學習要求1.掌握相關分析及其應用方法2.掌握功率譜分析及其應用3.掌握小波變換的特點、基本理論及步驟11.1工程測試信號處理的目的

通過測試，可得到一系列原始數(shù)據(jù)或圖形。這些數(shù)據(jù)是認識事物內在規(guī)律，研究事物相互關系和預測事物發(fā)展趨勢的重要依據(jù)。但這僅僅是第一步工作，只有在此基礎上對已獲得的數(shù)據(jù)進行科學的處理，才能去粗取精、去偽存真、由表及里，從中提取能反映事物本質和運動規(guī)律的有用信息，這才是測試工作的最終目的。

工程測試信號處理就是對信號進行有目的的加工，將被測信號的原始數(shù)據(jù)變換成所期望信號的過程，如增強、壓縮、濾波、估計、識別、變換等。11.2

相關分析及其應用

相關是代表客觀事物或過程中某兩種特征量之間聯(lián)系的緊密性。在靜態(tài)測量中由于所測的是數(shù)值，所以相關就代表了某兩種特征量之間的關聯(lián)程度。（a）（b）（c）（a）嚴格的對應關系，稱之為精確的線性

相關；（b）大致的對應關系，稱之為中等的線性

相關；（c）數(shù)值上沒有對應關系，稱之為二者不相關。

信號的相關性是反映信號波形相互聯(lián)系緊密程度的一種函數(shù)。均值、方差、概率密度函數(shù)反映的是隨機信號幅值的統(tǒng)計規(guī)律，而相關可更深入地揭示信號的波形結構。隨機信號的相關函數(shù)

自相關函數(shù)

假定一個樣本記錄x(t)是來自各態(tài)歷經的平穩(wěn)隨機過程，其自相關函數(shù)Rxx(τ)是原樣本記錄信號x(t)與此樣本記錄在作τ時移后的信號乘積后再作積分平均運算，即以有限長樣本作估計自相關函數(shù)具有以下幾個性質：1.當τ=0時自相關函數(shù)取最大值，即?！?.自相關函數(shù)是偶函數(shù)，即。=3.均值為零而又不含確定性周期信號成分的“純”隨機信號其。

互相關函數(shù)

兩隨機信號樣本x(t)和y(t)的互相關函數(shù)的估計值為。互相關函數(shù)具有以下性質：1.不是偶函數(shù)，通常它不在τ=0處取峰值。其峰值偏離原點的位置反映了兩信號相互有多大時移。2.與是兩個不同的函數(shù)，根據(jù)定義可以證明。3.均值為零的兩統(tǒng)計獨立的隨機信號x(t)與y(t)，對所有的τ值。

相關系數(shù)函數(shù)

由于信號x(t)與y(t)本身的取值大小影響相關函數(shù)的計算結果，因而在比較不同的成對隨機信號相關程度時，僅視其相關函數(shù)值大小是不確切的。如一對小信號雖然相關程度很高，但相關函數(shù)值很小，相反一對大信號雖然相關程度很低，但相關函數(shù)值很大。為了避免信號本身幅值對其相關性程度度量的影響，將相關函數(shù)作歸一化處理，引入一個無量綱的函數(shù)——相關系數(shù)函數(shù)，互相關系數(shù)函數(shù)的定義式為這樣是在0和1之間變化的一個函數(shù)。若=1，說明x(t)與y(t)完全相關；若=0，說明x(t)與y(t)完全不相關。若1<<1，則說明x(t)與y(t)部分相關。同理，自相關系數(shù)函數(shù)反映了信號x(t)和x(t+τ)之間的相關程度。

相關函數(shù)的推廣公式

相關函數(shù)雖是由隨機信號引出的，推廣至確定性信號在含義上仍能反映信號的相關性，但運算公式有所變化。對于周期信號，其計算可用一個周期代替其整體，所以對于確定性信號中的瞬態(tài)信號，由于其長度有限，反映了其“能量有限”，故不能用

作平均，否則相關函數(shù)就為零了。所以它的相關函數(shù)計算公式為信號相關函數(shù)的實現(xiàn)

實現(xiàn)相關處理的儀器稱為相關儀，相關儀有模擬式和數(shù)字式兩種。1.模擬式相關儀模擬式相關儀采用模擬電路來實現(xiàn)相關公式中的各項運算，模擬信號x(t)和經時移的模擬信號y(t)先相乘、再作積分、平均運算后可得到對應于某一時移τ的互相關函數(shù)值。改變τ大小可得對應于不同τ的互相關函數(shù)值，從而繪出互相關函數(shù)的曲線。2.數(shù)字式互相關儀

