黑龍江省綏化市北辰高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖是函數(shù)的部分圖象，將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到g（x）的圖象，給出下列四個(gè)命題：①函數(shù)f（x）的表達(dá)式為；②g（x）的一條對(duì)稱軸的方程可以為；③對(duì)于實(shí)數(shù)m，恒有；④f（x）+g（x）的最大值為2．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)參考答案：B【分析】先根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)圖像的對(duì)稱性和輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)分析即可．【詳解】由圖象知，A＝2，，即T＝π，則＝π，得ω＝2，由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法得，則f（x）＝2sin（2x+），故①正確，當(dāng)x＝時(shí)，f（）＝2sinπ＝0，則函數(shù)關(guān)于x＝不對(duì)稱，故③錯(cuò)誤，將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到g（x）的圖象，即g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin2x，當(dāng)時(shí)，g（﹣）＝2sin（）＝﹣2為最小值，則是函數(shù)g（x）的一條對(duì)稱軸，故②正確，f（x）+g（x）＝2sin（2x+）+2sin2x＝2sinxcos+2cos2xsin+2sin2x＝3sin2x+cos2x＝2sin（2x+），則f（x）+g（x）的最大值為2，故④錯(cuò)誤，故正確的是①②，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的解析式以及三角函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式以及利用三角函數(shù)的對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵．

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)的是（）A．y=log2（x+5） B． C．y=﹣ D．y=﹣x參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】直接判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．【解答】解：y=log2（x+5）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，滿足題意．在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，不滿足題意．y=﹣在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，不滿足題意．y=﹣x區(qū)間（0，+∞）上是減數(shù)函數(shù)，不滿足題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．3.已知函數(shù)①②；③；④。其中對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量，都存在唯一的自變量，使

成立的函數(shù)為

A．①③④

B．②④

C．①③

D．③參考答案：D4.在中，角的對(duì)邊分別為，則“”是“是等腰三角形”的（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件

（C）充分必要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：A若，由正弦定理得，即，所以，即，所以，即，所以是等腰三角形。若是等腰三角形，當(dāng)時(shí)，不一定成立，所以“”是“是等腰三角形”的充分不必要條件，選A.5.點(diǎn)為雙曲線：和圓：的一個(gè)交點(diǎn)，且，其中為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C6.已知P(x,y)為橢圓上一點(diǎn),F為橢圓C的右焦點(diǎn),若點(diǎn)M滿足且,則的最小值為(

)A.

B.3

C.

D.1參考答案：A7.（5分）過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2﹣4y=0所截得的弦長(zhǎng)為（）A．B．2C．D．2參考答案：D【考點(diǎn)】：直線的傾斜角；直線和圓的方程的應(yīng)用．【專題】：計(jì)算題．【分析】：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓方程的應(yīng)用，由已知圓x2+y2﹣4y=0，我們可以將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，求出圓心坐標(biāo)和半徑，又直線由過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60°，得到直線的方程，再結(jié)合半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距滿足勾股定理，即可求解．解：將圓x2+y2﹣4y=0的方程可以轉(zhuǎn)化為：x2+（y﹣2）2=4，即圓的圓心為A（0，2），半徑為R=2，∴A到直線ON的距離，即弦心距為1，∴ON=，∴弦長(zhǎng)2，故選D．【點(diǎn)評(píng)】：要求圓到割線的距離，即弦心距，我們最常用的性質(zhì)是：半徑、半弦長(zhǎng)（BE）、弦心距（OE）構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，求出半徑和半弦長(zhǎng)，代入即可求解．8.設(shè),則使得為奇函數(shù),且在上單調(diào)遞減的的個(gè)數(shù)是(

)

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：A9.已知函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.參考答案：C【分析】求出兩個(gè)函數(shù)的值域，結(jié)合對(duì)任意，總存在，使，等價(jià)為的值域是值域的子集，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】對(duì)任意，則，即函數(shù)的值域?yàn)?，若?duì)任意，總存，使，設(shè)函數(shù)值域?yàn)锳，則滿足，即可，當(dāng)時(shí)，函數(shù)減函數(shù)，則此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，（紅色曲線），即時(shí)，滿足條件，②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，要使成立，則此時(shí)，此時(shí)滿足（藍(lán)色曲線），即，得，綜上或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，求出函數(shù)的值域，轉(zhuǎn)化為的值域是值域的子集，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．10.設(shè)函數(shù)，則=（

