數(shù)量關(guān)系

—第7章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

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點(diǎn),

線,

面基本方法

—

坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）向量代數(shù)與空間解析幾何四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影向量及其線性運(yùn)算

第七章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱(chēng)矢量).既有大小,又有方向的量稱(chēng)為向量自由向量:與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,記作e

或e.或a.規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱(chēng)a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱(chēng)a與b平行,

a∥b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱(chēng)為a

的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱(chēng)兩向量共線

.若k(≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱(chēng)此k個(gè)向量共面

.記作－a;二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加.2.向量的減法三角不等式可見(jiàn)3.向量與數(shù)的乘法

是一個(gè)數(shù),規(guī)定:總之:運(yùn)算律:結(jié)合律分配律因此

與a

的乘積是一個(gè)新向量,記作定理1.

設(shè)

a

為非零向量,則(為唯一實(shí)數(shù))a∥b例1.

設(shè)M

為解:ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn)O,

坐標(biāo)面

卦限(八個(gè))1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念ⅠzOx面在直角坐標(biāo)系下向徑坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C點(diǎn)

M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱(chēng)為點(diǎn)

M

的坐標(biāo))原點(diǎn)O(0,0,0);坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:2.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn)

M

則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量,的坐標(biāo)為此式稱(chēng)為向量

r

的坐標(biāo)分解式

,任意向量r

可用向徑OM

表示.記四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算則平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:設(shè)例2.已知兩點(diǎn)在AB所在直線上求一點(diǎn)M,使解:

設(shè)M

的坐標(biāo)為如圖所示及實(shí)數(shù)得即說(shuō)明:由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)

M為AB

的中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公式:對(duì)兩點(diǎn)與例3.

求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點(diǎn)例4.

在z

軸上求與兩點(diǎn)等距解:

設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及思考:(1)如何求在

xOy

面上與A,B

等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點(diǎn)的軌跡方程?離的點(diǎn).(1)如何求在

xOy

面上與A,B

等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點(diǎn)的軌跡方程?提示:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得且例5.已知兩點(diǎn)解:求AB的單位向量e.2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點(diǎn)O,稱(chēng)=∠AOB(0≤≤

)

為向量

的夾角.類(lèi)似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角

,,為其方向角.方向角的余弦稱(chēng)為其方向余弦.

方向余弦的性質(zhì):例6.已知兩點(diǎn)和的模、方向余弦和方向角.解:計(jì)算向量3.向量在軸上的投影第二節(jié)則

a

在軸u

上的投影為例如,在坐標(biāo)軸上的投影分別為設(shè)a

與u

軸正向的夾角為

,,即投影的性質(zhì)2)1)