兩模擬信號x(t)與y(t)的互相關函數(shù)若要作數(shù)字相關處理，需先對這兩個模擬信號作離散化（采樣）及量化處理，然后再作相關運算。離散信號的相關函數(shù)表達式為（r=0，1，2，…，m）

N為沿時間軸的總采樣數(shù)；i為沿時間軸的采樣序數(shù)；r為間斷時移值。作為有限長采樣的相關函數(shù)估計為信號相關的物理解釋和工程應用1.信號相關是波形相似的度量

圖（a）列出四個樣本波形，從波形相似的觀點出發(fā)觀測這四個波形，可看到波形（a′），（b′）較為相似，波形（c′）如向左移動τ值則與前二者也較相似，而（a′）、（b′）、（c′）和（d′）顯然很不相似。這種觀測是定性的、粗略的估計。如要精確地、定量地估計波形相似程度，需作進一步的分析。

圖（b）是二樣本波形x(t)、y(t)，如要度量兩波形之間的相似程度，需對其在波形相對應的時間軸上取幅值相比較，求各時間點上兩信號幅值之差，差值愈小則波形就愈相似。因此可以總結出波形相似程度的一個指標：

式中，xi、yi為對應于時間軸上相對應點的兩函數(shù)取值。取差值平方是為了消除差值的正負相差造成差值和很小的假象。顯然a值愈小，則波形相似程度愈好。將上式展開得

對于一個平穩(wěn)隨機過程，式中前兩項代表的均方值是常值，a的大小主要由最后一項來決定。令因此愈大，a就愈小，波形相似程度就愈好。1.相關是周期信號中同頻成分的反映作為相關中的特例，若x(t)、y(t)均為簡諧信號

則可推算出x(t)的自相關函數(shù)和x(t)、y(t)的互相關函數(shù)1.x(t)、y(t)是同頻的正弦（或余弦）信號時，其相關函數(shù)保存它們的頻率信息。假若x(t)、y(t)是不同頻的簡諧信號則可由正（余）弦信號的正交性得出不同的結論：為簡化分析使τ=0，θ=0，

，n=1、2、…，m=1、2、…，A=B=1，則當n=m時Rxy(0)=1

當n≠m時Rxy(0)=0假若x(t)與y(t)是則

Rxy(0)=0

幾個相關概念

同頻無相位差的兩正弦（或余弦）信號具有最好的相關性；

同頻無相位差的正弦與余弦信號，具有零相關函數(shù)值；

兩不同頻的正弦（或余弦）諧波信號，具有零相關函數(shù)值。2.正弦（余弦）信號在作自相關處理時，其本身所具有的初相位信息（θ）在相關函數(shù)中不出現(xiàn)，即說明在作自相關處理時，失去了原簡諧信號的相位信息，而在作兩同頻正弦信號的互相關時，互相關函數(shù)中出現(xiàn)兩正弦信號之間的相位差，所以互相關處理中保留了兩正弦信號間的相位差信息。而在τ=0時

根據(jù)這一原理，可設計能反映被分析信號幅值和相位的相關濾波頻譜分析儀。互相關函數(shù)從原理上，主要有如下幾個應用方面：1.滯后時間的測量假定欲測定信號通過一給定線性系統(tǒng)需要的時間，即輸出滯后輸入的時間，顯然用輸入和輸出兩信號的互相關函數(shù)就可得該滯后時間，即直接用互相關函數(shù)峰值偏離原點的時間位移來確定。但當頻率對系統(tǒng)傳遞環(huán)節(jié)和傳遞速度影響很大時，互相關函數(shù)可能不出現(xiàn)明顯的峰值。在此情況下要用后面討論的互譜密度函數(shù)來解決。2.傳遞環(huán)節(jié)的確定如果一個線性系統(tǒng)，其輸入經過幾個環(huán)節(jié)傳遞而產生一個輸出，由于每條環(huán)節(jié)一般都具有不同的滯后時間，因此對輸出有明顯影響的每個環(huán)節(jié)都將在互相關函數(shù)中出現(xiàn)各自的峰值。如可計算出各環(huán)節(jié)的滯后時間，則通過與互相關函數(shù)上峰值位移的比較，可確定對輸出有明顯影響的主要環(huán)節(jié)。3.速度測量如下圖所示，當運動物體通過固定距離為l的兩光電檢測器，檢測器可獲得對應的兩個信號x(t)和y(t)，經互相關處理得到相關函數(shù)Rxy(τ)。根據(jù)峰值的滯后時間τ0，即可求得運動物體的速度

