三維晶格振動(dòng)1、

三維晶格振動(dòng)mk1aa23aRnkRnunki

1,2,3i

u (i

1,2,3)nkinkuk晶體基矢分量

a

晶胞中第

k

個(gè)原子質(zhì)量

m

(k

1,2,P)第n

個(gè)晶胞中第

k

個(gè)原子的平衡位置矢量Rnk第 個(gè)晶胞中第個(gè)原子的偏離平衡位置沿的位移：nki

1,2,3a

i1、模型n

1,2,3,N

N1N2

N3; k

1,2,3,P21212B

0iqam

(

)A

e

1 2

1 2 BA m2

(

)

eiqa

iaq12

e2

1

2

1 m m1、光學(xué)波、聲學(xué)波及其物理意義在同一時(shí)刻

t ，同一原胞中的兩個(gè)原子的位移之比：u2(na,

t)

Bu1

(na,

t)

A由于：1 22221m

M

8mM

1

cos(qa)

2

1

2

m

M

1

2mM 2mM若m

M ，得到：211 22221cos(qa)m

2

2

1

2

1m若

1

2

，得到：

1/

21

1sin2

(aq)4mMm

M

2mm

M

2

211 22221212cos(qa)m

2

1m

iaqmm12

1

e2

1

2211 2221/

221212

2

2cos(aq)

sin(aq)1

cos(aq)

(cos(aq)

i

sin(aq))2

1eiaq因?yàn)椋?11 2222121cos(qa)m2A

2

1m211 22221212cos(qa)mo

2

1m21光學(xué)支格波圓頻率，

﹥

21聲學(xué)支格波圓頻率，

﹥

qa

a聲學(xué)波0o

min

mAmax

m

21

m

22o

max

2(1

2)

0Amin光學(xué)波禁帶（禁止出現(xiàn)的振動(dòng)模式）禁帶寬度=

o

minAmax聲學(xué)支格波iaq2 1

e

eiaq

2 1 iaqAB2 1

e

eiaq

2 1 iaqAB2 1

e

eiaq

2 1 光學(xué)支格波B

A12

2 1

1iaqAB

e

eiaq討論:A、對光學(xué)支格波，當(dāng)

,

q

0，原胞中兩個(gè)原子位移之比：表明原胞中兩個(gè)原子相對振動(dòng)，原子質(zhì)心不動(dòng)，形成長光學(xué)波。波傳播方向若原胞包含一個(gè)正離子，一個(gè)負(fù)離子，形成隨時(shí)間變化的電偶極矩。波傳播方向+

++++----B

A12

2 1

1iaqiaqA

eB

e原胞中兩原子同方向振動(dòng)（與原胞原子質(zhì)心振動(dòng)等效），長聲學(xué)波。波傳播方向?qū)β晫W(xué)支格波，當(dāng)

,

q

0

，原胞中兩個(gè)原子位移之比：qaA1

2

1 2

1 2 2m(

)

格波圓頻率與波矢成正比（聲學(xué)波）2cos

aq

1

1

aq2212

1 2 1

(aq)2m

(

)2A在長波極限下，q﹤﹤

/

a

(布里淵區(qū)中心附近),得到:iaqmmm12211 22221cos(qa)

1

e

1

2

2

2

1

2

1mmA

m2,A

B1202,A

B112

2

D、當(dāng)

q

/

a相鄰原胞的位移相反周期性邊界條件、振動(dòng)模式數(shù)u1

(na)

u1

((n

N

)a)u2

(na)

u2

((n

N

)a)

1eiNaqNaq

l

2

,l

0,1,2

q

2

l,

l

0,1,2

Nai

(naqt

)1i

(naqt

)u2(na)

Beu(na)

Ae

q

a aq

取值限制在一維雙原子鏈的第一布里淵區(qū)：N

l

N2 2q

取值在一維雙原子鏈的第一布里淵區(qū)中有

N個(gè)不同值。對每個(gè)

q

對應(yīng)有兩個(gè)圓頻率

O

,A

，一維雙原子鏈晶格有2N

個(gè)獨(dú)立振動(dòng)模式（狀態(tài)）。第

n

個(gè)晶胞中第

k 個(gè)原子受到晶體其它原子作用的簡諧（彈性）勢能：n,

n

1,2,N; i,

i

1,2,3; k,

k

1,2,P;

kk

nn

Wii

定義恢復(fù)力系數(shù)：代表第

n個(gè)原胞中第

k個(gè)原子在其它原子不動(dòng)的情況下，沿

i

方向振動(dòng)位移一個(gè)單位長度時(shí)，第n個(gè)原胞中第

k

個(gè)原子在

i

方向上受到的彈性力。0 R0Rnki

nki

nki

R

Rnk

i2兩個(gè)原胞編號兩個(gè)原胞中原子編號kk

n

nk

k

nn

W

W

kk

nnW