湖南省常德市職工中等專業(yè)學(xué)校2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合A={x||x﹣1|＜1}，B={x|1﹣≥0}，則A∩B=（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0＜x＜1}參考答案：A【分析】求出A，B中不等式的解集，找出A與B的交集即可．【解答】解：由|x﹣1|＜1，即﹣1＜x﹣1＜1，即0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由1﹣≥0，即≥0，解得x≥1或x＜0，即B={x|x≥1或x＜0}則A∩B={x|1≤x＜2}，故選：A【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2.已知函數(shù),若是函數(shù)的零點,且,則的值

(

)Ａ.

恒為正值

Ｂ.等于0

C.

恒為負(fù)值

D.不大于0參考答案：A3.若，，，則的最大值為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】由變形，代入式子得到，取，帶入化簡利用均值不等式得到答案.【詳解】，設(shè)原式當(dāng)即時有最大值為故答案選C【點睛】本題考查了最大值，利用消元和換元的方法簡化了運算，最后利用均值不等式得到答案，意在考查學(xué)生對于不等式知識的靈活運用.4.已知等差數(shù)列的公差d不為0，等比數(shù)列的公比q是小于1的正有理數(shù)，若，且是正整數(shù)，則的值可以是（

）

A.

B.-

C.

D.-參考答案：C由題意知，，所以，因為是正整數(shù)，所以令，為正整數(shù)。所以，即，解得，因為為正整數(shù)，所以當(dāng)時，。符合題意，選C.

5.幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（

）A． B．4π C．3 D．以上都不對參考答案：A由題可知該幾何體為軸截面為正三角形的圓錐，底面圓的直徑為2，高為∴外接球半徑∴外接球表面積故選A

6.已知是所在平面內(nèi)一點，，現(xiàn)將一粒紅豆隨機(jī)撒在內(nèi)，則紅豆落在內(nèi)的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.若復(fù)數(shù)（a∈R，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為(

)

A．－2

B.4

C.－6

D.6參考答案：C略8.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)的值是

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C9.集合，集合Q=，則P與Q的關(guān)系是（）P=Q

B.PQ

C.

D.參考答案：C10.已知，則（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式求得，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求．【詳解】解：，，則．故選：D．【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為，是區(qū)域D上任意一點， 則的最大值與最小值之和是

▲

．參考答案：12.設(shè)函數(shù).當(dāng)時，求的值域--_______參考答案：略13.已知、均為銳角，，，則

。參考答案：14.如圖，將一個邊長為1的正三角形分成四個全等的正三角形，第一次挖去中間的一個小三角形，將剩下的三個小正三角形，再分別從中間挖去一個小三角形，保留它們的邊，重復(fù)操作以上做法，得到的集合為謝爾賓斯基縷墊．設(shè)是第n次挖去的小三角形面積之和（如是第1次挖去的中間小三角形面積，是第2次挖去的三個小三角形面積之和）.則前n次挖去的所有小三角形面積之和的值為

．參考答案：15.已知函數(shù)若>，則實數(shù)的取值范圍是(

)A．

B.

C.

D.參考答案：D16.已知函數(shù),若,則.參考答案：-217.對任意實數(shù)x，不等式恒成立，則k的取值范圍是

；參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=sin（+x）sin（﹣x）+sinxcosx（x∈R）．（1）求f（）的值；（2）在△ABC中，若f（A）=1，求sinB+sinC的最大值．參考答案：【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦定理．【分析】（1）利用倍角公式與輔助角公式將f（x）=sin（+x）sin（﹣x）+sinxcosx化為：f（x）=sin（2x+），即可求得f（）的值；（2）由A為三角形的內(nèi)角，f（A）=sin（2A+）=1可求得A=，從而sinB+sinC=sinB+sin（﹣B），展開后利用三角函數(shù)的輔助角公式即可求得sinB+sinC的最大值．【解答】（1）∵f（x）=sin（+x）sin（﹣x）+sinxcosx=cos2x+sin2x，sin（2x+），∴f（）=1；（2）f（A）=sin（2A+）=1，而0＜A＜π可得：2A+=，即A=．∴sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB=sin（B+）．∵0＜B＜，∴＜B+＜π，0＜sin（B+）≤1，∴sinB+sinC的最大值為．19.(選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）；以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓的極坐標(biāo)方程為．由直線上的點向圓引切線，求切線長的最小值．參考答案：考點：直線的參數(shù)方程和圓的極坐標(biāo)方程，圓的切線長.

略20.如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為矩形，為中點，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.參考答案：（Ⅰ）設(shè)與的交點為，連結(jié).因為為矩形，所以為的中點.在中，由已知為中點，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）在中，，，所以，即.因為平面平面，平面平面，，所以平面，故.又因為，平面，所以平面，故就是直線與平面所成的角.在直角中，，所以.即直線與平面所成角的正弦值為.21.已知函數(shù),其中

（1）

當(dāng)滿足什么條件時,取得極值?（2）

已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.參考答案：解析:

(1)由已知得,令,得,要取得極值,方程必須有解,所以△,即,

此時方程的根為,,所以

當(dāng)時,x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f’(x)＋0－0＋f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在x1,x2處分別取得極大值和極小值.當(dāng)時,x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f’(x)－0＋0－f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以在x1,x2處分別取得極大值和極小值.綜上,當(dāng)滿足時,取得極值.

(2)要使在區(qū)間上單調(diào)遞增,需使在上恒成立.即恒成立,

所以設(shè),,令得或(舍去),

當(dāng)時,,當(dāng)時,單調(diào)增函數(shù);當(dāng)時,單調(diào)減函數(shù),所以當(dāng)時,取得最大,最大值為.所以當(dāng)時,,此時在區(qū)間恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)時最大,最大值為,所以綜上,當(dāng)時,;

當(dāng)時,

【命題立意】:本題為三次函數(shù),利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值,函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號確定,從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立,再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值.運用函數(shù)與方程的思想,化歸思想和分類討論的思想解答問題.22.已知橢圓：的左焦點為，離心率.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線交橢圓C于A，B兩點.（i）若直線經(jīng)過橢圓C的左焦點F，交y軸于點P，且滿足，.求證：為定值；（ii）若（O為原點），求面積的取值范圍.參考答案：由題設(shè)知，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

………………2分①由題設(shè)知直線斜率存在，設(shè)直線方程為則.設(shè)，直線代入橢圓得

………………4分由，知

………………5分