。由于該方法可實現(xiàn)非接觸測量，宜用于測量、風洞氣流、炮彈、汽車等的運動速度。11.3

功率譜分析及其應用定義

隨機信號的自功率譜函數(shù)（自譜）是該隨機信號自相關函數(shù)的傅里葉變換，為Sx(f)所以

二隨機信號的互功率譜密度函數(shù)（互譜）是互相關函數(shù)的傅里葉變換，記為Sxy(f)。所以物理意義令τ=0，則根據(jù)自相關函數(shù)的定義，當τ=0時即可得圖解含義見下圖。圖中（a）為原始的隨機信號x(t)；(b)是函數(shù)的波形；(c)是x(t)的自相關函數(shù)；(d)是的傅里葉變換，即自譜函數(shù)。功率譜分析的實現(xiàn)

各態(tài)歷經的平穩(wěn)隨機過程的功率譜的求取有以下三種方法：1.由定義先求取隨機信號樣本的相關函數(shù)，再求其傅里葉變換功率譜密度函數(shù)。顯然，在處理時是以有限長的樣本來作處理，所得的功率函數(shù)都是估計2.用時域信號x(t)作一系列運算后得到自功率譜的估計。計算時使有限頻段內用有限采樣點進行計算，因此當要求取在某一頻率值f0上一根譜線時

根據(jù)上述公式可構成下圖的自譜分析儀的原理方框結構。3.利用有限長度隨機信號樣本的傅里葉變換求取自譜密度函數(shù)的估計。隨機信號x(t)在有限區(qū)間T內截斷得一樣本功率譜的應用1.

作為工業(yè)設備狀況的分析和故障診斷的依據(jù)。

下圖是從汽車變速箱上測取的振動加速度信號經處理后所得的功率譜圖。圖中（a）是變速箱正常工作時的譜圖，（b）為不正常工作時的譜圖。一般來說對于正常運行的機器其功率譜是穩(wěn)定的，且各譜線對應于不同零部件不同運轉狀態(tài)的振源。在機器運行不正常時，如軸系的動不平衡，軸承的局部失效，齒輪的不正常等等，都會引起相應譜線的變動。圖（b）較圖（a）中在9.2Hz和18.4Hz兩處出現(xiàn)額外譜線，反映了發(fā)動機的某些不正常，且指明了異常功率消耗所在的頻率，為尋找與此功率相對應的故障部位提供了依據(jù)。

這樣可得到如下圖所示的信號及功率譜密度，從圖中可以很容易地推測，信號集中在120Hz和50Hz。信號t/ms功率譜密度f/Hz信號及其功率譜密度2.利用功率譜的數(shù)學特點求取信號傳遞系統(tǒng)的頻響函數(shù)由上圖（a）可見，在理想情況下，該系統(tǒng)頻響函數(shù)應為

為了解決這一問題，采用功率譜求取頻響函數(shù)可得到較好效果。上式引起誤差的主要原因是由于在輸入和輸出端的噪聲所致。采用功率譜計算的方法是先在時域作相關，在頻域作運算。在理論上，信號中的隨機噪聲在時域作相關時，如τ取得足夠長皆可使其相關函數(shù)值等于零。而隨機信號與有用信號因互不相關，故二者之間的相關函數(shù)也是零。所以含有隨機噪聲的信號，經過相關處理所得的相關函數(shù)可屏除噪聲成分，得到的是有用信號的功率譜，由此所求的頻響函數(shù)是較精確的。至于功率譜和頻響函數(shù)之間的數(shù)學關系可由以上的數(shù)學公式導出。相干函數(shù)1.定義

兩信號x(t)與y(t)的自譜和互譜分別為Sx(f)、Sy(f)、Sxy(f)，則它們之間的相干函數(shù)為2.含義和應用

相干函數(shù)是在頻域內鑒別兩信號相關程度的指標。如在一測試系統(tǒng)中，為了評價其輸入信號與輸出信號間的因果性，即輸出信號的功率譜中有多少是所測輸入信號引起的響應，可用相干函數(shù)來描述。倒頻譜分析的基本原理11.4

