第四章根軌跡法目的

掌握繪制系統(tǒng)根軌跡的方法掌握利用根軌跡分析系統(tǒng)的方法內(nèi)容根軌跡方程繪制根軌跡的基本法則利用根軌跡進(jìn)行系統(tǒng)分析穩(wěn)定性即閉環(huán)極點閉環(huán)特征方程的根動態(tài)性能穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的性能開環(huán)放大倍數(shù)開環(huán)積分環(huán)節(jié)個數(shù)困難!困難1：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根如何求?。±щy2：討論或預(yù)測當(dāng)系統(tǒng)中的某一參數(shù)發(fā)生變化時系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根如何變化!

參數(shù)改變，系統(tǒng)性能如何改變！

1948年，伊萬思（W.R.Evans）提出了一種圖解方法，即在復(fù)平面上由系統(tǒng)的開環(huán)極點、零點來確定閉環(huán)極點、零點，稱為根軌跡法。

根軌跡法，是控制系統(tǒng)設(shè)計的十分重要的圖上設(shè)計法，在控制工程上應(yīng)用很廣泛。第一節(jié)

根軌跡法的基本概念

1.引例討論Kg變化時閉環(huán)極點的變化。開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)極點特征方程閉環(huán)極點在S平面上的變化

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根在S平面上的變化軌跡即為根軌跡問題：繪制根軌跡是用描點法嗎？高階系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根的表達(dá)式如何求?思路：利用開環(huán)傳函繪制閉環(huán)特征方程的根的變化。2.根軌跡的幅值條件和相角條件閉環(huán)特征方程若開環(huán)傳遞函數(shù)則根軌跡的條件方程為幅值條件相（幅）角條件根軌跡增益開環(huán)零點-zj-pi開環(huán)極點開環(huán)增益注:(1)不計原點處的零值極點；

（2）m=0時根軌跡增益第二節(jié)繪制根軌跡的基本法則

1.根軌跡的連續(xù)性

根軌跡是連續(xù)變化的曲線2.根軌跡的對稱性

根軌跡對稱于實軸3.根軌跡的分支數(shù)n階系統(tǒng)，n條根軌跡。4.根軌跡的起點和終點Kg=0

時的閉環(huán)極點為根軌跡的起點Kg∞

時的閉環(huán)極點為根軌跡的終點n條根軌跡起始于系統(tǒng)的n個開環(huán)極點

n條根軌跡終止于系統(tǒng)的n個開環(huán)零點

m<n時，m條根軌跡終止于系統(tǒng)的m個開環(huán)零點,其余n-m條趨于無窮遠(yuǎn)處例

已知開環(huán)傳遞函數(shù)試確定根軌跡的起點與終點。

解：開環(huán)零點用“○”表示開環(huán)極點用“×”表示5.根軌跡的漸近線漸近線與實軸的交點漸近線與實軸的夾角例已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定根軌跡的支數(shù)、起點和漸近線解:n=3,根軌跡有3條起點為0，-1，-5

漸近線與實軸交點漸近線傾角6.實軸上的根軌跡

在實軸上選取實驗點si

，如果實驗點si右方實軸上的開環(huán)零點數(shù)和極點數(shù)的總和為奇數(shù)，則實驗點所在的實驗段是根軌跡，否則該實驗段不是根軌跡。奇是；偶不是例：系統(tǒng)開環(huán)傳函為試確定實軸上的根軌跡解：7.根軌跡的分離點和會合點

根軌跡在復(fù)平面上的某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。分離點會合點分離點會合點判別：實軸上相鄰開環(huán)極點之間是根軌跡必有分離點；實軸上相鄰開環(huán)零點之間是根軌跡必有會合點；實軸上開環(huán)零點、極點之間是根軌跡，可能既無分離點也無會合點，也可能既有分離點也有會合點。

