湖南省婁底市新塘中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA=，c﹣a=2，b=3，則a等于（）A．2 B． C．3 D．參考答案：A【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】由已知條件和余弦定理可得a的方程，解方程可得．【解答】解：由題意可得c=a+2，b=3，cosA=，∴由余弦定理可得cosA=?，代入數(shù)據(jù)可得=，解方程可得a=2故選：A2.如圖，AB是圓O的一條直徑，C、D是半圓弧的兩個三等分點(diǎn)，則A.

B.

C.

D.參考答案：D3.在區(qū)間上任選兩個數(shù)和，則的概率為

A.

B.

C.

D.參考答案：D4.函數(shù)，若的解集為，且中只有一個整數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的整數(shù)解及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決選擇題、填空題是發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將已知函數(shù)的性質(zhì)研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解.歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：（1）確定方程根的個數(shù)；（2）求參數(shù)的取值范圍；（3）求不等式的解集．5.若集合，則集合A. B. C. D.R參考答案：C略6.設(shè)集合A={x∈N|，0≤x≤2}，B={x∈N|1≤x≤3}，則A∪B=（）A．{1，2} B．{0，1，2，3} C．{x|1≤x≤2} D．{x|0≤x≤3}參考答案：B【考點(diǎn)】1D：并集及其運(yùn)算．【分析】化簡集合A、B，根據(jù)并集的定義寫出A∪B．解：集合A={x∈N|，0≤x≤2}={0，1，2}，B={x∈N|1≤x≤3}={1，2，3}，則A∪B={0，1，2，3}．故選：B．7.已知不等式的解集為，點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為

(A)

(B)8

(C)9

(D)12參考答案：D略8.已知，，則中的元素個數(shù)為（

）A.1 B.2 C.6 D.8參考答案：B【分析】先化簡集合B并求出其補(bǔ)集，然后和集合A進(jìn)行交集計(jì)算.【詳解】解：，或，，，的元素個數(shù)為2個.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了的交集、補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．9.如果一個三位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，且各數(shù)字之和等于10，則稱此三位數(shù)為“十全十美三位數(shù)”（如235），任取一個“十全十美三位數(shù)”，該數(shù)為奇數(shù)的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知,,那么的大小關(guān)系是:

A.

B.

C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.閱讀程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的值為

．參考答案：12.邊長為的等邊三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊距離之和為定值，則這個定值為；推廣到空間，棱長為的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各面距離之和為___________________.參考答案：略13.已知圓(x－2)2＋y2＝1經(jīng)過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，則此橢圓的離心率為

．參考答案：14.已知定義域?yàn)椋ī?，1），函數(shù)f（x）=﹣x3+3x且f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0，則a的取值范圍是．參考答案：（3，）【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】先判斷函數(shù)f（x）的奇偶性、單調(diào)性，然后把f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的值間的大小關(guān)系，解不等式即可，要注意函數(shù)定義域．【解答】解：因?yàn)閒（﹣x）=﹣（﹣x）3+（﹣3x）=x3﹣x=﹣f（x），所以f（x）為奇函數(shù)，又f（x）=﹣x3+3x單調(diào)遞增，所以f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0，可化為f（a﹣3）＜﹣f（9﹣a2）=f（a2﹣9），所以有，解得3＜a＜故答案為：（3，）．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及不等式的求解，解決本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)f（x）的性質(zhì)把不等式中的符號“f”去掉，變成關(guān)于自變量值間的關(guān)系．15.在的展開式中，的系數(shù)為________．（用數(shù)字作答）參考答案：40【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開定理求解即可.【詳解】展開的通項(xiàng)為時，此時的系數(shù)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)f（x）=在（2，+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為

．參考答案：（﹣）考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：將函數(shù)分離成f（x）=a，再由反比例函數(shù)的單調(diào)性，即可得到a的范圍．解答： 解：函數(shù)f（x）===a，由于f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，則1+2a＜0，解得，a＜﹣．故答案為：（﹣）．點(diǎn)評：本題考查分式函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查分離變量的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．17.等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)的和為Sn，若，則