倒頻譜技術倒頻譜分析的意義

由倒頻譜公式可知，倒頻譜是功率譜對數(shù)的頻譜，對功率作對數(shù)處理，相當于對其作對數(shù)加權處理，其結果是對低頻分量有較高的加權，這樣做的好處有:1.變換后的信號能量集中，易于對信號識別；2.易于解析卷積積分；3.有利于判別譜的周期性。

總之作信號的倒頻譜變換，其目的是可較容易地識別信號的組成分量，便于從中提取有用信號成分。1.分離信息通道對信號的影響,并能識別信號功率譜中的周期成分。倒頻譜技術的應用例

一信號x(t)在傳輸過程中受到其自身回波的干擾疊加，請?zhí)蕹芈晫π盘柕挠绊憽?.剔除回聲對信號的影響。11.4

頻譜細化分析基于復調制的FFT方法1.復調制基于復調制的細化FFT方法處理步驟為：

設記錄長度為T=NTs的時域信號x(t)，其中N為采樣長度，Ts為采樣時間間隔，x(n)是x(t)離散后的時間信號，則x(n)的頻譜X0(k)為相應有2.復低通濾波并細化3.

信號輸出濾波器輸出的時域表示為式中，H(k)為數(shù)字低通濾波器的頻響。

在上述處理過程中，濾波器的幅頻譜在該頻帶內恒為1是前提。若不為1需加以修正。由上述處理過程可知，與同樣點數(shù)的FFT相比，這一細化方法所獲得的分辨率要提高D倍，且提高了計算效率。下圖為基于復調制的細化方法的原理框圖。相位補償細化方法該細化方法簡單直觀的處理過程如下圖所示。應用11.6

動態(tài)補償數(shù)字濾波器

用數(shù)字處理方式選擇信號頻率稱為數(shù)字濾波，濾波的目的是讓符合要求的頻率信號通過，不符合要求的信號作極大衰減。硬件補償方法1.一階系統(tǒng)的動態(tài)特性補償2.二階系統(tǒng)的動態(tài)特性補償二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

硬件補償方法雖然可以實現(xiàn)實時補償，但每一個具體的測量系統(tǒng)都需要用專門的補償環(huán)節(jié)，即使相似的測量系統(tǒng)，僅僅因為具體參數(shù)稍有不同也難以用同樣的補償環(huán)節(jié)，甚至測試系統(tǒng)本身動態(tài)特性的變化（如老化、漂移、環(huán)境溫濕度的影響等）都有導致補償效果惡化的可能，因而代價較高，靈活性較差。軟件補償方法

軟件補償方法盡管實時性不高，但其設計運算方便、靈活。實際應用時，可根據(jù)不同的要求編制不同的補償程序。隨著計算機技術及虛擬儀器的發(fā)展，軟件補償方法已廣泛用于動態(tài)測試中。動態(tài)補償濾波器應用例

某傳感器離散傳遞函數(shù)為其時域仿真階躍響應如圖中曲線1所示，存在著很大的動態(tài)誤差?？紤]對其進行動態(tài)補償。11.7

小波分析小波分析基礎

小波分析方法是一種窗口大?。创翱诿娣e）固定但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，所以被譽為數(shù)學顯微鏡。正是這種特性，使小波變換具有對信號的自適應性。原則上講，傳統(tǒng)上使用傅里葉分析的地方，都可以用小波分析取代。小波分析優(yōu)于傅里葉變換的地方是，它在時域和頻域同時具有良好的局部化性質。小波分析在測試信號分析中的應用

運用小波分析進行一維信號消噪和識別信號中的發(fā)展趨勢是小波分析的一個重要應用之一。在實際的工程應用中，所分析的信號可能包含噪聲和一些不應有的趨勢項，對這種信號，首先需要作信號的預處理，將信號的噪聲和趨勢項去處，提取有用信號。例

利用小波分析方法對具有噪聲的電網電壓值進行消噪處理，并分析用電故障原因。解：首先選擇小波函數(shù)db4，然后確定小波分解的層數(shù)N（在這里，取N為3）。從小波消噪處理的方法上說，一般有三種。1）強制消噪處理。該方法把小波分解結構中的高頻系數(shù)全部變?yōu)?，即把高頻部分全部濾除掉，然后再對信號進行重構處理。該方法優(yōu)點是比較簡單，缺點是容易丟失信號的有用成份。2）默認