分離點或會合點，實質(zhì)上就是系統(tǒng)特征方程的重實根（實軸上的分離點或會合點）或重共軛復(fù)根（復(fù)平面上的分離點或會合點）?；诖鷶?shù)重根法則，如果方程f(x)=0有重根，則f(x)=0的根也是f(x)=0的根。分離點會合點求?。褐馗ǎ郝?lián)立求解上述兩個方程，得出分離點公式例：已知解：確定實數(shù)軸上根軌跡的分離點和會和點。分離點-0.33會和點-1.67開環(huán)傳遞函數(shù)則分離點的坐標(biāo)d是下列方程的解說明：當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)無有限零點時，應(yīng)取8.根軌跡的出射角和入射角8.根軌跡的出射角和入射角

根軌跡離開共軛復(fù)數(shù)極點處的切線與實數(shù)軸正方向的夾角稱為根軌跡的出射角根軌跡進(jìn)入共軛復(fù)數(shù)零點處的切線與實數(shù)軸正方向的夾角稱為根軌跡的入射角入射角出射角出射角為入射角為例：已知開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定根軌跡的出射角。解：由得由周期性，取同理，得9.根軌跡與虛軸的交點利用勞斯判據(jù)令s=jω，代入閉環(huán)特征方程求得與虛軸交點ω值和相應(yīng)的臨界根軌跡增益K值例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳函，試求其根軌跡與虛軸的交點。解：閉環(huán)特征方程令代入特征方程得即解得根軌跡與虛軸的交點為臨界根軌跡增益10.閉環(huán)極點之和與閉環(huán)極點之積當(dāng)n-m≥2時，閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和且為常數(shù)閉環(huán)極點之積和開環(huán)零極點關(guān)系為閉環(huán)極點開環(huán)傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)根軌跡手工的繪制

綜合應(yīng)用繪制根軌跡圖的基本規(guī)則，可繪制出控制系統(tǒng)的根軌跡草圖，然后再根據(jù)幅角條件選擇一些試驗點作一些修正，就可得到滿意的根軌跡圖。手工繪圖時還需注意：（1）根軌跡由起點到終點是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值Kg的增加而運動的，要用箭頭標(biāo)示根軌跡運動的方向。(2)要標(biāo)出一些特殊點的Kg值，如起點(Kg

→0)，終點(Kg

→∞)；根軌跡在實軸上的分離點和會和點d(Kg=Kgd)；與虛軸的交點(Kg=Kgp)。還有一些要求標(biāo)出的閉環(huán)極點s及其對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益Kg，也應(yīng)在根軌跡圖上標(biāo)出，以便于進(jìn)行系統(tǒng)的分析與綜合。

例：系統(tǒng)開環(huán)傳函為試?yán)L制閉環(huán)根軌跡。解:(1)根軌跡有兩條。起點在開環(huán)極點一支根軌跡的終點在開環(huán)零點s=-1,另一支沿負(fù)實軸趨向于無窮。（2）實軸上的根軌跡在區(qū)間。（3）根軌跡在實軸上的會合點和分離點為

分離點坐標(biāo)會合點坐標(biāo)復(fù)平面上的根軌跡是圓證明：設(shè)s

點在根軌跡上，則滿足根軌跡幅角條件把代入得利用反正切公式可寫為上式兩邊取正切得整理得

例：系統(tǒng)開環(huán)傳函為試?yán)L制閉環(huán)根軌跡。解:根軌跡有4條。起點0,-3,-1+j,-1-j，一條根軌跡終止于開環(huán)零點-2，其余三條終止于無窮遠(yuǎn)點。實軸上的根軌跡[-2,0]，漸近線與實軸的交點為漸近線傾角為無分離點會合點，出射角為與虛軸的交點即解得令得系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為第三節(jié)參量根軌跡的繪制

系統(tǒng)開環(huán)傳函中除Kg

外其余參數(shù)發(fā)生變化時閉環(huán)特征方程的根變化的軌跡為參量根軌跡。繪制參量根軌跡的步驟

寫出原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程。以特征方程中不含參量的各項除特征方程，得等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，該方程中原系統(tǒng)的參量即為等效系統(tǒng)的根軌跡增益。繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參量根軌跡。