）A.13

B.19 C.37

D.49參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列四個(gè)命題：①“”是“”的必要不充分條件；②若，則函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；③函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是；④對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，．其中真命題的序號(hào)是（把所有真命題的序號(hào)都填上）．參考答案：①③④12.方程在上有四個(gè)不同的根，則___________．參考答案：4略13.函數(shù)的定義域?yàn)?，若且時(shí)總有，則稱為單函數(shù)．例如，函數(shù)是單函數(shù)．下列命題：①函數(shù)是單函數(shù)；②函數(shù)是單函數(shù)；③若為單函數(shù)，且，則；④函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上具有單調(diào)性，則一定是單函數(shù)．其中的真命題是_________．(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))參考答案：③14.已知拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，則此雙曲線的離心率為

.參考答案：15.若曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

參考答案：（1，0）16.已知橢圓C1與雙曲線C2有相同的焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)P是C1與C2的一個(gè)公共點(diǎn)，是一個(gè)以PF1為底的等腰三角形，C1的離心率為則C2的離心率為

參考答案：3

略17.已知點(diǎn)A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），則向量在方向上的投影為．參考答案：2【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】首先分別求出，的坐標(biāo)，然后利用向量的數(shù)量積公式求投影．【解答】解：由已知得到=（1，2），=（4，3），所以向量在方向上的投影為==2；故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有向線段的坐標(biāo)表示以及利用向量的數(shù)量積求向量的投影；屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集為[0，4]，求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若?x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）﹣m2＜4m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法；絕對(duì)值三角不等式．【分析】（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集為[0，4]，可得，即可求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）根據(jù)第一步所化出的分段函數(shù)求出函數(shù)f（x）的最小值，若?x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）﹣m2＜4m成立，只需4m+m2＞fmin（x），解出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣a|≤2，∴a﹣2≤x≤a+2，∵f（x）≤2的解集為[0，4]，∴，∴a=2．（Ⅱ）∵f（x）+f（x+5）=|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，∵?x0∈R，使得，即成立，∴4m+m2＞[f（x）+f（x+5）]min，即4m+m2＞5，解得m＜﹣5，或m＞1，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．19.已知函數(shù)（）.（Ⅰ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)P（1，）處的切線的傾斜角為，求在上的最小值；（Ⅱ）若存在，使，求a的取值范圍．參考答案：解：（I）

………….……………1分 根據(jù)題意，

…3分

此時(shí)，,則.

令-+↘↗………………………….6分

∴當(dāng)時(shí)，最小值為.………7分

（II） ①若上單調(diào)遞減. 又 …………..10分

綜上，的取值范圍是.

略20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(為實(shí)常數(shù)).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的值;(2)當(dāng)時(shí),討論方程根的個(gè)數(shù).(3)若,且對(duì)任意的,都有,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：(1),當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,又,故,當(dāng)時(shí),取等號(hào)

(2)易知,故,方程根的個(gè)數(shù)等價(jià)于時(shí),方程根的個(gè)數(shù).設(shè)=,當(dāng)時(shí),,函數(shù)遞減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)遞增.又,,作出與直線的圖像,由圖像知:當(dāng)時(shí),即時(shí),方程有2個(gè)相異的根;當(dāng)或時(shí),方程有1個(gè)根;當(dāng)時(shí),方程有0個(gè)根;

(3)當(dāng)時(shí),在時(shí)是增函數(shù),又函數(shù)是減函數(shù),不妨設(shè),則等價(jià)于即,故原題等價(jià)于函數(shù)在時(shí)是減函數(shù),恒成立,即在時(shí)恒成立.在時(shí)是減函數(shù)

21.(本題滿分12分)若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中為正整數(shù)．（Ⅰ）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中“平方遞推數(shù)列”的前項(xiàng)積為，即，求；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求使的的最小值．參考答案：（Ⅰ）由題意得：，即，則是“平方遞推數(shù)列”．

……………2分對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知

……………5分

……8分(Ⅲ）

………………9分

……10分又，即

…11分又，所以．

…………………12分22.已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+sin2x+（x∈R）．（Ⅰ）當(dāng)x∈[﹣，]時(shí)，求f（x）的最大值．（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且c=，f（C）=2，sinB=2sinA，求a．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【專題】方程思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；解三角形．【分析】（Ⅰ）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，根據(jù)x∈[﹣，]，求出2x﹣的范圍，從而求出f（x）的最大值；（Ⅱ）根據(jù)f（C）=2求出C的值，再由正弦、余弦定理，即可求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sinxcosx+sin2x+=sin2x++=sin2x﹣cos2x+1=sin（2x﹣）+1（x∈R），當(dāng)x∈