第4章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的常規(guī)控制技術(shù)4.1.數(shù)字PID控制4.2.計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)連續(xù)域－離散化設(shè)計(jì)4.3.最少拍控制4.4.純滯后控制本章主要內(nèi)容2/3/20231本節(jié)主要內(nèi)容4.1.1

模擬PID調(diào)節(jié)器4.1.2

數(shù)字PID控制器的實(shí)現(xiàn)4.1.3數(shù)字PID算法的改進(jìn)4.1.4數(shù)字PID參數(shù)的整定4.1.5PID控制的新發(fā)展

4．1數(shù)字PID控制

2/3/20232

按偏差的比例、積分和微分進(jìn)行控制的調(diào)節(jié)器簡(jiǎn)稱為PID調(diào)節(jié)器，是在連續(xù)系統(tǒng)中技術(shù)最為成熟，應(yīng)用最為廣泛的一種調(diào)節(jié)器。

PID調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)易于調(diào)整，當(dāng)被控對(duì)象精確數(shù)學(xué)模型難以建立、系統(tǒng)的參數(shù)又經(jīng)常發(fā)生變化時(shí)，應(yīng)用PID控制技術(shù)，在線整定最為方便。在計(jì)算機(jī)進(jìn)入控制領(lǐng)域后，用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)數(shù)字PID算法代替了模擬PID調(diào)節(jié)器。2/3/202331．用經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)連續(xù)系統(tǒng)模擬調(diào)節(jié)器，然后用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)字模擬，這種方法稱為模擬化設(shè)計(jì)方法。2．應(yīng)用采樣控制理論直接設(shè)計(jì)數(shù)字控制器，這是一種直接設(shè)計(jì)方法（或稱離散化設(shè)計(jì)）

數(shù)字PID控制器的設(shè)計(jì)是按照1進(jìn)行的。連續(xù)生產(chǎn)過(guò)程中,設(shè)計(jì)數(shù)字控制器的兩種方法:2/3/20234PID控制器是一種線性控制器；根據(jù)對(duì)象的特性和控制要求，可靈活地改變其結(jié)構(gòu)。

4.1.1模擬PID控制器模擬PID控制結(jié)構(gòu)圖2/3/20235PID調(diào)節(jié)器的基本結(jié)構(gòu)1.比例調(diào)節(jié)器2.比例積分調(diào)節(jié)器3.比例微分調(diào)節(jié)器4.比例積分微分調(diào)節(jié)器

2/3/20236控制規(guī)律：

其中：為比例系數(shù)；為控制量的基準(zhǔn)。

比例調(diào)節(jié)的特點(diǎn)：比例調(diào)節(jié)器對(duì)于偏差是即時(shí)反應(yīng)，偏差一旦產(chǎn)生，調(diào)節(jié)器立即產(chǎn)生控制作用使被控量朝著減小偏差的方向變化，控制作用的強(qiáng)弱取決于比例系數(shù)。只有當(dāng)偏差發(fā)生變化時(shí)，控制量才變化。

1.比例調(diào)節(jié)器缺點(diǎn)：不能消除靜差；過(guò)大，會(huì)使動(dòng)態(tài)質(zhì)量變壞，引起被控量振蕩甚至導(dǎo)致閉環(huán)不穩(wěn)定。

P調(diào)節(jié)器的階躍響應(yīng)圖

2/3/202372.比例積分調(diào)節(jié)器控制規(guī)律：積分調(diào)節(jié)的特點(diǎn)：調(diào)節(jié)器的輸出與偏差存在的時(shí)間有關(guān)。只要偏差不為零，輸出就會(huì)隨時(shí)間不斷增加，并減小偏差，直至消除偏差，控制作用不再變化，系統(tǒng)才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)。其中：為積分時(shí)間常數(shù)。

缺點(diǎn)：降低響應(yīng)速度。

00upKpK0tiTut110t0etPI調(diào)節(jié)器的階躍響應(yīng)圖2/3/202383.比例微分調(diào)節(jié)器控制規(guī)律：其中：為微分時(shí)間常數(shù)。

微分調(diào)節(jié)的特點(diǎn)：在偏差出現(xiàn)或變化的瞬間，產(chǎn)生一個(gè)正比于偏差變化率的控制作用，它總是反對(duì)偏差向任何方向的變化，偏差變化越快，反對(duì)作用越強(qiáng)。故微分作用的加入將有助于減小超調(diào)，克服振蕩，使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。它加快了系統(tǒng)的動(dòng)作速度，減小調(diào)整時(shí)間，從而改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

缺點(diǎn)：

太大，易引起系統(tǒng)不穩(wěn)定。

101et0t00tutpK0u理想PD調(diào)節(jié)器的階躍響應(yīng)圖2/3/202394.比例積分微分調(diào)節(jié)器控制規(guī)律：比例積分微分三作用的線性組合。

在階躍信號(hào)的作用下，首先是比例和微分作用，使其調(diào)節(jié)作用加強(qiáng)，然后是積分作用，直到消除偏差。

101et0t00tiTutpKpK0u理想PID調(diào)節(jié)器的階躍響應(yīng)圖2/3/2023104.1.2數(shù)字PID控制器

當(dāng)采樣周期足夠小時(shí)，在模擬調(diào)節(jié)器的基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)值逼近的方法，用求和代替積分、用向后差分代替微分，使模擬PID離散化變?yōu)椴罘址匠獭？勺魅缦陆?式中，T為采樣周期，k為采樣序號(hào)。2/3/202311兩種標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)字PID控制算法