1.單一個可變參量根軌跡的繪制例控制系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)Kg=4時，試?yán)L制開環(huán)極點p變化時參量根軌跡。

解:由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程得等效開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程令2.幾個可變參量根軌跡的繪制例試?yán)L制圖4-20所示,試?yán)L制以K和α為參變量的根軌跡圖4-20單位反饋控制系統(tǒng)解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式令α=0，上式變?yōu)槿缓罂紤]閉環(huán)特征方程改寫為根據(jù)做出圖4-21a）所示的根軌跡例如令K=4,則先令K為某一定值，然后做出參變量α由時的根軌跡。根軌跡為圖4-21b）為取不同K值時所作的根軌跡簇圖4-21

根軌跡圖第四節(jié)非最小相位系統(tǒng)的根軌跡開環(huán)傳遞函數(shù)的零點、極點均位于S左半平面的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)；反之，則稱為非最小相位系統(tǒng)出現(xiàn)非最小相位系統(tǒng)有如下三種情況1）系統(tǒng)中有局部正反饋回路2）系統(tǒng)中含有非最小相位元件3）系統(tǒng)中含有純滯后環(huán)節(jié)1.正反饋回路的根軌跡閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)特征方程正反饋系統(tǒng)的根軌跡方程實軸上的根軌跡漸近線與實軸的夾角出射角、入射角

在正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制規(guī)則中，凡是與幅角條件有關(guān)的規(guī)則都要作相應(yīng)的修改。

因為幅角條件為而非常規(guī)的故稱之為零度根軌跡。

在繪制根零度根軌跡的規(guī)則中，不同于負(fù)反饋系統(tǒng)的有以下幾點：１）實軸上根軌跡區(qū)段右側(cè)的開環(huán)零、極點數(shù)目之和為偶數(shù)。

２）根軌跡的漸近線與實軸的夾角為

３）根軌跡的出射角和入射角的計算公式為

正反饋系統(tǒng)的根軌跡與負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡是互補(bǔ)的負(fù)反饋正反饋2.系統(tǒng)中含有非最小相位元件

在繪制這種系統(tǒng)的根軌跡時，要注意開環(huán)傳遞函數(shù)（分子或分母）中是否含有s最高次冪為負(fù)系數(shù)的因子。若有，則其根軌跡的相角條件就變?yōu)楦壽E為零度根軌跡圖4-23非最小相位系統(tǒng)由相角條件得例非最小相位系統(tǒng)如下圖由此得根軌跡的復(fù)數(shù)部分為一圓周，其方程為可寫為

3.滯后系統(tǒng)的根軌跡圖4-25滯后系統(tǒng)的框圖含有滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱為滯后系統(tǒng)，它屬于非最小相位系統(tǒng)。特征方程為圖4-25所示滯后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為例考慮含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)

其閉環(huán)特征方程為

當(dāng)K給定時它有無窮多個根，所以根軌跡有無窮多支。方程就是所以對應(yīng)的相角條件為所以相角條件變成

當(dāng)K=0時相角條件為

復(fù)平面上任一點如果滿足條件就在根軌跡上，否則就不在根軌跡上。而條件是與縱坐標(biāo)ω的大小有關(guān)的，比如ω=0對應(yīng)實軸，實軸上滿足arg(s+1)=180°的點一定在根軌跡上，顯然實軸上(∞,1]段在根軌跡上；再看ω=ω1一條直線上的點,如果試驗點s1滿足arg(s+1)=180°-ω157.3°就在根軌跡上，否則就不在根軌跡上。這樣可以作出k=0時的根軌跡如圖4-27。圖4-27延遲環(huán)節(jié)根軌跡的相角條件當(dāng)k=1,2,…時，相角條件是各不相同的，取T=1，根據(jù)各自的相角條件可以繪出k=1,2,…時的根軌跡如圖4-28。這樣的根軌跡分支有無窮個。

