黑龍江省哈爾濱市奔賽中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，PQ是的角平分線，過點(diǎn)作PQ的垂線，垂足為Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A.定值a B.定值bC.定值c D.不確定，隨P點(diǎn)位置變化而變化參考答案：A【分析】先畫出雙曲線和焦點(diǎn)三角形，由題意可知PQ是TF1的中垂線，再利用雙曲線的定義，數(shù)形結(jié)合即可得結(jié)論．【詳解】依題意如圖，延長(zhǎng)F1Q，交PF2于點(diǎn)T，∵PQ是∠F1PF2的角分線．TF1是PQ的垂線，∴PQ是TF1的中垂線，∴|PF1|＝|PT|，∵P為雙曲線1上一點(diǎn)，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|TF2|＝2a，在三角形F1F2T中，QO是中位線，∴|OQ|＝a．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的運(yùn)用以及雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的意義，解題時(shí)要善于運(yùn)用曲線定義，數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中檔題．2.設(shè)a∈R，若（a﹣i）2i（i為虛數(shù)單位）為正實(shí)數(shù)，則a=(

) A．2 B．1 C．0 D．﹣1參考答案：B考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本概念．專題：計(jì)算題．分析：化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)到最簡(jiǎn)形式，由題意知，此復(fù)數(shù)的實(shí)部大于0，虛部等于0，解出a的值．解答： 解：∵（a﹣i）2i=（a2﹣1﹣2ai）i=2a+（a2﹣1）i為正實(shí)數(shù)，∴2a＞0，且（a2﹣1）=0，∴a=1，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法，復(fù)數(shù)為正實(shí)數(shù)的條件．3.設(shè)命題p：{x||x|＞1}；命題q：{x|x2+2x–3＞0}，則是的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．即不充分也不必要條件參考答案：解析：由|x|＞1得p：A={x|x>1或x<-1},又由x2+2x–3＞0得q：B={x|x>1或x<-3}；顯然B是A的真子集，故q是p的充分不必要條件，從而是的充分不必要條件，故應(yīng)選A.4.已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程是，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，且△FAB是等邊三角形，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是A. B. C. D.參考答案：D5.已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是（） A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a(chǎn)≤﹣2 D．a(chǎn)＜0參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題． 【分析】由函數(shù)f（x）上R上的增函數(shù)可得函數(shù)，設(shè)g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，則可知函數(shù)g（x）在x≤1時(shí)單調(diào)遞增，函數(shù)h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，且g（1）≤h（1），從而可求 【解答】解：∵函數(shù)是R上的增函數(shù) 設(shè)g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1） 由分段函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]單調(diào)遞增，函數(shù)h（x）=在（1，+∞）單調(diào)遞增，且g（1）≤h（1） ∴ ∴ 解可得，﹣3≤a≤﹣2 故選B 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，反比例函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，主要分段函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用中，不要漏掉g（1）≤h（1） 6.已知點(diǎn)F1、F2是雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且滿足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）A．（1，+∞） B．[，+∞） C．（1，] D．（1，]參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由直角三角形的判定定理可得△PF1F2為直角三角形，且PF1⊥PF2，運(yùn)用雙曲線的定義，可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，再由勾股定理，即可得到c≤a，運(yùn)用離心率公式，即可得到所求范圍．【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，即有△PF1F2為直角三角形，且PF1⊥PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由雙曲線定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，即有（|PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2，化為（|PF2|+a）2=2c2﹣a2，即有2c2﹣a2≤4a2，可得c≤a，由e=可得1＜e≤，故選：C．7.如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在區(qū)間上的圖像，為了得到這個(gè)函數(shù)的圖像，只要將y＝sinx(x∈R)的圖像上所有的點(diǎn)()A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變參考答案：A略8.已知a，b，cR，若，且，則下列結(jié)論成立的是（

）A．a(chǎn)，b，c同號(hào)

B．b，c同號(hào)，a與它們異號(hào)C．b，c同號(hào)，a不能確定

D．a(chǎn)，b，c的符號(hào)都不能確定參考答案：A9.若等邊的邊長(zhǎng)為，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則(

)A.

B.

