工程電磁場導(dǎo)論矢量第一頁，共五十五頁，2022年，8月28日§1.1標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量:

數(shù)學(xué)上：—實(shí)數(shù)域內(nèi)任一代數(shù)量a(-,+) 物理上：代數(shù)量+物理意義；或者說一個(gè)只用大小描述的物理量。如電壓，電荷，質(zhì)量，能量等矢量:

數(shù)學(xué)上：一般的三維空間中既有大小又有方向的量 物理上：矢量+物理意義；或者說一個(gè)既有大小又有方向的物理量。常用黑斜體字母或帶箭頭的字母如A或如速度、電磁場等.第二頁，共五十五頁，2022年，8月28日場： 物理量在時(shí)空中的確定分布.標(biāo)量場：物理量是一個(gè)標(biāo)量，則所確定的場稱為標(biāo)量場，用標(biāo)量函數(shù)表示為如物體的溫度分布T(r,t)、電位分布(r,t)等矢量場：物理量是一個(gè)矢量，則所確定的場稱為矢量場，用矢量函數(shù)表示既具有大小又具有方向的場。如電場第三頁，共五十五頁，2022年，8月28日靜態(tài)場：物理量不隨時(shí)間變化，則所確定的場稱為靜態(tài)場。動態(tài)場（或時(shí)變場）：物理量隨時(shí)間變化，則所確定的場稱為動態(tài)場。矢量的表示形式:一個(gè)矢量可以用一條有方向的線段來表示,線段的長度表示矢量的模,箭頭指向表示矢量的方向.AP矢量的模：表示矢量的大小A矢量的方向；第四頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.1.2矢量的運(yùn)算（加法/減法）矢量加/減法遵循平行四邊形法則,其運(yùn)算滿足:

(交換律)(結(jié)合律)1.1.3矢量的運(yùn)算（點(diǎn)積、叉積）①標(biāo)量與矢量乘積

模②矢量與矢量乘積點(diǎn)積（標(biāo)積）叉積（矢積）第五頁，共五十五頁，2022年，8月28日點(diǎn)積：（標(biāo)量）叉積：﹛大小方向：垂直與包含的面和（矢量）右手法則矢量點(diǎn)積服從：

（交換律）（分配律）矢量叉積服從：標(biāo)量三重積矢量三重積（不服從交換律）（分配律）第六頁，共五十五頁，2022年，8月28日

三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來確定。1.2三種常用的正交曲線坐標(biāo)系

在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。

三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。第七頁，共五十五頁，2022年，8月28日1、直角坐標(biāo)系

位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量

點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元

odzdydx第八頁，共五十五頁，2022年，8月28日直角坐標(biāo)系中A矢量：

B矢量：（圓柱坐標(biāo)系及球坐標(biāo)系下相應(yīng)知識）類似第九頁，共五十五頁，2022年，8月28日2、圓柱面坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量132（1）（2）（3）第十頁，共五十五頁，2022年，8月28日3、球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量第十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日4、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系oqrz單位圓

柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq

ofxy單位圓

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系

f第十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日§1.3標(biāo)量場的梯度等值面的概念：在標(biāo)量場中，使標(biāo)量函數(shù)取得相同數(shù)值的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)空間曲面稱為等值面。等值面方程：C為任意給定的常數(shù)。

等值面的特點(diǎn)：①常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，

形成等值面族；

②若

是標(biāo)量場中的任一點(diǎn)，顯然，曲面

是通過該點(diǎn)的等值面，因此標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個(gè)空間；?第十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日例題求二維標(biāo)量場的等值面

由于z不影響u,故在任意z=const的面上場的分布是相同的。(片狀分布)取u為某一常量c時(shí)c=y2-x是一組拋物線立體拋物柱面③由于標(biāo)量函數(shù)為單一值，一個(gè)點(diǎn)只能在一個(gè)等值面上，因此標(biāo)量場的等值面互不相交（兩個(gè)等值面不能有相同的c值）第十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.3.2標(biāo)量場的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)的概念:方向?qū)?shù)的意義：方向?qū)?shù)是描述標(biāo)量場沿L方向?qū)嚯x的變化率。

方向?qū)?shù)的計(jì)算公式是標(biāo)量場中的一點(diǎn)，從該點(diǎn)出發(fā)引一條射線L,M是射線上的動點(diǎn)。到點(diǎn)的距離為（直角坐標(biāo)系）第十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日式中：是L方向的方向余弦。方向?qū)?shù)的特點(diǎn)：1.3.3梯度問題的提出：標(biāo)量場在什么方向上的變化率最大、其最大的變化率又是多少？(方向?qū)?shù)沿何方向取得最大值？）(grads)第十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日通過推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)方向與矢量

方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)的值最大，由此可以得到梯度在三種不同的坐標(biāo)系下的計(jì)算公式：第十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日為哈密頓算符，（讀作del或Nabla)在直角坐標(biāo)系中記住!!練習(xí)U=2x+y+z求其梯度第十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日第十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日自證（作業(yè)）

在電磁場中，通常以表示源點(diǎn)的坐標(biāo)，以表示場點(diǎn)的坐標(biāo)，因此上述運(yùn)算結(jié)果在電磁場中非常重要！第二十頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.4矢量場的通量散度1.4.1矢量場的矢量線形象地描述矢量場在空間的分布