圖4-28延遲環(huán)節(jié)的根軌跡圖

圖4-28可以看出，當(dāng)k=0時，臨界增益K0=2，當(dāng)k=1時，臨界增益K0=8，當(dāng)k=2時，臨界增益K0=14…，即k越大臨界增益K0也越大。這是必然結(jié)果，因為臨界增益對應(yīng)根軌跡上s=jω的點，從相角條件知道s=jω時k越大ω越大，再從幅值條件：

知道ω越大K也越大。所以在分析穩(wěn)定性時，只需看k=0的根軌跡圖就行了。第五節(jié)增加開環(huán)零、極點對根軌跡的影響

當(dāng)按某一參變量作出系統(tǒng)的根軌跡圖后，如果系統(tǒng)的性能不能滿足設(shè)計要求時，一般可增加開環(huán)零點的方法實現(xiàn)。1.增加開環(huán)零點設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(4-50)當(dāng)K由變化時，系統(tǒng)的根軌跡如圖4-29所示圖4-29根軌跡圖若增加一個開環(huán)零點-b，則開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)?4-51)（1）假設(shè)零點-b位于的實軸段上，若令b=5，即(4-52)根據(jù)式（4-52）作出的根軌跡圖如圖4-30所示圖4-30系統(tǒng)的根軌跡圖由勞斯判據(jù)求得該系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界增益k0=12，此值與未加零點前的值一樣大小。當(dāng)k0>12，根軌跡中有兩條分支進(jìn)入s的右半平面，這表明附加零點對系統(tǒng)根軌跡的影響甚小，即系統(tǒng)的動態(tài)性能不會因此而有明顯的改善，其原因是該零點距離虛軸較遠(yuǎn)。（2）假設(shè)零點-b位于間的實軸段上，若令b=1.2，即(4-53)據(jù)此作出系統(tǒng)的根軌跡如圖4-31所示。圖4-31根軌跡圖由圖可見，當(dāng)K在范圍內(nèi)變化時，該系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。（3）假設(shè)零點-b位于間的實軸段上，若令b=0.4，即(4-54)圖4-32根軌跡圖據(jù)此，作出系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-32所示。由圖可知：1）當(dāng)K由變化時，系統(tǒng)的根軌跡都位于s平面的左方，因而該系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。2）當(dāng)k>k1，3個閉環(huán)極點中同樣有一對共軛復(fù)數(shù)極點s1、s2和一個實數(shù)極點s3，但由于極點s3距虛軸很近，因而相應(yīng)的瞬態(tài)分量衰減得很緩慢，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的輸出響應(yīng)有較長的過渡過程時間，這是一般的控制系統(tǒng)所不希望的。

由上述分析可知，增加的開環(huán)零點于s平面實軸上的不同位置，它對系統(tǒng)根軌跡所產(chǎn)生的影響是不同的。對于某一具體的開環(huán)傳遞函數(shù)，只有選擇合適的附加零點，才有可能使控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能得到顯著地改善。系統(tǒng)不穩(wěn)定1）增加零點系統(tǒng)仍不穩(wěn)定0××j系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定

系統(tǒng)穩(wěn)定2）增加零點3）增加零點增加合適的開環(huán)零點將使根軌跡向左彎曲或移動，可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性，而且增加的開環(huán)零點越靠近原點對系統(tǒng)改善性能越好。結(jié)論2.增加開環(huán)極點若在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個開環(huán)極點，-p(p>0)，則在根軌跡的相角方程中增加了一個負(fù)角[-arg(s+p)]，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的根軌跡作向右傾斜變化，這顯然不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能的改善。例如：設(shè)一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由圖可知，當(dāng)參變量K由變化時，該系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示如增加一個開環(huán)極點-2，則開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)閷?yīng)的根軌跡如下圖所示。當(dāng)K>6時，系統(tǒng)就變?yōu)椴环€(wěn)定了。K取何值也穩(wěn)定（如圖所示）。

