2023江蘇圓的綜合應用1.在平面直角坐標系xOy中，已知圓M經(jīng)過點A(1，0)，B(3，0)，C(0，1)．（1）求圓M的方程；（2）若直線l：mx－2y－(2m＋1)＝0與圓M交于點P，Q，且eq\o(MP,\s\up7(→))·eq\o(MQ,\s\up7(→))＝0，求實數(shù)m的值．1.解（1）方法（一）設圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{(\a\al(D＋F＋1＝0，,3D＋F＋9＝0，,E＋F＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\al(D＝－4，,E＝－4，,F＝3．))所以圓M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0．方法（二）線段AC的垂直平分線的方程為y＝x，線段AB的垂直平分線的方程為x＝2，由eq\b\lc\{(\a\al(y＝x，,x＝2，))解得M(2，2)．所以圓M的半徑r＝AM＝eq\r(5)，所以圓M的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5．（2）因為eq\o(MP,\s\up7(→))·eq\o(MQ,\s\up7(→))＝0，所以∠PMQ＝eq\f(π,2)．又由（1）得MP＝MQ＝r＝eq\r(5)，所以點M到直線l的距離d＝eq\f(eq\r(10),2)．由點到直線的距離公式可知，eq\f(|2m－4－2m－1|,eq\r(m2＋4))＝eq\f(eq\r(10),2)，解得m＝±eq\R(,6)．2.已知直線與圓相交于兩點，若，則．3.直線被圓截得的弦長為，則實數(shù)的值是．4.（蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研一）在平面直角坐標系中，已知過原點O的動直線與圓C:相交于不同的兩點A，B，若點A恰為線段OB的中點，則圓心C到直線的距離為.5.(南京鹽城一模)過點的直線與圓相交于兩點，若點恰好是線段的中點，則直線的方程為.6.（南通調(diào)研一）在平面直角坐標系中，點.若直線上存在點，使得：,則實數(shù)的取值范圍是【解析】法一：設滿足條件PA＝2PB的P點坐標為(x，y)，則(x－4)2+y2＝4(x－1)2+4y2，化簡得x2+y2＝4．要使直線x－y+m＝0有交點，則EQ\F(|m|,EQ\r(,2))≤2．即－2EQ\r(,2)≤m≤2EQ\r(,2)．法二：設直線x－y+m＝0有一點(x，x+m)滿足PA＝2PB，則(x－4)2+(x+m)2＝4(x－1)2+4(x+m)2．整理得2x2+2mx+m2－4＝0(*)方程(*)有解，則△＝4m2－8(m2－4)≥0，解之得：－2EQ\r(,2)≤m≤2EQ\r(,2)．7.在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x＋y－3＝0和圓M：x2＋(y－m)2＝8．若圓M上存在點P，使得P到直線l的距離為3eq\r(2)，則實數(shù)m的取值范圍是．[－7，1]∪[5，13]8.（蘇州期初）已知圓，點，過原點的直線（不與x軸重合）與圓O交于A，B兩點，則的外接圓的面積的最小值為9.（蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研二）若直線與圓始終有公共點，則實數(shù)的取值范圍是．10.（南京三模）在平面直角坐標系xOy中，圓M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，點N為圓M上任意一點．若以N為圓心，ON為半徑的圓與圓M至多有一個公共點，則a的最小值為．311.（南通二調(diào)）在平面直角坐標系中，過點的直線與圓相切于點，與圓相交于點，且，則正數(shù)的值為▲．412.（南京期初）在平面直角坐標系xOy中，A，B為x軸正半軸上的兩個動點，P（異于原點O）為y軸上的一個定點．若以AB為直徑的圓與圓x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒為定值，則線段OP的長為．eq\R(,3)13.（鹽城三模）已知線段的長為2，動點滿足（為常數(shù)），且點總不在以點為圓心，為半徑的圓內(nèi)，則負數(shù)的最大值是.14.（無錫期末）已知圓，線段EF在直線上運動，點P為線段EF上任意一點，若圓C上存在兩點A、B，使得，則線段EF長度的最大值是15.（南通三模）在平面直角坐標系中，圓，圓，若圓上存在點滿足：過點向圓作兩條切線切點為，的面積為1，則正數(shù)的取值范圍是.16.（蘇北三市三模）已知經(jīng)過點P(1，eq\f(3,2))的兩個圓C1，C2都與直線l1：y=eq\f(1,2)x，l2：y=2x相切，則這兩圓的圓心距C1C2等于．17.（南京鹽城二模）已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得∠APB＝60°，則實數(shù)a的取值范圍為．[2－eq\f(eq\r(2),2)，2＋eq\f(eq\r(2),2)]18.(揚州期末)已知圓：，若不過原點的直線與圓O交于、兩點，且滿足直線，，的斜率依次成等比數(shù)列，則直線的斜率為．19.(揚州期中)已知直線與圓相交于兩點，若，則圓的半徑．20.(揚州期中)已知定點，動點在單位圓上運動，以，為鄰邊作平行四邊形，則點到直線距離的取值范圍是．21.（蘇州期末）若直線和直線將圓分成長度相等的四段弧，則＝▲．1822.在平面直角坐標系x