（l）數(shù)字PID位置型控制算法

控制算法提供了執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置。

式中：或：2/3/202312（2）數(shù)字PID增量型控制算法

由位置型算法又∵，得：得：增量型算法只需保持前3個(gè)時(shí)刻的偏差值。2/3/202313（3）兩種標(biāo)準(zhǔn)PID控制算法比較

兩種PID控制算法實(shí)現(xiàn)的閉環(huán)系統(tǒng)示意圖（a）位置型（b）增量型2/3/202314算法比較

：

（1）增量型算法不需要做累加，計(jì)算誤差或計(jì)算精度問(wèn)題，對(duì)控制量的計(jì)算影響較小。而位置型算法要用到過(guò)去誤差的所有累加值，容易產(chǎn)生大的累加誤差。（2）增量型算法得出的是控制量的增量，誤動(dòng)作影響小，而位置型算法的輸出是控制量的全量輸出，誤動(dòng)作影響大。（3）采用增量型算法，由于算式中不出現(xiàn)項(xiàng)，則易于實(shí)現(xiàn)手動(dòng)到自動(dòng)的無(wú)沖擊切換。2/3/2023154.1.3數(shù)字PID控制算法的改進(jìn)1.抗積分飽和算法（1）積分飽和的原因及影響

---系統(tǒng)出現(xiàn)較大的偏差時(shí)，經(jīng)過(guò)PID算法中積分項(xiàng)的積累后，使控制作用u(k)很大，甚至超過(guò)執(zhí)行機(jī)構(gòu)由機(jī)械或物理性能所確定的極限，控制量達(dá)到了飽和。此時(shí)閉環(huán)控制系統(tǒng)相當(dāng)于被斷開(kāi)。積分器輸出可能達(dá)到非常大的數(shù)值。---當(dāng)誤差最終被減小下來(lái)時(shí)，可能要花相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間積分項(xiàng)才能回到正常值。此時(shí)最明顯的結(jié)果是，系統(tǒng)超調(diào)增大，響應(yīng)延遲。

2/3/2023164.1.3數(shù)字PID控制算法的改進(jìn)控制飽和值不變，但系統(tǒng)給定值加大，使控制作用出現(xiàn)飽和時(shí)的仿真曲線

在同樣給定值時(shí)，控制作用沒(méi)有飽和限制時(shí)的仿真曲線。

積分飽和曲線圖小信號(hào)控制下，積分器沒(méi)有飽和的響應(yīng)曲線。2/3/2023174.1.3數(shù)字PID控制算法的改進(jìn)

（2）什么是飽和效應(yīng)？在實(shí)際過(guò)程中，控制變量因受到執(zhí)行元件機(jī)械和物理性能的約束而限制在有限范圍內(nèi)，即其變化率也有一定的限制范圍，即

如果計(jì)算機(jī)給出的控制量在所限制范圍內(nèi)，能得到預(yù)期結(jié)果；若超出此范圍，實(shí)際執(zhí)行的控制量就不再是計(jì)算值，將得不到期望的效果。這種效應(yīng)稱為飽和效應(yīng)。2/3/2023182.抑制飽和的方法

過(guò)程的起動(dòng)、結(jié)束、大幅度增減設(shè)定值短時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的輸出會(huì)出現(xiàn)很大的偏差，致使積分部分幅值快速上升。由于系統(tǒng)存在慣性和滯后，這就勢(shì)必引起系統(tǒng)輸出出現(xiàn)較大的超調(diào)和長(zhǎng)時(shí)間的波動(dòng)，特別對(duì)于溫度、成分等變化緩慢的過(guò)程，這一現(xiàn)象更為嚴(yán)重，有可能引起系統(tǒng)振蕩（即積分飽和現(xiàn)象）。采用積分分離PID或變速積分PID等控制算法可以解決。(1)抑制積分飽和2/3/202319積分分離PID控制算法式中，為邏輯變量；為積分分離限值，它根據(jù)具體對(duì)象要求確定。過(guò)大，達(dá)不到積分分離的目的；過(guò)小，一旦被控量無(wú)法跳出積分分離區(qū)，只進(jìn)行PD控制，將會(huì)出現(xiàn)靜差。PID控制算法比較示意圖2/3/202320系數(shù)與偏差當(dāng)前值的關(guān)系可以是線性的或非線性的，可設(shè)為

變速積分的PID積分項(xiàng)表達(dá)式為值在區(qū)間內(nèi)變化。變速積分PID控制算法2/3/202321

基本思想是，當(dāng)控制量進(jìn)入飽和區(qū)后，只執(zhí)行削弱積分項(xiàng)的累加，而不進(jìn)行增大積分項(xiàng)的累加。

具體算式為若u(k-1)≥umax且e(k)≥0，不進(jìn)行積分累加；若e(k)<0，進(jìn)行積分累加.若u(k-1)≤umax且e(k)≤0，不進(jìn)行積分累加；若e(k)>0，進(jìn)行積分累加。遇限削弱積分法2/3/202322

基本思想是，當(dāng)控制作用達(dá)到飽和時(shí)，停止積分器積分，而控制器輸出未飽和時(shí)，積分器仍正常積分。具體算法是：，不進(jìn)行積分運(yùn)算；，進(jìn)行積分運(yùn)算。簡(jiǎn)單易行，但不如上一種方法容易使系統(tǒng)退出飽和。飽和停止積分法2/3/202323基本思想：---測(cè)量執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸入與輸出，并形成誤差es，將該信號(hào)經(jīng)過(guò)增益1/Tt反饋至積分器輸入端，降低積分器輸出。---當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)未飽和時(shí)，es=0；---當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和時(shí)，附加反饋通道使誤差信號(hào)es趨于零，使控制器輸出處于飽和極限。方案要求：---系統(tǒng)可以測(cè)量執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出。---若無(wú)法測(cè)量執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出，可以在執(zhí)行機(jī)構(gòu)之前加入執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶飽和限幅的靜態(tài)數(shù)學(xué)模型，利用該模型形成誤差es，并構(gòu)成附加反饋通道。反饋抑制積分飽和法結(jié)構(gòu)圖