_．參考答案：6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）

設(shè)函數(shù)，其中．

(I)若函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在的圖象上，求m的值；

(Ⅱ)當(dāng)時，設(shè)，討論的單調(diào)性；

(Ⅲ)在(I)的條件下，設(shè)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使△OPQ(O為原點(diǎn))是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且該三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．參考答案：略19.(本題滿分13分)已知橢圓的左、右兩個頂點(diǎn)分別為A，B.雙曲線C的方程為.設(shè)點(diǎn)P在第一象限且在雙曲線C上，直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)T.(Ⅰ)設(shè)P,T兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，證明x1·x2＝1；(Ⅱ)設(shè)△TAB與△POB(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積分別為S1與S2，且≤15，的取值范圍．參考答案：所以x＋4x－4≤16，即x≤4.因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，則1<x1≤2.20.某校高三年級文科學(xué)生600名，從參加期末考試的學(xué)生中隨機(jī)抽出某班學(xué)生(該班共50名同學(xué))，并統(tǒng)計(jì)了他們的數(shù)學(xué)成績（成績均為整數(shù)且滿分為150分），數(shù)學(xué)成績分組及各組頻數(shù)如下表：分組頻數(shù)頻率[45，60）20．04[60，75）40．08[75，90）80．16[90，105）110．22[105，120）150．30[120，135）ab[135，150]40．08合計(jì)501

（1）寫出a、b的值；（2）估計(jì)該校文科生數(shù)學(xué)成績在120分以上學(xué)生人數(shù)；（3）該班為提高整體數(shù)學(xué)成績，決定成立“二幫一”小組，即從成績在[135，150]中選兩位同學(xué)，來幫助成績在[45，60）中的某一位同學(xué)．已知甲同學(xué)的成績?yōu)?6分，乙同學(xué)的成績?yōu)?45分，求甲乙在同一小組的概率．參考答案：（1）6、0.12

………2分

（2）成績在120分以上的有6+4=10人，所以估計(jì)該校文科生數(shù)學(xué)成績在120分以上的學(xué)生有：人.

……6分（3）[45，60）內(nèi)有2人，記為甲、A．[135，150]內(nèi)有4人，記為乙、B、C、D．法一：“二幫一”小組有以下6種分組辦法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）、（甲BC，A乙D）、（甲BD，A乙C）、（甲CD，A乙B）．其中甲、乙兩同學(xué)被分在同一小組有3種辦法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）．所以甲、乙分到同一組的概率為.

………12分（法二：乙可能和甲或和A分到同一組，且等可能，故甲、乙分到同一組的概率為）

略21.（本小題滿分12分）為了解某天甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素的含量（單位：毫克）．當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素滿足，且時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．已知甲廠該天生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：（1）求乙廠該天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（2）用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠該天生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（3）從乙廠抽出取上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品至少有1件的概率．參考答案：（1）；（2）；（3）．試題解析：（1）乙廠該天生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為．（2）樣品中優(yōu)等品的頻率為，乙廠該天生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為．（3）設(shè)從乙廠抽出的5件產(chǎn)品分別為從中隨機(jī)抽取2件，則有：共10個基本事件，其中2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)至少有1件的基本事件有7個，則所求概率．考點(diǎn)：1、隨機(jī)抽樣；2、列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE．（I）求證：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【分析】（I）由PC⊥底面ABCD，可得PC⊥AC．由AB=2，AD=CD=1，利用勾股定理的逆定理可得：AC⊥BC，因此AC⊥平面PBC，即可證明平面EAC⊥平面PBC．（II）取AB的中點(diǎn)F，兩角CF，則CF⊥AB，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，可得設(shè)P（0，0，a）（a＞0），可取=（1，﹣1，0），利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得：為平面PAC的法向量．設(shè)=（x，y，z）為平面EAC的法向量，則，可得，由于二面角P﹣AC﹣E的余弦值為，可得==，解得a=4．設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ，則sinθ=||=即可得出．【解答】（I）證明：∵PC⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，∴PC⊥AC．∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，又AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．（II）解：取AB的中點(diǎn)F，兩角CF，則CF⊥AB，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，