自動(dòng)控制原理AI內(nèi)容總結(jié)第2章：控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的輸入/輸出模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型線性微分方程和狀態(tài)方程的解結(jié)構(gòu)圖與梅孫公式狀態(tài)空間模型與I/O模型之間的等價(jià)變換微分方程

一階系統(tǒng)表示為：

推廣到一般情況：

其中：

均為實(shí)數(shù)，且為系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)所決定。傳遞函數(shù)定義：

當(dāng)系統(tǒng)的初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)輸出信號(hào)的拉氏變換Y(s)與輸入信號(hào)的拉氏變換X(s)之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,

頻率特性當(dāng)系統(tǒng)輸入是正弦信號(hào)時(shí)定義：系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入量的向量表達(dá)式之比當(dāng)系統(tǒng)輸入為非周期信號(hào)時(shí)定義:系統(tǒng)輸出信號(hào)的傅立葉變換像函數(shù)與輸入信號(hào)傅立葉變換像函數(shù)之比。用表示。注意幾點(diǎn)：頻率特性與傳遞函數(shù)關(guān)系傳遞函數(shù)的定義域是整個(gè)s平面，而頻率特性的定義域?yàn)閟平面的虛軸。是依賴于ω的函數(shù)，在給定的ω值下，頻率特性它是一個(gè)復(fù)數(shù)。即：頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型，它描述了系統(tǒng)的內(nèi)在特性，與外界因數(shù)無關(guān)。即當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)給定了，系統(tǒng)的頻率特性也完全確定。頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，是在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下求得的。從理論上來看，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總可以分離出來，且其規(guī)律性并不依賴與系統(tǒng)的穩(wěn)定性。故可以用頻率特性來分析、研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性。頻率特性狀態(tài)空間模型狀態(tài)方程具有n個(gè)變量的一階微分方程組，其中將要求解的n個(gè)變量是狀態(tài)變量輸出方程將系統(tǒng)的輸出變量表示成狀態(tài)變量和輸入變量的線性組合的代數(shù)方程系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示法

對(duì)且初始條件狀態(tài)變量的選擇不唯一，應(yīng)滿足以下兩個(gè)條件：必須選擇最少的狀態(tài)變量作為狀態(tài)向量的元素，而這些最少的狀態(tài)變量可以充分地完全地描述系統(tǒng)的狀態(tài)狀態(tài)向量的元素必須是線性獨(dú)立的因線性變換理解為坐標(biāo)變換，所以線性變換不會(huì)對(duì)狀態(tài)空間模型所描述的系統(tǒng)的基本特性產(chǎn)生影響，同一系統(tǒng)的不同的狀態(tài)空間描述，當(dāng)狀態(tài)向量間存在線性非奇異變換時(shí)并不改變?cè)撓到y(tǒng)的基本特性。線性微分方程和狀態(tài)方程的解狀態(tài)方程的解拉氏變換法考慮一個(gè)控制系統(tǒng)：對(duì)狀態(tài)方程兩邊取拉氏變換，有:即對(duì)輸出方程兩邊取拉氏變換，有：用左乘前式，得：時(shí)域解法齊次狀態(tài)方程的解齊次狀態(tài)方程設(shè)該向量微分方程的解為一個(gè)無窮級(jí)數(shù)，即：將上式代入原向量微分方程中，有：方程兩邊的變量，其同次冪系數(shù)應(yīng)相等，有：故有因?yàn)樗粤顒t注意①只是代表矩陣級(jí)數(shù)的符號(hào)，因?yàn)樗椭笖?shù)函數(shù)的級(jí)數(shù)表示非常類似。②稱為矩陣指數(shù)。由于，矩陣指數(shù)可將系統(tǒng)的狀態(tài)由初始狀態(tài)，轉(zhuǎn)移到任意時(shí)刻的狀態(tài)，又稱其為狀態(tài)轉(zhuǎn)移表示，矩陣，用③、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣有如下性質(zhì)：

⑴、由，知：

⑵、由知：當(dāng)時(shí)，有故：

④、的計(jì)算方法：

⑴、根據(jù)定義計(jì)算

⑵、拉氏反變換法因：又：結(jié)構(gòu)圖與梅孫公式結(jié)構(gòu)圖信號(hào)流程圖梅孫公式前向通路的個(gè)數(shù)；為第個(gè)前向通路的增益；為系統(tǒng)的特征式；為除去與第個(gè)前向通路相接觸的環(huán)路后系統(tǒng)的特征式模型間轉(zhuǎn)換I/O模型當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子為常數(shù)時(shí)狀態(tài)空間模型當(dāng)初始條件為零時(shí)，對(duì)上式取拉氏反變換，有：選擇輸出及其各階導(dǎo)函數(shù)作為狀態(tài)變量。即：兩邊分別求導(dǎo)，最后一式并代入微分方程：微分方程的解，即