反饋抑制積分飽和法2/3/202324

(2)抑制微分飽和方法

微分環(huán)節(jié)的引入對(duì)于干擾特別敏感。當(dāng)系統(tǒng)中存在高頻干擾時(shí)，會(huì)降低控制效果。當(dāng)被控量突然變化時(shí)，正比于偏差變化率的微分輸出就很大。但由于持續(xù)時(shí)間很短，執(zhí)行部件因慣性或動(dòng)作范圍的限制，其動(dòng)作位置達(dá)不到控制量的要求值，這樣就產(chǎn)生了所謂的微分失控（飽和）。采用不完全微分可以收到較好理想效果。2/3/202325不完全微分PID控制器結(jié)構(gòu)圖

不完全微分PID控制器結(jié)構(gòu)（1）（2）不完全微分的PID控制算法2/3/202326（3）（4）進(jìn)行離散化，得到不完全微分PID位置型控制算式

（5）2/3/202327PID輸出特性的比較圖(a)普通PID控制(b)不完全微分PID控制（1）普通PID控制的微分作用僅局限于第一個(gè)采樣周期有一個(gè)大幅度的輸出。一般的工業(yè)用執(zhí)行機(jī)構(gòu)，無(wú)法在較短的采樣周期內(nèi)跟蹤較大的微分作用輸出，而且理想微分容易引進(jìn)高頻干擾。（2）不完全微分PID控制的微分作用能緩慢地持續(xù)多個(gè)采樣周期。由于不完全微分PID算式中含有一個(gè)低通濾波器，因此抗干擾能力也較強(qiáng)。2/3/202328微分先行是指把微分運(yùn)算放在最前面，后面再緊跟比例和積分運(yùn)算。對(duì)偏差值微分

對(duì)輸出量c(t)微分

這種結(jié)構(gòu)適用于給定值頻繁升降的場(chǎng)合，可以避免因輸入變動(dòng)而在輸出上產(chǎn)生躍變。微分先行結(jié)構(gòu)圖

微分先行PID2/3/202329

控制算法：非靈敏區(qū)設(shè)置值，依實(shí)驗(yàn)確定，不應(yīng)過(guò)大或過(guò)小.如要求系統(tǒng)不要過(guò)于頻繁進(jìn)行調(diào)節(jié)，以消除由此所引起的系統(tǒng)輸出量的波動(dòng)時(shí)常采用這種結(jié)構(gòu)。帶非靈敏區(qū)的PID控制結(jié)構(gòu)圖帶非靈敏區(qū)的PID控制2/3/2023304.1.4數(shù)字PID控制器參數(shù)的整定

1.采樣周期的選擇

（1）采樣周期應(yīng)比對(duì)象的時(shí)間常數(shù)小得多；（2）采樣周期應(yīng)遠(yuǎn)小于對(duì)象擾動(dòng)信號(hào)的周期，一般使擾動(dòng)信號(hào)周期與采樣周期成整數(shù)倍關(guān)系；（3）當(dāng)系統(tǒng)純滯后占主導(dǎo)地位時(shí)，應(yīng)盡可能使純滯后時(shí)間接近或等于采樣周期的整數(shù)倍。（4）如果執(zhí)行器的響應(yīng)速度比較慢，那么采樣周期過(guò)小將失去意義。（5）采樣周期的下限是使計(jì)算機(jī)完成采樣、運(yùn)算和輸出三件工作所需要的時(shí)間（對(duì)單回路而言）。一般應(yīng)考慮如下因素：

2/3/202331

2.PID參數(shù)的工程整定法

（l）擴(kuò)充臨界比例度法整定步驟如下：①選擇一足夠小的采樣周期。若系統(tǒng)存在純滯后，采樣周期應(yīng)小于純滯后的1／10。

②投入純比例控制，使控制系統(tǒng)出現(xiàn)臨界振蕩。記下臨界比例系數(shù)和臨界振蕩周期。系統(tǒng)的臨界振蕩狀態(tài)示意圖

2/3/202332③選擇控制度；

控制度

④按擴(kuò)充臨界比例度法參數(shù)整定計(jì)算公式，求取、、、。

⑤按求得的參數(shù)運(yùn)行，在運(yùn)行中觀察控制效果，用試湊法適當(dāng)調(diào)整有關(guān)控制參數(shù)，以便獲得滿意的控制效果。

2/3/202333控制度控制規(guī)律T/TkKP/Kk

TI/TkTD/Tk1.05PIPID0.030.0140.530.630.880.49—0.141.20PIPID0.050.0430.490.470.910.47—0.161.50PIPID0.140.090.420.340.990.43—0.202.0PIPID0.220.160.360.271.050.40—0.22表4-1擴(kuò)充臨界比例度法整定參數(shù)2/3/202334（2）擴(kuò)充響應(yīng)曲線法對(duì)于不允許進(jìn)行臨界振蕩實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)，可采用此方法。

