2021-2022學(xué)年福建省福州市長樂市第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合，集合，則集合與的關(guān)系是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線x+y﹣1=0對稱，則橢圓C的方程為（）A． B．C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由橢圓的離心率，求得b=c，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化成x2+2y2=2b2，求得右焦點(diǎn)關(guān)于直線x+y﹣1=0對稱的點(diǎn)，代入橢圓方程，即可求得b和a的值，求得橢圓方程．【解答】解：由橢圓的離心率e==，則a=c，由b2=a2﹣c2=c2，則b=c，則設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2，∴右焦點(diǎn)（b，0）關(guān)于l：y=﹣x+1的對稱點(diǎn)設(shè)為（x′，y′），則，解得，由點(diǎn)（1，1﹣b）在橢圓上，得1+2（1﹣b）2=2b2，b2=，a2=，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查點(diǎn)關(guān)于直線對稱的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．3.數(shù)列滿足，，記數(shù)列前n項(xiàng)的和為Sn，若對任意的恒成立，則正整數(shù)的最小值為

（

）A．10

B．9

C．8

D．7參考答案：A4.如果復(fù)數(shù)z=（b∈R）的實(shí)部和虛部相等，則|z|等于（）A．3B．2 C．3 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模．【分析】由已知條件利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，求出z=3+3i，由此能求出|z|．【解答】解：z====﹣i，∵復(fù)數(shù)z=（b∈R）的實(shí)部和虛部相等，∴，解得b=﹣9，∴z=3+3i，∴|z|==3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．5.已知以下三視圖中有三個(gè)同時(shí)表示某一個(gè)三棱錐，則不是該三棱錐的三視圖是A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.某教師一天上3個(gè)班級(jí)的課，每班一節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)、下午4節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5和第6節(jié)不算連上），那么這位教師一天的課的所有排法有A.474種

B.77種

C.462種

D.79種參考答案：A略7.（5分）若向量，滿足||=1，||=2且|2+|=2，則向量，的夾角為（）A．B．C．D．參考答案：B【考點(diǎn)】：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【專題】：平面向量及應(yīng)用．【分析】：把已知數(shù)據(jù)代入向量的模長公式可得cosθ的方程，解cosθ可得夾角．解：設(shè)向量，的夾角為θ，∵||=1，||=2且|2+|=2，∴4+4+=12，代入數(shù)據(jù)可得4+4×1×2×cosθ+4=12，解得cosθ=，∴θ=故選：B【點(diǎn)評(píng)】：本題考查向量的數(shù)量積與夾角，屬基礎(chǔ)題．8.對于集合，如果定義了一種運(yùn)算“”，使得集合中的元素間滿足下列4個(gè)條件：（?。加?；（ⅱ），使得對，都有；（ⅲ），，使得；（ⅳ），都有，則稱集合對于運(yùn)算“”構(gòu)成“對稱集”．下面給出三個(gè)集合及相應(yīng)的運(yùn)算“”：①，運(yùn)算“”為普通加法；②，運(yùn)算“”為普通減法；③，運(yùn)算“”為普通乘法．其中可以構(gòu)成“對稱集”的有(

)A①②

B①③

C②③

D①②③參考答案：B9.設(shè)（1+i）x=1+yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|x+yi|=（）A．1 B． C． D．2參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出x，y的值，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)模長的計(jì)算，根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出x，y的值是解決本題的關(guān)鍵．10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的A的值為（）A．7 B．15 C．29 D．31參考答案：B【考點(diǎn)】程序框圖．【專題】算法和程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的A，i的值，當(dāng)i=5時(shí)滿足條件i≥5，退出循環(huán)，輸出A的值為15．【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得A=0，i=1A=1，i=2不滿足條件i≥5，A=3，i=3，不滿足條件i≥5，A=7，i=4，不滿足條件i≥5，A=15，i=5，滿足條件i≥5，退出循環(huán)，輸出A的值為15．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確寫出每次循環(huán)得到的A，i的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，，設(shè)∥，若，則的值為

▲

．參考答案：略12.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，，成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，

，

，成等比數(shù)列．參考答案：解析：對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，，成等比數(shù)列．13.若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)，且f(3)＝1，則f(x)＝__________.參考答案：log3x.略14.已知函數(shù)=,則滿足不等式的的范圍是_

參考答案：略15.已知直線與平面區(qū)域C:的邊界交于A，B兩點(diǎn)，若，則的取值范圍是________.參考答案：不等式對應(yīng)的區(qū)域?yàn)椋驗(yàn)橹本€的斜率為1，由圖象可知，要使，則，即的取值范圍是。16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線y=﹣x+2與圓x2+y2=r2交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上一點(diǎn)C滿足=+則r=．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．專題：直線與圓．分析：設(shè)，由=+兩邊同時(shí)平方可求cosθ，結(jié)合θ的范圍及公式可求，結(jié)合三角函數(shù)及點(diǎn)到直線的距離公式可求圓心O到直線x+y﹣2=0的距離為d，進(jìn)而可求r解：由題意可得，=r設(shè)，θ∈[0，π]則==r2cosθ∵=+兩邊同時(shí)平方可得，=即×∴cosθ=∵，∴且cos∴=設(shè)圓心O到直線x+y﹣2=0的距離為d，則d=rcos=即∴r=故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓心的位置關(guān)系，三角函數(shù)知識(shí)的靈活的應(yīng)用是求解本題的關(guān)鍵．