階線性定常系統(tǒng)取拉氏變換（初始條件為零），有先解出狀態(tài)變量狀態(tài)空間模型I/O模型代入輸出方程，有：稱為傳遞函數(shù)矩陣。如是標(biāo)量函數(shù)，則傳遞函數(shù)為：第3章：控制系統(tǒng)的時(shí)域分析控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性分析一個(gè)簡(jiǎn)單的一階系統(tǒng)：故其階躍響應(yīng)為：其中a為正實(shí)數(shù)則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）的拉氏變換為：顯見：原點(diǎn)處的極點(diǎn)產(chǎn)生強(qiáng)迫響應(yīng)，在處的系統(tǒng)極點(diǎn)產(chǎn)生自然響應(yīng)。而能描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的參數(shù)只有a。一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的階躍響應(yīng)由零上升到終值的63%所用時(shí)間。即為響應(yīng)的時(shí)間常數(shù)，時(shí)間常數(shù)表示一階系統(tǒng)響應(yīng)波形由終值的10%到90%所用時(shí)間故：上升時(shí)間調(diào)整時(shí)間系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)入到終值的±2%（或±5%）范圍內(nèi)并不再越出該范圍所用時(shí)間。二階系統(tǒng)過阻尼響應(yīng)極點(diǎn)：兩個(gè)不等的負(fù)極點(diǎn)自然響應(yīng)：指數(shù)衰減欠阻尼響應(yīng)極點(diǎn)：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)自然響應(yīng)：帶有阻尼的正弦振蕩無阻尼振蕩極點(diǎn)：兩個(gè)純虛數(shù)極點(diǎn)自然響應(yīng)：無阻尼的正弦振蕩臨界阻尼極點(diǎn)：兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)自然響應(yīng)：指數(shù)變化函數(shù)+時(shí)間與指數(shù)變化函數(shù)28二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式二階系統(tǒng)的欠阻尼情況與動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)峰值時(shí)間Tp與超調(diào)量σ%調(diào)整時(shí)間Ts與上升時(shí)間Tr欠阻尼二階系統(tǒng)的極點(diǎn)分布深刻理解此圖意義！控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析為此根據(jù)系統(tǒng)極點(diǎn)與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系，將整個(gè)s平面劃分為兩個(gè)區(qū)域：左半開平面的穩(wěn)定區(qū)域右半平面的不穩(wěn)定區(qū)域線性定常系統(tǒng)（內(nèi)部）穩(wěn)定的充要條件：所有系統(tǒng)極點(diǎn)均分布在s平面左半開平面

判斷線性定常系統(tǒng)的（內(nèi)部）穩(wěn)定性，實(shí)際上是判斷系統(tǒng)極點(diǎn)的分布情況間接求極點(diǎn)代數(shù)判據(jù)：以特征多項(xiàng)式的系數(shù)為依據(jù)，經(jīng)代數(shù)運(yùn)算來判別系統(tǒng)極點(diǎn)的分布情況幾何判據(jù)：圖解法（Nyquist判據(jù)），用開環(huán)頻率特性來判別閉環(huán)極點(diǎn)分布李亞普諾夫第二方法：將“動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定其能量不增”加以拓展，引入廣義“能量”函數(shù)來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性直接求系統(tǒng)的極點(diǎn)求特征方程的根根軌跡法求根勞斯判據(jù)勞斯提出了判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件不僅能判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，而且還能確定在s的左、右半平面內(nèi)系統(tǒng)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。將系統(tǒng)特征方程式寫成s的降冪形式，即構(gòu)造勞斯表勞斯判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性可根據(jù)勞斯表的第一列元素的符號(hào)來判斷若第一列元素具有相同的符號(hào)極點(diǎn)全部位于s的左半開平面，系統(tǒng)穩(wěn)定若不滿足此條件，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（含臨界穩(wěn)定）s平面的右半平面內(nèi)的系統(tǒng)極點(diǎn)個(gè)數(shù)等于第一列元素符號(hào)改變次數(shù)構(gòu)造勞斯表時(shí)的兩個(gè)特殊情況及處理方法若某行的第一列元素算出為零有一行元素全為零勞斯表的應(yīng)用判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響，給出系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)參數(shù)的取值范圍相對(duì)穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差的確定單位反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差故當(dāng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則有兩個(gè)因素決定穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)本身特性系統(tǒng)輸入：：系統(tǒng)的型號(hào)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為：當(dāng)n=0,1,2,…時(shí)，系統(tǒng)分別為0型、I型、II型等穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)特性指標(biāo)單位階躍輸入信號(hào)單位斜坡輸入信號(hào)單位加速度函數(shù)位置誤差系數(shù)速度誤差系數(shù)加速度誤差系數(shù)第4章：控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域分析與綜合根軌跡的基本概念根軌跡的繪制控制系統(tǒng)性能的復(fù)域分析控制系統(tǒng)的根軌跡綜合根軌跡法：根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布，當(dāng)系統(tǒng)可變參數(shù)在可能的取值范圍內(nèi)變化時(shí)，依照一些簡(jiǎn)單的繪制規(guī)則便可用作圖的方法畫出系統(tǒng)極點(diǎn)（即特征方程的根）在s平面變化的軌跡，這些軌跡就叫做系統(tǒng)的根軌跡。工程適用性圖解法，形象直觀、簡(jiǎn)單實(shí)用用較簡(jiǎn)單的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)來分析閉環(huán)系統(tǒng)特性根軌跡的基本原理幅角條件：即：幅值條件：假設(shè)S平面中有點(diǎn)S1同時(shí)滿足幅值條件和幅角條件,則S1就是系統(tǒng)K為某值時(shí)對(duì)應(yīng)的特征方程的根。根軌跡基本條件的另一種形式：令：則：幅角條件又為：幅值條件為繪制根軌跡的概略圖規(guī)則1：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也即等于系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。規(guī)則2：根軌跡是連續(xù)的，且對(duì)稱于實(shí)軸。規(guī)則3：根軌跡在實(shí)軸上的分布是實(shí)軸段右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)時(shí)，該實(shí)軸段屬于根軌跡。規(guī)則4：根軌跡開始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。規(guī)則5：根軌跡在無窮遠(yuǎn)處的形態(tài)：實(shí)軸上的分離點(diǎn)與匯合點(diǎn)方法一：由系統(tǒng)特征方程式令代入上述特征方程式，有利用函數(shù)求極值方法，有方法二：分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)滿足以下關(guān)系式其中分別是開環(huán)傳函的零、極點(diǎn)。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)方法一:勞斯判據(jù)方法二：開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出射角與入射角控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域分析(一)穩(wěn)定性分析要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)全部閉環(huán)極點(diǎn)Si均位于S左半面。只要系統(tǒng)的根軌跡有分支進(jìn)入S平面右半平面,則:系統(tǒng)在某個(gè)增益K范圍內(nèi)是不穩(wěn)定的.系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的分水嶺:系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點(diǎn).穩(wěn)定性分析動(dòng)態(tài)特性分析穩(wěn)態(tài)特性分析控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能好壞是由系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)的位置共同決定.當(dāng)繪制出系統(tǒng)根軌跡后,可求出某個(gè)特定增益值下系統(tǒng)的零、極點(diǎn)的分布。其中，閉環(huán)極點(diǎn)的分布決定動(dòng)態(tài)響應(yīng)類型。閉環(huán)極點(diǎn)位于S左半平面，該極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的輸出分量是指數(shù)衰減的，極點(diǎn)距虛軸越遠(yuǎn)，衰減越快。閉環(huán)極點(diǎn)是負(fù)實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)輸出分量是單調(diào)指數(shù)衰減。閉環(huán)極點(diǎn)是負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)，該分量是振蕩指數(shù)衰減。C(t)=A0

+

Aie-piti=1n(二)動(dòng)態(tài)特性分析對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，系統(tǒng)增益越大，則穩(wěn)態(tài)誤差越小。從根軌跡圖上可以確定不同增益值的系統(tǒng)，分析其穩(wěn)態(tài)特性。說明：計(jì)算性能指標(biāo)時(shí)，在一定條件下可以只考慮主導(dǎo)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量，將高階系統(tǒng)近似為一階或二階系統(tǒng)。(三)、穩(wěn)態(tài)特性分析

穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)根跡增益K有密切關(guān)系。結(jié)論：閉環(huán)極點(diǎn)的分布決定動(dòng)態(tài)響應(yīng)的類型閉環(huán)零極點(diǎn)的分布決定動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線的形態(tài)閉環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)會(huì)減少系統(tǒng)的阻尼比系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性主要取決于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸的零、極點(diǎn)和偶極子對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響可忽略不計(jì)主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用控制系統(tǒng)復(fù)數(shù)域綜合根軌跡法綜合控制系統(tǒng)步驟根據(jù)給定的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，確定希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的位置繪制未校系統(tǒng)的根軌跡。若希望的主導(dǎo)極點(diǎn)不在該根軌跡上，則需綜合動(dòng)態(tài)校正裝置若希望的主導(dǎo)極點(diǎn)已在該根軌跡上，則檢驗(yàn)相應(yīng)的系統(tǒng)增益是否滿足穩(wěn)態(tài)特性要求，若不滿足，在原點(diǎn)附近增加開環(huán)負(fù)實(shí)偶極子來提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。校驗(yàn)綜合后系統(tǒng)是否滿足穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。第5章：控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合頻率特性圖的繪制奈奎斯特判據(jù)穩(wěn)定裕量控制系統(tǒng)性能的頻率響應(yīng)分析控制系統(tǒng)的頻率響應(yīng)綜合頻率響應(yīng)的解析表達(dá)式向量形式系統(tǒng)的頻率特性極坐標(biāo)圖(Nyquist圖)對(duì)數(shù)頻率特性圖(伯德(Bode)圖)對(duì)數(shù)幅相頻率特性圖(尼科爾斯(Nichols)圖)奈氏圖

系統(tǒng)的頻率特性G(j)是以j為自變量的復(fù)變函數(shù)，當(dāng)由0時(shí)G(j)在復(fù)平面中移動(dòng)的軌跡伯德圖可以在很寬的頻率范圍內(nèi)觀察系統(tǒng)的頻率特性;簡(jiǎn)化作圖;頻率特性的縱向放大和縮小可化成Bode圖曲線的上下平移;頻率特性的橫向壓縮和伸長(zhǎng)可化成Bode圖曲線的左右平移;頻率特性的倒數(shù)關(guān)系可化成Bode圖曲線關(guān)于頻率軸對(duì)稱.n階控制系統(tǒng)的頻率特性可視為基本環(huán)節(jié)頻率特性組合而成基本環(huán)節(jié)：比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、一階慣性環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)、二階振蕩環(huán)節(jié)、延遲環(huán)節(jié)。例5.2其轉(zhuǎn)折頻率為：5，10T=0.2T=0.1–20db/dec-20lg520-20lg5–60db/dec-60lg2–80db/dec–180o–90olg5510(1)=2T111T1212–arctgT21–90o–arctg=–90o–90o–arctg0.5=–206o(2)=2T221T2222–45o–90o–arctg=–233oG(j)G(j)0+–90o–180o>11<–180o0–360oNyquist圖的繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性奈奎斯特判據(jù)指導(dǎo)思想：如果有一個(gè)s平面的封閉圍線能包圍整個(gè)右半平面，則該封閉圍線在F(s)平面上的映射圍線包圍原點(diǎn)的圈數(shù)N應(yīng)為實(shí)現(xiàn)該指導(dǎo)思想應(yīng)解決三個(gè)問題：如何建立一個(gè)能包圍整個(gè)s右半平面的圍線，且該圍線符合柯西幅角定理如何進(jìn)行圍線映射如何確定F(s)相應(yīng)的映射圍線對(duì)原點(diǎn)的包圍圈數(shù)N，并將F(s)和系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性Nyquist判據(jù)若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面有p個(gè)極點(diǎn)，且Nyquist曲線對(duì)（-1，j0)點(diǎn)包圍的圈數(shù)為N(N>0為順時(shí)針，N<0為逆時(shí)針），則系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在s右半平面的數(shù)目為若z=0,系統(tǒng)穩(wěn)定若z不為零，則系統(tǒng)不穩(wěn)定Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的另一種描述形式通過正虛軸的映射與(-1,j0)點(diǎn)的相對(duì)位置確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性.保證系統(tǒng)穩(wěn)定的增益K的范圍是:開環(huán)頻率特性的相角為-1800時(shí),幅值小于1.保證系統(tǒng)穩(wěn)定的增益K的范圍是:開環(huán)頻率特性的相角為-1800時(shí),幅值大于1.基于Bode圖的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在Bode圖上:(與極坐標(biāo)圖上相反)n+:為自上而下的穿越數(shù)(正穿越數(shù))，