整定步驟如下：①斷開(kāi)數(shù)字PID控制器，使系統(tǒng)在手動(dòng)狀態(tài)下工作，給被控對(duì)象一個(gè)階躍輸入信號(hào)；②用儀表記錄下在階躍輸入信號(hào)下的對(duì)象階躍響應(yīng)曲線；對(duì)象階躍響應(yīng)曲線圖2/3/202335⑤選擇擴(kuò)充響應(yīng)曲線法參數(shù)整定計(jì)算公式，根據(jù)測(cè)得的和，求取控制參數(shù)、、和。④選擇控制度；⑥按求得的參數(shù)運(yùn)行，觀察控制效果，適當(dāng)修正參數(shù)，直到滿意為止。③在響應(yīng)曲線上的拐點(diǎn)處作切線，得到對(duì)象等效的純滯后時(shí)間和對(duì)象等效的時(shí)間常數(shù)；2/3/202336控制度控制規(guī)律T/τKP/

Tm/τTI/τTD/τ1.05PIPID0.100.050.841.153.42.0—0.451.20PIPID0.200.160.781.03.61.9—0.551.50PIPID0.50.340.680.853.91.62—0.652.0PIPID0.800.600.570.604.21.50—0.82表4-2擴(kuò)充階躍響應(yīng)曲線法PID參數(shù)

2/3/202337(3)試湊法確定PID參數(shù)試湊調(diào)整時(shí)，應(yīng)根據(jù)PID每項(xiàng)對(duì)控制性能的影響趨勢(shì)，反復(fù)調(diào)整Kp、TI和TD參數(shù)的大小。

整定步驟：

①首先只整定比例部分。比例系數(shù)KP由小變大，觀察相應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)，直到得到反應(yīng)快、超調(diào)小的響應(yīng)曲線。系統(tǒng)若無(wú)靜差或靜差已小到允許范圍內(nèi)，并且響應(yīng)效果良好，那么只需用比例調(diào)節(jié)器即可。

②若穩(wěn)態(tài)誤差不能滿足要求，則加入積分控制。整定時(shí)先置積分時(shí)間TI為一較大值，并將經(jīng)第1步整定2/3/202338得到的KP減小些，然后減小TI，使系統(tǒng)在保持良好動(dòng)態(tài)響應(yīng)的情況下，消除穩(wěn)態(tài)誤差。這種調(diào)整可根據(jù)響應(yīng)曲線的狀態(tài)，反復(fù)改變KP及TI，以期得到滿意的控制過(guò)程。③若使用PI調(diào)節(jié)器消除了穩(wěn)態(tài)誤差，但動(dòng)態(tài)過(guò)程仍不能滿意，則可加入微分環(huán)節(jié)。在第2步整定的基礎(chǔ)上，逐步增大TD，同時(shí)相應(yīng)地改變KP和TI，逐步試湊以獲得滿意的調(diào)節(jié)效果。2/3/202339本節(jié)主要內(nèi)容4.2.1連續(xù)域—離散化設(shè)計(jì)原理與步驟4.2.2各種離散化方法

4．2計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)連續(xù)域－離散化設(shè)計(jì)2/3/2023404.2.1連續(xù)域—離散化設(shè)計(jì)原理與步驟連續(xù)域—離散化設(shè)計(jì)是一種間接設(shè)計(jì)法，實(shí)質(zhì)是將數(shù)字控制器部分看成是一個(gè)整體，輸入r(t)和輸出c(t)都是模擬量因而可等效為連續(xù)傳遞函數(shù)Dc(s)。

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)典型組成結(jié)構(gòu)圖

A/D輸出與輸入關(guān)系：系統(tǒng)低通特性

Dc(s)中的3個(gè)環(huán)節(jié)可近似描述如下：采樣頻率較高

2/3/202341計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)算法D(z)的計(jì)算表示：D/A的頻率特性：等效連續(xù)傳遞函數(shù)：數(shù)字算法D(z)的等效傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)常近似為計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)等效連續(xù)結(jié)構(gòu)圖4.2.1連續(xù)域—離散化設(shè)計(jì)原理與步驟2/3/202342連續(xù)域—離散化設(shè)計(jì)的步驟如下：第1步：根據(jù)系統(tǒng)的性能選擇采樣頻率，設(shè)計(jì)抗混疊前置濾波器。第2步：考慮ZOH的相位滯后，根據(jù)性能指標(biāo)和連續(xù)域設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)數(shù)字控制算法的等效傳遞函數(shù)Ddc(s)。----如所取采樣頻率較高，可略去ZOH的影響。第3步：選擇合適的離散化方法，將Ddc(s)離散化，獲得脈沖傳遞函數(shù)D(z)，使兩者性能盡量等效。第4步：檢驗(yàn)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的閉環(huán)性能。如滿足指標(biāo)要求，進(jìn)行下一步；否則，重新設(shè)計(jì)。改進(jìn)設(shè)計(jì)的途徑有：----選擇更合適的離散化方法。----提高采樣頻率。----修正連續(xù)域設(shè)計(jì)，如增加穩(wěn)定裕度指標(biāo)等。第5步：將D(z)變?yōu)閿?shù)字算法，在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn)。4.2.1連續(xù)域—離散化設(shè)計(jì)原理與步驟2/3/202343離散化法的實(shí)質(zhì)就是求原連續(xù)傳遞函數(shù)D(s)的等效離散傳遞函數(shù)D(z)。“等效”是指D(s)與D(z)在下述幾種特性方面具有相近性：---零極點(diǎn)個(gè)數(shù)；---系統(tǒng)的頻帶；---穩(wěn)態(tài)增益；---相位及增益裕度；---階躍響應(yīng)或脈沖響應(yīng)形狀；---頻率響應(yīng)特性。離散化方法很多

數(shù)值積分法（置換法）

---一階向后差法---一階向前差法---雙線性變換法

---修正雙線性變換法零極點(diǎn)匹配法保持器等價(jià)法

z變換法(脈沖響應(yīng)不變法)

注意：不同的離散化方法特性不同.