-20j-4ds22-22當(dāng)0<K<6時系統(tǒng)穩(wěn)定-2jds-220當(dāng)0<K<4時系統(tǒng)穩(wěn)定-2j0K取何值都不穩(wěn)定。

△

p3在[-∞，0]之間為條件穩(wěn)定，p3越靠近原點,使系統(tǒng)穩(wěn)定的K取值范圍越小。當(dāng)p3在原點時，K取何值系統(tǒng)都不穩(wěn)定。

增加開環(huán)極點將使根軌跡向右彎曲或右移，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性變差；而且所增加極點的模值越小，這種影響越明顯。結(jié)論第六節(jié)用根軌跡法分析控制系統(tǒng)利用繪制的根軌跡進(jìn)行系統(tǒng)分析

穩(wěn)定性動態(tài)性能穩(wěn)態(tài)誤差利用繪制的根軌跡進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計根據(jù)性能指標(biāo)要求確定系統(tǒng)參數(shù)1.用根軌跡法確定系統(tǒng)中的有關(guān)參數(shù)圖4-35控制系統(tǒng)試用選擇參數(shù)K1和K2以使系統(tǒng)滿足下列性能指標(biāo)解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)

若要滿足系統(tǒng)誤差的要求，K1必須取值較大，K2必須取值較小。由題意得

為了同時滿足的要求，閉環(huán)極點必須位于圖4-36所示的陰影區(qū)域內(nèi)。在S左半平面上,過坐標(biāo)原點作一與負(fù)實軸成45°角的射線,如圖4-36所示圖4-36在S平面上希望極點的區(qū)域設(shè)，則式（4-57）變?yōu)榱睿瑒t圖4-35所示系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為作出以為參變量的根軌跡如圖4-37所示。為了滿足靜態(tài)性能的要求，試取則式（4-57）可寫為圖4-37式（4-58）的根軌跡式中開環(huán)傳遞函數(shù)的極點為-3.15±j3.17。以β為參變量的根軌跡如圖4-38所示,該圖與由過坐標(biāo)原點作一與負(fù)實軸成45°角的直線；并與根軌跡相交于-3.15±j3.17。由根軌跡幅值條件求得β=4.3=20K2；即K2=0.215因為所求閉環(huán)極點實部σ=3.15;因而圖4-38式（4-59）的根軌跡2.確定指定K0時的閉環(huán)傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的閉環(huán)零點由開環(huán)傳遞函數(shù)中G(s)的零點和H(s)的極點組成，它們一般均為已知。系統(tǒng)的閉環(huán)極點與根軌跡的增益Ko有關(guān)。如果Ko已知，就可以沿著特定的根軌跡分支，根據(jù)根軌跡的幅值條件，用試探法求得響應(yīng)的閉環(huán)極點。求K0=0.5時的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解在分離點S=-0.423處，由幅值條件求得K0=0.385由此可知，K0=0.5時，系統(tǒng)有一對共軛復(fù)根和一個實根，經(jīng)試樣法確定，當(dāng)s3=-2.192時，K0≈0.5例

已知圖4-39根軌跡圖一對共軛極點的對應(yīng)的多項式為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為根據(jù)指定的阻尼比

值，由根軌跡圖的坐標(biāo)原點作一與負(fù)實軸夾角為的射線。該射線與根軌跡的交點就是所求的一對閉環(huán)主導(dǎo)極點，由幅值條件確定這對極點對應(yīng)的Ko值，并據(jù)此確定閉環(huán)的其他極點。3.確定具有指定阻尼比

的閉環(huán)極點和單位階躍響應(yīng)1）閉環(huán)極點和相應(yīng)的增益2）單位階躍信號作用下的輸出響應(yīng)仍以圖4-8所示系統(tǒng)為例，令，試求4.穩(wěn)定性分析思路：關(guān)鍵點，根軌跡與虛軸的交點。例：

利用根軌跡分析系統(tǒng)穩(wěn)定時根軌跡增益的取值范圍。系統(tǒng)開環(huán)傳函為

參數(shù)在一定范圍內(nèi)取值才能穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為條