1）a·b＝2×2＋（－1）×3＝1；

（3）cosθ＝

初步應(yīng)用例1

已知向量a和b同向，b＝（1，2），a·b＝10，求：解答：（1）設(shè)a＝λb＝（λ，2λ）（λ＞0）．

∴a＝（2，4）．（2）（a·c）·b＝［2×2＋4×（－1）］·b＝0·b＝0．（1）向量a的坐標(biāo)；（2）若c＝（2，－1），求（a·c）·b．初步應(yīng)用

（1）點(diǎn)P到直線AB的距離為

；

（詳解參考教材P104例4的解析．）（2）點(diǎn)P（3，5）到直線l的距離

．

初步應(yīng)用

即1×（m－3）＋2×2＝0，解得m＝－1．

課堂練習(xí)練習(xí)：教科書第105頁(yè)練習(xí)1，2，3，4．歸納小結(jié)（1）這節(jié)課我們發(fā)現(xiàn)了什么新知識(shí)？我們是如何研究它的？（2）利用向量數(shù)量積運(yùn)算有哪幾種途徑？問(wèn)題3

本節(jié)課收獲了哪些知識(shí)，請(qǐng)你從以下幾方面總結(jié)：（1）我們發(fā)現(xiàn)了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，利用向量數(shù)量積公式進(jìn)行推導(dǎo)、研究；（2）進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．解題時(shí)通常有兩條途徑：

一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；

二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開（3）困惑是：……（3）你有什么困惑嗎？，再依據(jù)已知計(jì)算．作業(yè)布置作業(yè)：教科書第107頁(yè)，A組1，2，6；B組2．1目標(biāo)檢測(cè)D已知向量a＝（1，k），b＝（2，2），且a＋b與a共線，則a·b的值為（）A．1C．3D．4B．2解析：a＋b＝（3，k＋2），由a＋b與a共線，可得3k－（k＋2）＝0，解得k＝1，則a＝（1，1），從而a·b＝1×2＋1×2＝4．2目標(biāo)檢測(cè)CA．（－3，0）C．（3，0）D．（4，0）B．（2，0）

3目標(biāo)檢測(cè)

解析：∵b＝（－2，－4）＝－2（1，2）＝－2a，

∵0≤θ≤π，∴θ＝

，

∴a＋b＝－a，∴（a＋b）·c＝－a·c＝

．

設(shè)a與c的夾角為θ，則cosθ＝

．

即a與c的夾角為

．

4目標(biāo)檢測(cè)已知a＝（4，3），b＝（－1，2）．（1）求a與b的夾角的余弦值；（2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求實(shí)數(shù)λ的值．

解答：（1）∵a·b＝4×（－1）＋3×2＝2，（2）∵a－λb＝（4＋λ，3－2λ），2a