D(z)與D(s)相比，并不能保持全部特性，并且不同特性的接近程度也不一致。

4.2.2各種離散化方法2/3/202344本小節(jié)主要內(nèi)容

1.一階向后差分法2.一階向前差分法3.雙線性變換法（突斯汀-Tustin變換法）4.修正雙線性變換5.零極點(diǎn)匹配法6.其他方法7.連續(xù)域-離散化方法小結(jié)4.2.2各種離散化方法2/3/2023451.一階向后差分法(1）離散化公式實(shí)質(zhì)是將連續(xù)域中的微分用一階向后差分替換．矩形積分法，即以矩形面積近似代替積分，矩形面積是Te(k)。

s與z之間的變換關(guān)系

向后差分法

2/3/202346一階向后差分替換關(guān)系是z與s變量關(guān)系的一種近似（2）主要特性①s平面與z平面映射關(guān)系當(dāng)=0（s平面虛軸），s平面虛軸映射到z平面為該小圓的圓周。當(dāng)>0（s右半平面），映射到z平面為上述小圓的外部。當(dāng)<0（s左半平面），映射到z平面為上述小圓的內(nèi)部。向后差分法的映射示意圖1.一階向后差分法2/3/2023471.一階向后差分法②

若D(s)穩(wěn)定，則D(z)一定穩(wěn)定。③變換前后，穩(wěn)態(tài)增益不變。④離散后控制器的時(shí)間響應(yīng)與頻率響應(yīng)，與連續(xù)控制器相比有相當(dāng)大的畸變。（3）應(yīng)用變換較為方便。

采樣周期較大時(shí)，這種變換的映射關(guān)系畸變較為嚴(yán)重，變換精度較低，工程應(yīng)用受到限制。

2/3/2023481.一階向后差分法例4-1已知，T=1s、0.1s，試用一階向后差分法離散。解

當(dāng)T=1s時(shí)，a=2.8，b=2.8。當(dāng)T=0.1s時(shí)，a=2.08，b=1.09。分析所得結(jié)果可知：(1)可以判斷，環(huán)節(jié)穩(wěn)定性不變。

2/3/2023491.一階向后差分法D(s)是穩(wěn)定的；D1(z)兩個(gè)根分別為：D2(z)兩個(gè)根分別為：

(2)穩(wěn)態(tài)增益不變：

(3)單位階躍響應(yīng)如圖所示。

2/3/2023501.一階向后差分法單位階躍響應(yīng)曲線圖2/3/2023512.一階向前差分法(1)離散化公式實(shí)質(zhì)是將連續(xù)域中的微分用一階向前差分替換。s與z之間的變換關(guān)系這種方法也是一種矩形積分近似,但所累加的矩形面積是Te(k-1)，與向后差分不同。向前差分矩形積分法

2/3/202352(2)主要特性①s平面與z平面映射關(guān)系令（單位圓）

只有當(dāng)D(s)的所有極點(diǎn)位于左半平面的以點(diǎn)（-1/T，0)為圓心、1/T為半徑的圓內(nèi)，離散化后D(z)的極點(diǎn)才位于z平面單位圓內(nèi)②若D(s)穩(wěn)定，采用向前差分法離散化，D(z)不一定穩(wěn)定。只有采用較小的采樣周期T，方能保證D(z)穩(wěn)定。

向前差分法的映射關(guān)系圖2.一階向前差分法2/3/202353(3)應(yīng)用映射關(guān)系畸變嚴(yán)重，不能保證D(z)一定穩(wěn)定。使用簡(jiǎn)單方便，如若采樣周期較小，亦可使用。

例4-2試用向前差分法離散下述傳遞函數(shù)。。穩(wěn)定性判斷：要求

若取T=1s，則D(s)的極點(diǎn)將落在以(-1/T,0)為圓心，以r=1/T為半徑的圓外

.2.一階向前差分法2/3/2023543.雙線性變換法(突斯汀變換

)(1)離散化公式相當(dāng)于數(shù)學(xué)的梯形積分法，即以梯形面積近似代替積分

s與z之間的變換關(guān)系梯形積分法

2/3/202355變換也是z變換的一種近似

(2)主要特性①

s平面與z平面的映射關(guān)系

當(dāng)=0（s平面虛軸)映射為z平面的單位圓周。當(dāng)>0（s右半平面），映射到z平面單位圓外

。當(dāng)<0（s左半平面），映射到z平面單位圓內(nèi)

。3.雙線性變換法(突斯汀變換)2/3/2023563.雙線性變換法(突斯汀變換)雙線性變換映射關(guān)系圖雙線性變換將--整個(gè)s平面左半部到z平面單位圓內(nèi)。--整個(gè)s平面右半部映射到單位圓外。--s平面虛軸映射為單位圓。--映射是一對(duì)一的非線性映射。z域角頻率s域角頻率2/3/2023573.雙線性變換法(突斯汀變換)②若D(s)穩(wěn)定，則D(z)一定穩(wěn)定。③頻率畸變：雙線性變換的一對(duì)一映射，保證了離散頻率特性不產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，但產(chǎn)生了頻率畸變。當(dāng)采樣頻率較高足夠小雙線性變換頻率特性失真圖雙線性變換的頻率關(guān)系圖2/3/2023583.雙線性變換法(突斯汀變換)④