C．

D．參考答案：C10.若x，y滿足約束條件，則的取值范圍是A.(－∞,2]

B.[2,3]

C.[3,+∞)

D.[2,+∞)參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量夾角為

，且

；則___

___.參考答案：因?yàn)橄蛄康膴A角為，所以，所以，即，所以，解得。12.已知三棱錐A﹣BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB為球O的直徑，若該三棱錐的體積為，BC=2，BD=，∠CBD=90°，則球O的表面積為_________．參考答案：13.已知，，則

.參考答案：14.若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且,則

.參考答案：50

15.已知二次函數(shù)，不等式的解集的區(qū)間長(zhǎng)度為6(規(guī)定：閉區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度為)，則實(shí)數(shù)m的值是_______.參考答案：【分析】根據(jù)題意的解集為，分析可得和是方程的兩根，將二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系與相結(jié)合，可得的值．【詳解】根據(jù)題意的解集為，則和是方程即的兩根，則，，不等式的解集的區(qū)間長(zhǎng)度為6，即，則有，解可得，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，涉及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．16.（理）一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家,若每家人坐在一起,則不同的坐法種數(shù)為

參考答案：(3!)417.在極坐標(biāo)系中，圓的圓心到直線的距離

為

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在中，已知內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，向量，,且（I）求銳角B的大?。?/p>

（II）如果，求的面積的最大值。參考答案：（1）

（2）三角形的面積最大值為19.（本小題滿分12分）

設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn，且Tn+=λ（λ為常數(shù)），令cn=b2n，（n∈N?）.求數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和Rn.

參考答案：：（1）由S4=4S2，a2n=2an+1，｛an｝為等差數(shù)列，可得，所以（2）由Tn+=λ可得，，Tn-1+=λ兩式相減可得，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，cn=b2n=，錯(cuò)位相減法可得，Rn=當(dāng)時(shí)，cn=b2n=，可得Rn=20.已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax，a＞0．（1）記f（x）的極小值為g（a），求g（a）的最大值；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值g（a）的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（a）的最大值即可；（2）通過討論x的范圍，問題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（a）的范圍即可．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是（﹣∞，+∞），f'（x）=ex﹣a，令f'（x）＞0，得x＞lna，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（lna，+∞）；令f'（x）＜0，得x＜lna，所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，lna），函數(shù)f（x）在x=lna處取極小值，…g'（a）=1﹣（1+lna）=﹣lna，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g'（a）＞0，g（a）在（0，1）上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞1時(shí)，g'（a）＜0，g（a）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以a=1是函數(shù)g（a）在（0，+∞）上唯一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以g（a）max=g（1）=1…（2）當(dāng)x≤0時(shí)，a＞0，ex﹣ax≥0恒成立，…當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥0，即ex﹣ax≥0，即…令，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＞0，故h（x）的最小值為h（1）=e，所以a≤e，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，e]…f（a）=ea﹣e2，a∈（0，e]，f'（a）=ea﹣2a，由上面可知ea﹣2a≥0恒成立，故f（a）在（0，e]上單調(diào)遞增，所以f（0）=1＜f（a）≤f（e）=ee﹣e2，即f（a）的取值范圍是（1，ee﹣e2]…21.設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋ax－lnx（a∈R）．（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的極值；（Ⅱ）當(dāng)a≥2時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性．參考答案：略22.為了了解校園噪音情況，學(xué)校環(huán)保協(xié)會(huì)對(duì)校園噪音值（單位：分貝）進(jìn)行了50天的監(jiān)測(cè)，得到如下統(tǒng)計(jì)表：噪音值（單位：分貝）[55,57](57,59](59,61](61,63](63,65](65,67]頻數(shù)14122085

（1）根據(jù)該統(tǒng)計(jì)表，求這50天校園噪音值的樣本平均數(shù)（同一組的數(shù)據(jù)用該組組間的中點(diǎn)值作代表）.（2）根據(jù)國家聲環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)：“環(huán)境噪音值超過65分貝，視為重度噪音污染；環(huán)境噪音值不超過59分貝，視為輕度噪音污染.”如果把由上述統(tǒng)計(jì)表算得的頻率視作概率，回答下列問題：（i）求周一到周五的五天中恰有兩天校園出現(xiàn)重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音污染的概率.（ii）學(xué)校要舉行為期3天的“漢字聽寫大賽”校園選拔賽，把這3天校園出現(xiàn)的重度噪音污染天數(shù)記為X，求X的分布列和方差.參考答案：(1)61.8；(2)(i);(ii)答案見解析.試題分析：根據(jù)該統(tǒng)計(jì)表，同一組的數(shù)據(jù)用該組組間的中點(diǎn)值作代表，可求這天校園噪音值的樣本平均數(shù)；（2）（i）由題意，“出現(xiàn)重度噪音污染”的概率為，“出