矢量線的概念：矢量線是場空間中的有向曲線，矢量線上任一點(diǎn)的切線方向都與該點(diǎn)的場矢量方向相同，如圖所示。第二十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日特點(diǎn)：矢量場中的每一點(diǎn)都有矢量線通過，矢量線充滿矢量場所在的空間。

解此微分方程組，即可得到矢量線方程，從而繪制出矢量線。則既能根據(jù)矢量線確定矢量場中各點(diǎn)矢量的方向，又可根據(jù)各處矢量線的疏密程度，判別各處的矢量大小及變化趨勢。如：電場線第二十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日求此二維場的力線方程及場圖由力線方程有：例題有一二維矢量場:因此求得的矢量線是一組同心圓。

？思考哪種矢量線具有這種特點(diǎn)第二十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日分析矢量穿過一個(gè)曲面的通量面元矢量法向矢量有兩個(gè)要素：{右手螺旋法則（開面）閉合面外法線（雞蛋殼外表面）面大小穿越方向1.矢量場的通量

矢量場的通量是描述矢量場性質(zhì)的重要概念之一。通量的概念：矢量場在場中的曲面上的標(biāo)量積（稱為矢量場的通量，取一小面元ds為例§1.4.2矢量的通量、散度(點(diǎn)乘）點(diǎn)積第二十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日曲面通量：>0表示有凈流出---正通量源例：靜電場中的正電荷

<0表示有凈流入---負(fù)通量源例：靜電場中的負(fù)電荷＝0正通量源與負(fù)通量源代數(shù)和為0—無通量源矢量流與穿越面積方向乘積的和通量的物理意義：手例穿出閉曲面的正通量與進(jìn)入閉曲面的負(fù)通量的代數(shù)和。第二十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日通量的特點(diǎn)：描述的是一定范圍內(nèi)總的凈通量源，而不能反映場域內(nèi)的每一點(diǎn)的具體分布情況2矢量場的散度

矢量場的散度描述矢量場在一個(gè)點(diǎn)附近的通量特性。第二十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日散度的物理意義：通量源的密度。時(shí)，發(fā)出矢量線的正源；時(shí)，發(fā)出矢量線的負(fù)源；時(shí)，無通量源。第二十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日設(shè)有如圖的小立方體及矢量場散度的直角坐標(biāo)表示第二十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日!!第二十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日記住第三十頁，共五十五頁，2022年，8月28日散度(高斯)定理例球體第三十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日例1:已知解：根據(jù)散度的計(jì)算公式：第三十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日第三十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日

第三十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.5.2矢量場的旋度

矢量場的旋度描述場域內(nèi)的旋渦源分布情況的重要概念。第三十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日上式為旋度在方向的投影（面元矢量為）第三十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日第三十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日不同坐標(biāo)系下旋度計(jì)算公式：直角坐標(biāo)系

（圓柱坐標(biāo)系）

（球坐標(biāo)系）

!!記住第三十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日斯托克斯定理矢量對閉合回路的線積分等于該回路所包圍任意表面上對該矢量旋度的面積分。第三十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日例：第四十頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.6無旋場與無散場1.無旋場（1）如果一個(gè)矢量場的旋度處處為0，即則該矢量場為無旋場。它是由散度源產(chǎn)生的。例如靜電場。梯度是一無旋場證明：取直角坐標(biāo)系結(jié)論1：第四十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日第四十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日結(jié)論（2）引申：無旋場可以表示為某一個(gè)標(biāo)量場的梯度即如果則存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)u,使得其中的負(fù)號是為了與電磁場中的電場強(qiáng)度E與標(biāo)量電位的關(guān)系相一致第四十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日

結(jié)論（3）由斯托克斯定理對一個(gè)無旋場表明無旋場的曲線積分與路徑無關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。（證明如下）第四十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日以Q為固定點(diǎn)，則上式可以看作是點(diǎn)P的函數(shù)：因?yàn)橐粋€(gè)標(biāo)量場可以完全由它的梯度來確定同時(shí)表明一個(gè)無旋場可以對應(yīng)無數(shù)個(gè)標(biāo)量位函數(shù)（參考點(diǎn)的選?。┑谒氖屙摚参迨屙摚?022年，8月28日結(jié)論：任意矢量旋度的散度恒為零1.6.2無散場如果一個(gè)矢量場的散度處處為0，即

則該矢量場為無散場證明：第四十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日由此可知：對于任何一個(gè)無散場。必然可以表示為某個(gè)矢量場的旋度。即：為矢量位函數(shù)，簡稱矢量位第四十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算：

1.對標(biāo)量場而言：稱為標(biāo)量場的拉普拉斯運(yùn)算稱為拉普拉斯算符第四十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日直角坐標(biāo)系中：2.對矢量場而言：直角坐標(biāo)系中：第四十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日

格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。由散度定理設(shè)而得格林第一恒等式同理，若設(shè)格林第一恒等式表示為——格林第二恒等式格林定理第五十頁，共五十五頁，2022年，8月28日由散度定理格林第一恒等式：格林第二恒等式：格林定理描述了兩個(gè)標(biāo)量場之間的關(guān)系，如果已知其中一個(gè)場的分布，可以利用該定理求解另一個(gè)場的分布。第五十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日