雙線性變換后環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)增益不變

⑤雙線性變換后D(z)的階次不變，且分子、分母具有相同的階次。并有下式成立：(3)應(yīng)用這種方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的特性，工程上應(yīng)用較為普遍。主要缺點(diǎn)是高頻特性失真嚴(yán)重，主要用于低通環(huán)節(jié)的離散化，不宜用于高通環(huán)節(jié)的離散化。2/3/202359例4-3已知連續(xù)控制器傳遞函數(shù)試用雙線性變換法離散，并比較D(s)與D(z)的頻率特性。解：當(dāng)T=1s時(shí)，當(dāng)T=1s時(shí)，當(dāng)T=0.2s時(shí)，

3.雙線性變換2/3/202360單位階躍響應(yīng)的仿真結(jié)果如圖4-13所示。時(shí)域仿真結(jié)果表明：

T=1s時(shí)的單位階躍響應(yīng)與連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)[見(jiàn)圖4-13(a)]接近；T=0.2s時(shí)的單位階躍響應(yīng)與連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)非常接近。這表明該方法精度較高。3.雙線性變換單位階躍響應(yīng)圖2/3/202361頻率響應(yīng)曲線如下圖所示。3.雙線性變換2/3/202362當(dāng)T=1s時(shí)，連續(xù)環(huán)節(jié)與離散環(huán)節(jié)幅頻特性相差較大（實(shí)線為連續(xù)環(huán)節(jié)幅頻）特性，僅當(dāng)頻率較低時(shí)，兩者接近。當(dāng)T=0.2s時(shí)，連續(xù)環(huán)節(jié)與離散環(huán)節(jié)幅頻特性非常一致。另外從圖中還可看到，雙線性變換的離散環(huán)節(jié)，其頻率特性消除了混疊，當(dāng)時(shí)，幅頻特性變?yōu)榱恪?.雙線性變換2/3/2023634.修正雙線性變換

預(yù)修正的目的是滿足在某個(gè)選定的關(guān)鍵頻率ω1上:，傳遞函數(shù)D(s)，修正雙線性變換為

為實(shí)現(xiàn)上述要求，需將D(s/ω1)平移到D(s/ωA)處，再做Tustin變換.因?yàn)橄喈?dāng)于在原系統(tǒng)傳遞函數(shù)s處引入一個(gè)比例因子：

Tustin變換式(1)離散化公式2/3/2023644.修正雙線性變換(2)主要特性該方法本質(zhì)上仍為雙線性變換法，具有雙線性變換法的各種特性。由于采用了頻率預(yù)修正，故可以保證在ω1處連續(xù)頻率特性與離散后頻率特性相等，但在其他頻率處仍有畸變。(3)應(yīng)用主要用于將連續(xù)控制器離散時(shí)，要求在某些特征頻率處，離散前后頻率特性保持不變的場(chǎng)合。2/3/2023655.零極點(diǎn)匹配法特點(diǎn)若分子階次m小于分母階次n，離散變換時(shí)，在D(z)分子上加(z+1)n-m因子。確定D(z)的增益k1的有三種方法：--按右式來(lái)匹配--若D(s)分子有s因子，可依高頻段增益相等原則確定增益,即零、極點(diǎn)分別按匹配。(1)離散化公式2/3/2023665.零極點(diǎn)匹配法

---也可選擇某關(guān)鍵頻率ω1處的幅頻相等，即(2)主要特性零極點(diǎn)匹配法要求對(duì)D(s)分解為極零點(diǎn)形式，且需要進(jìn)行穩(wěn)態(tài)增益匹配，因此工程上應(yīng)用不方便。由于該變換是基于z變換進(jìn)行的，所以可以保證D(s)穩(wěn)定，D(z)一定穩(wěn)定。3)當(dāng)D(s)分子階次比分母低時(shí)，在D(z)分子上匹配有(z+1)因子，可獲得雙線性變換的效果，即可防止頻率混疊。2/3/2023675.零極點(diǎn)匹配法例4-4已知連續(xù)控制器傳遞函數(shù)試用零極點(diǎn)匹配法進(jìn)行。解：當(dāng)T=1s時(shí)，極點(diǎn)為映射在Z平面為所以確定穩(wěn)態(tài)增益2/3/2023686.其他方法(1)z變換法（脈沖響應(yīng)不變法）可以保證連續(xù)與離散環(huán)節(jié)脈沖響應(yīng)相同。由于z變換比較麻煩，多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)無(wú)法單獨(dú)變換以及產(chǎn)生頻率混疊和其他特性變化較大，所以應(yīng)用較少。(2)帶零階保持器z變換法（階躍響應(yīng)不變法）零階保持器是假想的，沒(méi)有物理的零階保持器。保證連續(xù)與離散環(huán)節(jié)階躍響應(yīng)相同。具有z變換法的一系列缺點(diǎn)，應(yīng)用亦較少。2/3/2023697.連續(xù)域--離散化方法小結(jié)等效的離散控制器的暫態(tài)特性和頻率特性與連續(xù)控制器相應(yīng)特性相比均有畸變，沒(méi)有一個(gè)能夠完全逼真。畸變程度與采樣頻率、截止頻率、系統(tǒng)的最高頻率有關(guān).如采樣頻率相對(duì)系統(tǒng)截止頻率或最高頻率取得較高，如大于4~10倍以上，通常各種離散方法都能獲得較好的逼真度。設(shè)計(jì)者應(yīng)在獲得滿意的連續(xù)域控制器后，交替試驗(yàn)幾種等效離散控制器，只有全部計(jì)算機(jī)數(shù)字仿真結(jié)果都滿意時(shí)，設(shè)計(jì)才算完成。由于雙線性變換法、預(yù)修正雙線性變換法及零極點(diǎn)匹配法具有較好的特性，通常會(huì)給出滿意的結(jié)果，所以在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)是首先選用的。2/3/202370