17.一個(gè)直六棱柱的底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長為3，則它的外接球的表面積為．參考答案：25π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】直六棱柱的外接球的直徑為直六棱柱中最長的對角線，可得直六棱柱的外接球的直徑，即可求出外接球的體積．【解答】解：直六棱柱的外接球的直徑為直六棱柱中最長的對角線，∵一個(gè)直六棱柱的底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長為3，∴直六棱柱的外接球的直徑為5，∴外接球的半徑為，∴外接球的表面積為=25π．故答案為：25π．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，△PAC為等邊三角形，PE∥，M，

N分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足：．(1)求證：∥平面；(2)求l的值，使得平面ABC與平面MNC

所成的銳二面角的大小為45°.參考答案：方法一：(Ⅰ)證明：由，得MN∥PE，

又依題意PE∥BC，所以MN∥BC．因?yàn)槠矫?，平面，所?/平面．

…………6分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知MN∥BC，故C、B、M、N共面，平面ABC與平面MNC所成的銳二面角即N—CB—A．因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，且CB⊥AC，所以CB⊥平面PAC．故CB⊥CN，即知為二面角N—CB—A的平面角……10分所以．在△NCA中運(yùn)用正弦定理得，．ks5u所以，．

……14分方法二：(1)證明：如圖以點(diǎn)C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz，不妨設(shè)CA＝1，CB＝t（t>0），，則，，，，．由，得，

，．=(0，0，1)是平面的一個(gè)法向量，且，故．又因?yàn)镸N平面ABC，即知MN∥平面ABC．

(2)解：，，設(shè)平面CMN的法向量，則，，可取，又=(0，0，1)是平面的一個(gè)法向量．由，以及可得，即．解得（將舍去），故．

19.（本小題滿分14分）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，且它的離心率.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）與圓相切的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若橢圓上一點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為……………1分

由已知得：

解得

……………4分

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

……………5分

(Ⅱ)因?yàn)橹本€：與圓相切

所以，

……………6分

把代入并整理得：┈7分

設(shè)，則有

……………8分

因?yàn)?，，所以，?分

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，

……………10分

……………12分因?yàn)?/p>

所以

……………13分所以

，所以的取值范圍為

……………14分略20.在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2）之間的直角距離為L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，點(diǎn)A（x，1），B（1，2），C（5，2）（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范圍；（2）當(dāng)x∈R時(shí)，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】進(jìn)行簡單的合情推理．【分析】（1）根據(jù)定義寫出L（A，B），L（A，C）的表達(dá)式，最后通過解不等式求出x的取值范圍；（2）當(dāng)x∈R時(shí)，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立即當(dāng)x∈R時(shí)，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，運(yùn)用分離變量，即有t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，可用去絕對值的方法或絕對值不等式的性質(zhì)，求得右邊的最大值為4，令t不小于4即可．【解答】解：（1）由定義得|x﹣1|+1＞|x﹣5|+1，即|x﹣1|＞|x﹣5|，兩邊平方得8x＞24，解得x＞3，（2）當(dāng)x∈R時(shí)，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，也就是t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，法一：令函數(shù)f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣5|=，所以f（x）max=4，要使原不等式恒成立只要t≥4即可，故tmin=4．法二：運(yùn)用絕對值不等式性質(zhì)．因?yàn)閨x﹣1|﹣|x﹣5|≤|（x﹣1）﹣（x﹣5）|=4，所以t≥4，tmin=4．故t的最小值為：4．21.（本小題滿分12分）一個(gè)口袋中裝有大小形狀完全相同的個(gè)乒乓球，其中1個(gè)乒乓球上標(biāo)有數(shù)字1，2個(gè)乒乓球上標(biāo)有數(shù)字2，其余個(gè)乒乓球上均標(biāo)有數(shù)字3（），若從這個(gè)口袋中隨機(jī)地摸出2個(gè)乒乓球，恰有一個(gè)乒乓球上標(biāo)有數(shù)字2的概率是.（1）求的值；（2）從口袋中隨機(jī)地摸出2個(gè)乒乓球，設(shè)表示所摸到的2個(gè)乒乓球上所標(biāo)數(shù)字之積，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：(1)由題設(shè)，即，解得………4分(2)取值為2，3,4,6,9.

的分布列為：

23469=

………12分22.如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求證：AC⊥平面BDEF；（2）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．（3）求AF與平面BFC所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（1）要證AC⊥平面BDEF，只要證AC垂直于平面BDEF內(nèi)的兩條相交直線即可，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)FO，由已知FA=FC可得AC⊥FO，再由ABCD為菱形得到AC⊥BD，則由線面垂直的判定定理得到答案；（2）由OA，OB，OF兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，求出二面角A﹣FC﹣B的兩個(gè)面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案；（3）求出向量的坐標(biāo)，直接用向量與平面BFC的法向量所成角的余弦值求得AF與平面BFC所成角的正弦值．【解答】（1）證明：設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)FO．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD，且O為AC中點(diǎn)．又FA=FC，所以AC⊥FO．

因?yàn)镕O∩BD=O，所以AC⊥平面BDEF．

（2）解：因?yàn)樗倪呅蜝DEF為菱形，且∠DBF=60°，所以△D