2021-2022學(xué)年湖北省武漢市小集中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.程序框圖如圖21－1所示，則該程序運(yùn)行后輸出的B等于()圖21－1A．7

B．15C．31

D．63參考答案：D2.如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．參考答案：B略3.定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）使不等式xf'（x）＜4f（x）恒成立，其中f'（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)，則（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】令g（x）=，（x＞0），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出g（1）＞g（2），從而求出答案．【解答】解：令g（x）=，（x＞0），則g′（x）=，∵不等式xf'（x）＜4f（x）恒成立，∴xf'（x）﹣4f（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）遞減，故g（1）＞g（2），故＜16，故選：A．4.已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.已知為正整數(shù)，，實(shí)數(shù)滿足，若的最大值為，則滿足條件的數(shù)對(duì)的數(shù)目為（

）。

。參考答案：。因?yàn)椋?，于是有，因此。由于，得，其中的最大值?dāng)，時(shí)取到。又因?yàn)?，所以滿足條件的數(shù)對(duì)的數(shù)目為，選。6.給出下列說(shuō)法：①命題“若，則”的否命題是假命題；②命題，使＞1，則，≤1；③“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件；④命題“，使”，命題“在△ABC中，若＞，則A＞B”，那么命題為真命題。其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：B7.在一球內(nèi)有一邊長(zhǎng)為1的內(nèi)接正方體,一動(dòng)點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動(dòng),則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D8.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)時(shí)拋物線C上的一點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心與直線交于E，G兩點(diǎn)，若，則拋物線C的方程是（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】作，垂足為點(diǎn)，根據(jù)在拋物線上可得，再根據(jù)得到，結(jié)合前者可得，從而得到拋物線的方程.【詳解】畫(huà)出圖形如圖所示作，垂足為點(diǎn).由題意得點(diǎn)在拋物線上，則，得.①由拋物線的性質(zhì)，可知，因?yàn)?，所?所以，解得.

②，由①②，解得（舍去）或.故拋物線的方程是.故選C.【點(diǎn)睛】一般地，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.9.函數(shù)是上的可導(dǎo)函數(shù),時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.函數(shù)的圖象為，

①圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；

②函數(shù)在區(qū)間(－，)內(nèi)是增函數(shù)；

③由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度．

可以得到圖象．以上三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，若a=1,b=,

A+C=2B,則sinC=

.參考答案：1略12.若△ABC的內(nèi)角滿足sinA+sinB=2sinC，則cosC的最小值是．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到結(jié)論．【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．故答案為：．13.已知圓C的圓心與點(diǎn)P（﹣2，1）關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱(chēng)．直線3x+4y﹣11=0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=6，則圓C的方程為．參考答案：x2+（y+1）2=18【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】要求圓C的方程，先求圓心，設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)圓心與P關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱(chēng)得到直線PC垂直與y=x+1且PC的中點(diǎn)在直線y=x+1上分別列出方程①②，聯(lián)立求出a和b即可；再求半徑，根據(jù)垂徑定理得到|AB|、圓心到直線AB的距離及圓的半徑成直角三角形，根據(jù)勾股定理求出半徑．寫(xiě)出圓的方程即可．【解答】解：設(shè)圓心坐標(biāo)C（a，b），根據(jù)圓心與P關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱(chēng)得到直線CP與y=x+1垂直，而y=x+1的斜率為1，所以直線CP的斜率為﹣1即=﹣1化簡(jiǎn)得a+b+1=0①，再根據(jù)CP的中點(diǎn)在直線y=x+1上得到=+1化簡(jiǎn)得a﹣b﹣1=0②聯(lián)立①②得到a=0，b=﹣1，所以圓心的坐標(biāo)為（0，﹣1）；圓心C到直線AB的距離d==3，|AB|=3所以根據(jù)勾股定理得到半徑，所以圓的方程為x2+（y+1）2=18．故答案為：x2+（y+1）2=18【點(diǎn)評(píng)】此題是一道綜合題，要求學(xué)生會(huì)求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，靈活運(yùn)用垂徑定理及點(diǎn)到直線的距離公式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．會(huì)根據(jù)圓心和半徑寫(xiě)出圓的方程．14.設(shè)，實(shí)數(shù)，滿足若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：[－1,3]根據(jù)題意得可行域所圍成的三角形必在兩平行線和之間，由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是，填.