4.3最少拍控制

本節(jié)主要內(nèi)容4.3.1．最少拍控制的基本原理4.3.2．閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)4.3.3．最少拍有紋波控制器的設(shè)計(jì)4.3.4．最少拍無(wú)紋波控制器的設(shè)計(jì)4.3.5．最少拍系統(tǒng)的改進(jìn)措施

2/3/2023714.3.1最少拍控制的基本原理典型計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

最少拍控制是一種直接數(shù)字設(shè)計(jì)方法。所謂最少拍控制，就是要求閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)于某種特定的輸入在最少個(gè)采樣周期內(nèi)達(dá)到無(wú)靜差的穩(wěn)態(tài)，使系統(tǒng)輸出值盡快地跟蹤期望值的變化。

2/3/202372其中：系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)則：數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)

廣義對(duì)象脈沖傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)取決于廣義對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)（或誤差脈沖傳遞函數(shù)）的結(jié)構(gòu)。

2/3/2023734.3.2閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

1.確定最少拍系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的四項(xiàng)準(zhǔn)則

系統(tǒng)的穩(wěn)定性

本身穩(wěn)定，且不含圓外零點(diǎn)。根據(jù)可知，只要、中不包含圓外零點(diǎn)和極點(diǎn)，也不出現(xiàn)圓外極點(diǎn)。則閉環(huán)穩(wěn)定，也穩(wěn)定。

·、2/3/202374本身不穩(wěn)定，由則：①必須包含的全部圓外圓上的零點(diǎn)作為自己的零點(diǎn)，以對(duì)消中的圓外圓上零點(diǎn)。

可知，既要保證閉環(huán)穩(wěn)定，又要保證控制器本身穩(wěn)定，和中均不能包含圓外極點(diǎn)。必須包含的全部圓外圓上的極點(diǎn)作為自己的零點(diǎn)，以對(duì)消中的圓外圓上極點(diǎn)。②2/3/202375

系統(tǒng)的準(zhǔn)確性當(dāng)要求系統(tǒng)為無(wú)靜差時(shí)，則穩(wěn)態(tài)誤差：取決于輸入信號(hào)和誤差脈沖傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)。

典型輸入函數(shù)的一般表達(dá)式為

式中:為正整數(shù)，是典型輸入信號(hào)的階次；是不包括因式的關(guān)于的多項(xiàng)式。誤差傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)為2/3/202376取，則一定能保證其中：

系統(tǒng)的快速性要求系統(tǒng)的誤差函數(shù)應(yīng)在最短時(shí)間內(nèi)趨近于零。即要求：且則有：在最短時(shí)間內(nèi)

2/3/202377的物理可實(shí)現(xiàn)性當(dāng)廣義被控對(duì)象包含有純延時(shí)時(shí)，即為避免中出現(xiàn)正冪次因子，則應(yīng)在構(gòu)造閉環(huán)時(shí)，必須讓包含因子，用以抵消中的因子。則：2/3/202378(1）為穩(wěn)定對(duì)象且不包含圓外圓上零點(diǎn)

2.閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的三種結(jié)構(gòu)為保證無(wú)靜差取為保證最快響應(yīng)，則閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)為在單位階躍作用下調(diào)整時(shí)間為一拍。2/3/202379在單位速度作用下調(diào)整時(shí)間為二拍。在單位加速度作用下調(diào)整時(shí)間為三拍。同理2/3/202380(2）為不穩(wěn)定對(duì)象且包含圓外零點(diǎn)

則閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)為必須包含中全部圓外零點(diǎn)；必須包含中全部圓外圓上極點(diǎn)；

至少應(yīng)包含p個(gè)（）因子；和又要保持兩者同階。

2/3/202381

3）包含有純滯后環(huán)節(jié)對(duì)穩(wěn)定的廣義被控對(duì)象對(duì)不穩(wěn)定的廣義被控對(duì)象閉環(huán)結(jié)構(gòu)中必須包含中的因子。2/3/2023824.3.3最少拍有紋波控制器的設(shè)計(jì)

可按以下七步進(jìn)行：1）求含零階保持器的廣義被控對(duì)象；2）根據(jù)的特性及輸入函數(shù)確定和；3）根據(jù)確定、和各待定系數(shù)

b、c、d，得到和的具體結(jié)構(gòu)

；4）確定控制器；5）檢驗(yàn)控制器的穩(wěn)定性、可實(shí)現(xiàn)性并檢查控制量的收斂性；6）檢驗(yàn)系統(tǒng)輸出響應(yīng)序列是否以最快響應(yīng)跟蹤輸入且無(wú)靜差；7）將化為差分方程，擬定控制算法進(jìn)行編程予以實(shí)現(xiàn)。2/3/202383

例4-5

被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為

經(jīng)采樣（T=l）和零階保持，試求其對(duì)于單位階躍輸入的最少拍控制器。

解：（1）廣義被控對(duì)象

廣義被控對(duì)象零極點(diǎn)的分布：圓外極點(diǎn)無(wú)，圓外零點(diǎn)，延時(shí)因子輸入函數(shù)的階次2/3/202384（2）確定期望的閉環(huán)結(jié)構(gòu)取、為最低階，即、則：（3）根據(jù)，聯(lián)立方程得：2/3/202385（4）確定控制器結(jié)構(gòu)（5）檢驗(yàn)控制序列的收斂性

（6）檢驗(yàn)輸出響應(yīng)的跟蹤性能（7）求差分方程2/3/202386最少拍有紋波控制效果圖（a）系統(tǒng)輸出（b）控制器輸出僅根據(jù)上述約束條件設(shè)計(jì)的最少拍控制系統(tǒng)，只保證了在最少的幾個(gè)采樣周期后系統(tǒng)的響應(yīng)在采樣點(diǎn)時(shí)是穩(wěn)態(tài)誤差為零。這種控制系統(tǒng)輸出信號(hào)有紋波存在，故稱為最少拍有紋波控制系統(tǒng)。2/3/202387（1)被控對(duì)象必須包含有足夠的積分環(huán)節(jié);

4.3.4

最少拍無(wú)紋波控制器的設(shè)計(jì)

1.設(shè)計(jì)最少拍無(wú)紋波控制器附加的約束條件（2)必須包含中的圓內(nèi)圓外全部零點(diǎn)。

2.最少拍無(wú)紋波控制器確定的方法

在滿足包含必要的積分因子條件下，閉環(huán)傳函必須包含的全部圓內(nèi)和圓外零點(diǎn)。

2/3/202388例4-6在例4-5中，試求其對(duì)于單位階躍輸入的最少拍無(wú)紋波控制器。解由例4-5得廣義被控對(duì)象中，圓內(nèi)外零點(diǎn)有兩個(gè)

則：2/3/202389最少拍無(wú)紋波控制效果圖（a）系統(tǒng)輸出（b）控制器輸出

可見(jiàn)：無(wú)紋波系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間比有紋波系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間要增加若干拍，增加的拍數(shù)等于在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)。

2/3/2023904.3.5最少拍系統(tǒng)的改進(jìn)措施

1.提高最少拍系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的適應(yīng)能力

例4-6

對(duì)于一階對(duì)象（T＝1）討論按速度輸入設(shè)計(jì)的最少拍系統(tǒng)對(duì)不同輸入的響應(yīng)。解若選擇單位速度輸入的最少拍控制器，得數(shù)字控制器為系統(tǒng)輸出的Z變換為2/3/202391如果保持控制器不變，輸入為單位階躍信號(hào)，則有：

用同樣的控制器，系統(tǒng)對(duì)單位加速度輸入的響應(yīng)為

按速度輸入設(shè)計(jì)的最少拍系統(tǒng)對(duì)不同輸入的響應(yīng)圖（a）階躍輸入（b）速度輸入（c）加速度輸入2/3/202392改進(jìn)的辦法

：

用換接程序來(lái)改善過(guò)渡過(guò)程

最小均方誤差系統(tǒng)設(shè)計(jì)

按照均方誤差最小這一最優(yōu)性能指標(biāo)，綜合考慮不同典型輸入信號(hào)作用，使系統(tǒng)達(dá)到“綜合最佳”。

換接程序最少拍系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2/3/202393

2.提高最少拍系統(tǒng)對(duì)參數(shù)變化的適應(yīng)性（魯棒性）

例4-7在例4-6中，已選擇了對(duì)單位速度輸入設(shè)計(jì)的最少拍控制器

如果被控對(duì)象的時(shí)間常數(shù)發(fā)生變化，使對(duì)象脈沖傳遞函數(shù)變?yōu)?/p>

那么閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)將變?yōu)?/p>

2/3/202394在輸入單位速度時(shí)，輸出量的Z變換為

由于對(duì)象參數(shù)的變化，實(shí)際閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)已變?yōu)?，遠(yuǎn)偏離原點(diǎn)（按最少拍控制設(shè)計(jì)的閉環(huán)系統(tǒng)只有多重極點(diǎn)）。系統(tǒng)響應(yīng)要經(jīng)歷長(zhǎng)久的振蕩才能逐漸接近期望值，它已不再具有最少拍的性質(zhì)。參數(shù)變化時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)圖

2/3/202395改進(jìn)的辦法

：提高對(duì)參數(shù)變化的適應(yīng)能力，使其能根據(jù)對(duì)象參數(shù)變化調(diào)整自身的參數(shù)（增益和零極點(diǎn)位置）。

在設(shè)計(jì)時(shí)適當(dāng)增加調(diào)整項(xiàng)、的階次。使待定系數(shù)、的選擇增加自由度。

3.適當(dāng)選擇采樣周期

根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程及執(zhí)行機(jī)構(gòu)所允許的線性工作區(qū)來(lái)合理地選擇采樣周期。2/3/2023964.4純滯后控制

本節(jié)主要內(nèi)容4.4.1．施密斯預(yù)估控制4.4.2．達(dá)林算法

2/3/2023974.4.1施密斯（Smith）預(yù)估控制

單回路控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程為

特征方程包含有純滯后環(huán)節(jié)，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降，尤其當(dāng)較大時(shí)，系統(tǒng)就會(huì)不穩(wěn)定。

帶純滯后環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)圖

分析：2/3/202398帶施密斯預(yù)估器的控制系統(tǒng)圖

1.具有純滯后補(bǔ)償?shù)哪M控制器

由施密斯預(yù)估器和調(diào)節(jié)器組成的補(bǔ)償回路稱為純滯后補(bǔ)償器。其傳遞函數(shù)為補(bǔ)償后的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)

2/3/202399說(shuō)明：經(jīng)補(bǔ)償后，在閉環(huán)控制回路之外，不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，僅將控制作用在時(shí)間坐標(biāo)上推移了一個(gè)時(shí)間，控制系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程及其它性能指標(biāo)都與對(duì)象特性為無(wú)滯后時(shí)完全相同。純滯后補(bǔ)償系統(tǒng)輸特性圖

2.具有純滯后補(bǔ)償?shù)臄?shù)字控制器

計(jì)算機(jī)純滯后