常微分方程課件奇解和包絡(luò)第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日一、包絡(luò)和奇解1包絡(luò)的定義定義1：對(duì)于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線族：

曲線族(1)的包絡(luò)是指這樣的曲線,它本身不包含在曲線(1)中,但過這曲線的每一點(diǎn)有(1)中的一條曲線和它在這點(diǎn)相切.第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日對(duì)于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線族：

其中為參數(shù).若存在一條曲線滿足下列條件:(1)(2)對(duì)任意的

存在唯一的使得且與在有相同的切線.則稱為曲線族的一條包絡(luò)線,簡(jiǎn)稱為包絡(luò).或定義：第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日例如單參數(shù)曲線族：（其中R是常數(shù)，c是參數(shù)）表示圓心為（c,0）而半徑等于R的一族圓.如圖R從圖形可見,此曲線族的包絡(luò)顯然為:第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日注:并不是每個(gè)曲線族都有包絡(luò).例如:單參數(shù)曲線族:(其中c為參數(shù))表示一族同心圓.

如圖從圖形可見,此曲線族沒有包絡(luò).第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日問題:對(duì)于給定的單參數(shù)曲線族:

如何判斷它是否有包絡(luò)?如果有包絡(luò),如何求?根據(jù)定義,假設(shè)該單參數(shù)曲線族有包絡(luò)則對(duì)任意的存在唯一的使得于是得到對(duì)應(yīng)關(guān)系:第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日從而得到二元函數(shù)使得若可用參數(shù)形式表示為:記則于是,第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日上任取一個(gè)固定點(diǎn)M,則M在某一條曲線上.由于與在M點(diǎn)有相同的切線,而與在M點(diǎn)的切線的斜率分別為與所以,有從而由于在上不同的點(diǎn)也在不同的上,即因此現(xiàn)在第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日因此,包絡(luò)線任意一點(diǎn)M不僅要滿足而且還要滿足把聯(lián)立方程組:中消去參數(shù)c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲線稱為曲線族的c-判別曲線第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日2包絡(luò)的求法曲線族(1)的包絡(luò)包含在下列兩方程注:第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日解:記則即例1:的包絡(luò).求曲線族第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日因此c-判別曲線包括兩條曲線(2)和(3),第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日xyO第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日例2:求直線族:的包絡(luò).這里是參數(shù),是常數(shù).解:記則消去參數(shù)得的c-判別曲線:經(jīng)驗(yàn)證是曲線族的包絡(luò).如圖:第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日Oxy第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日3奇解定義2:微分方程的某一解稱為奇解,如果在這個(gè)解的每一點(diǎn)還有方程的另外一個(gè)解存在.注:一階微分方程的通解的包絡(luò)一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包絡(luò).例如:第十六頁，共二十二頁，2022年，8月28日第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日4奇解的求法方程的奇解包含在由方程組注:第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日例3:求微分方程的奇解.解:從消去p(實(shí)際上p=0),得到p-判別曲線即由于方程的通解為:第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日三、克萊羅（Clairaut）方程1定義3:形如的方程，稱為克萊羅(Clairaut)方程.第二十頁，共二十二頁，2022年，8月28日為求它的解,令得經(jīng)化簡(jiǎn),得2克萊羅(Clairaut)方程的求解這是y已解出的一階微分方程.第二十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日如果則得到于是,Clairaut方程的通解為:如果