15.若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是

▲

.參考答案：16.若是純虛數(shù)，則=

參考答案：2011略17.已知一個(gè)平面與正方體的12條棱的夾角均為，那么為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分12分)現(xiàn)有6道題，其中4道甲類(lèi)題，2道乙類(lèi)題，張同學(xué)從中任取2道題解答，試求（1）所取的2道題都是甲類(lèi)題的概率；（2）所取的2道題不是同一類(lèi)題的概率。參考答案：（1）將4道甲類(lèi)題依次編號(hào)為1,2,3,4；2道乙類(lèi)題依次編號(hào)為5,6.任取2道題，基本事件為，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的用表示“都是甲類(lèi)題”這一事件，則包含的基本事件有，，，，,，共6個(gè)，所以(2)基本事件同（1），用表示“不是同一類(lèi)題”這一事件，則包含的基本事件有，，，，，，，，共8個(gè)，所以19.已知四棱錐如圖1所示，其三視圖如圖2所示，其中正視圖和側(cè)視圖都是直角三角形，俯視圖是矩形.（1）若E是PD的中點(diǎn)，求證：平面PCD；（2）求此四棱錐的表面積。參考答案：（1）證明：由三視圖可知，平面，∴

∵是正方形，∴

又，平面，平面∴平面，

∵平面，∴

又是等腰直角三角形，E為PD的中點(diǎn)，∴又，平面，平面∴平面.（2）解：由題意可知，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，其面積，高，所以

四棱錐的表面積

略20.（本小題滿分12分）醫(yī)生的專(zhuān)業(yè)能力參數(shù)可有效衡量醫(yī)生的綜合能力，越大，綜合能力越強(qiáng)，并規(guī)定:能力參數(shù)不少于30稱(chēng)為合格，不少于50稱(chēng)為優(yōu)秀.某市衛(wèi)生管理部門(mén)隨機(jī)抽取300名醫(yī)生進(jìn)行專(zhuān)業(yè)能力參數(shù)考核,得到如圖所示的能力的頻率分布直方圖:（Ⅰ）求出這個(gè)樣本的合格率、優(yōu)秀率;（Ⅱ）現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽出一個(gè)樣本容量為20的樣本,再?gòu)倪@20名醫(yī)生中隨機(jī)

選出2名.

①求這2名醫(yī)生的能力參數(shù)為同一組的概率;

②設(shè)這2名醫(yī)生中能力參數(shù)為優(yōu)秀的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和期望.參考答案：21.已知雙曲線:過(guò)點(diǎn),且離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)F作兩漸近線的垂線，垂足分別為M，N.（1）求雙曲線的方程；（2）求四邊形OMFN的面積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．參考答案：解：（1）因?yàn)?，所?，------------2分設(shè)雙曲線方程為∴雙曲線過(guò)點(diǎn)，則有，∴雙曲線方程為----------------5分（2）右焦點(diǎn)F到漸近線的距離，-----------9分，∴-----------12分 略22.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）證明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）取AB中點(diǎn)，連接OC，OA1，得出OC⊥AB，OA1⊥AB，運(yùn)用AB⊥平面OCA1，即可證明．（Ⅱ）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向建立坐標(biāo)系，可向量的坐標(biāo)，求出平面BB1C1C的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．【解答】（Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)，連接OC，OA1，∵CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°∴OC⊥AB，OA1⊥AB，∵OC∩OA1=O，∴AB⊥平面OCA1，∵CA1?平面OCA1，∴AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA