2021-2022學(xué)年遼寧省鞍山市大營(yíng)子中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（

）A．

B．2

C．

D．參考答案：A考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的應(yīng)用.2.已知，若將它的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，求得函數(shù)g（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程．【解答】解：已知，若將它的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）=2sin（2x﹣+）=2sin（2x﹣）的圖象，令2x﹣=kπ+，可得x=+，k∈Z，故函數(shù)g（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程為x=，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題．3.函數(shù)的定義域?yàn)?

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.已知i為虛數(shù)單位，則的實(shí)部與虛部之積等于（）A． B． C．I

D．i參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】先對(duì)所給的復(fù)數(shù)分子分母同乘以1+i，再進(jìn)行化簡(jiǎn)整理出實(shí)部和虛部，即求出它們的乘積，【解答】解：∵==，∴所求的實(shí)部與虛部之積是．故選A．5.橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[－2，－1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是（

）參考答案：B略6.△ABC中，角A，B，C成等差數(shù)列是成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．

【專(zhuān)題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】根據(jù)等差數(shù)列和兩角和的正弦公式，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：若A，B，C成等差數(shù)列，則A+C=2B，∴B=60°，若，則sin（A+B）=，即sinAcosB+cosAsinB=，∴cosAsinB=cosAcosB，若cosA=0或tanB=，即A=90°或B=60°，∴角A，B，C成等差數(shù)列是成立的充分不必要條件．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及兩角和差的正弦公式是解決本題的關(guān)鍵．7.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|等于（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的應(yīng)用；拋物線的定義．【分析】線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，設(shè)A，B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離分別為d1，d2，由拋物線的定義知|AB|的值．【解答】解：由題設(shè)知知線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，設(shè)A，B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離分別為d1，d2，由拋物線的定義知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．故選D．8.在中，，,為邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則A. B. C. D.參考答案：A9.某網(wǎng)店出售一種餅干，共有草莓味、巧克力味、香蕉味、香芋味四種口味，一位顧客在該店購(gòu)買(mǎi)了兩袋這種餅干，“口味”選擇“隨機(jī)派送”，則這位顧客買(mǎi)到的兩袋餅干是同一種口味的概率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】利用等可能事件概率計(jì)算公式直接求解．【解答】解：某網(wǎng)店出售一種餅干，共有草莓味、巧克力味、香蕉味、香芋味四種口味，一位顧客在該店購(gòu)買(mǎi)了兩袋這種餅干，“口味”選擇“隨機(jī)派送”，基本事件總數(shù)n=4，這位顧客買(mǎi)到的兩袋餅干是同一種口味包含的基本事件個(gè)數(shù)m=1，∴這位顧客買(mǎi)到的兩袋餅干是同一種口味的概率是p==．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．10.設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在[a，b]上均可導(dǎo)，且f′（x）＜g′（x），則當(dāng)a＜x＜b時(shí)，有(

)A．f（x）＞g（x） B．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a） C．f（x）＜g（x） D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）參考答案：B【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】構(gòu)造函數(shù)，設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x），因?yàn)楹瘮?shù)f（x），g（x）在[a，b]上均可導(dǎo)，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在[a，b]上可導(dǎo)，并且F′（x）＜0，得到函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性得到F（a）＜F（x）＜F（b），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a），得到選項(xiàng)．【解答】解：設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x），因?yàn)楹瘮?shù)f（x），g（x）在[a，b]上均可導(dǎo)，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在[a，b]上可導(dǎo)，并且F′（x）＜0，所以F（x）在[a，b]上是減函數(shù)，所以F（a）＜F（x）＜F（b），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a），f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）；故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)，利用求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.具有性質(zhì)：的函數(shù)，我們稱(chēng)為滿足“倒負(fù)”交換的函數(shù)，下列函數(shù)：

①②③中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是

.參考答案：①③當(dāng)時(shí)，，所以①滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)。當(dāng)時(shí)，，所以②不滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以③滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，所以滿足條件的函數(shù)是①③。12.已知函數(shù)f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．當(dāng)2＜a＜3＜b＜4時(shí)，函數(shù)數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0∈(n，n＋1)，n∈N*，則n＝▲.參考答案：2略13.函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸的集合為

參考答案：由，得，即對(duì)稱(chēng)軸的集合為。14.函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)______參考答案：略15.農(nóng)業(yè)技術(shù)員進(jìn)行某種作物的種植密度試驗(yàn)，把一塊試驗(yàn)田劃分為8塊面積相等的區(qū)域（除了種植密度，其它影響作物生長(zhǎng)的因素都保持一致），種植密度和單株產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如下：

根據(jù)上表所提供信息，第_____號(hào)區(qū)域的總產(chǎn)量最大，該區(qū)域種植密度為_(kāi)____株/.參考答案：5，3.6

略16.若對(duì)滿足條件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：a【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；基本不等式．【分析】由基本不等式可得，x+y+3=xy≤，從而可求x+y的范圍，然后由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0得a恒成立，則只要a≤即可【解答】解：∵x＞0，y＞0∴x+y+3=xy≤∴x+y≥6由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0可得a恒成立令x+y=t，f（t）=t+在[6，+∞）上單調(diào)遞增，則當(dāng)t=6時(shí)f（t）min=f（6）=∴a≤故答案為：a≤17.已知，則=__________參考答案：0略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題13分）如圖，在四棱錐中，平面，，平分，為的中點(diǎn)，（1）證明：平面（2）證明：平面（3）求直線與平面所成角的正切值參考答案：①證明：設(shè)AC∩BD=H,連結(jié)EH，在△ADC中，因?yàn)锳D=CD，且DB平分∠ADC，所以H為AC的中點(diǎn)，又E為P的中點(diǎn)，故EH//PA又EH平面BDEPA平面BDE∴PA//平面BDE②證明：∵PD⊥平面ABCDAC平面ABCD，所以PD⊥AC由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D∴AC⊥平面PBD③解由AC⊥平面PBD可知，BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影，所以∠CBH為直線與平面PBD所成的角。由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2可得19.已知數(shù)列滿足：，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）試求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，試求的前項(xiàng)和公式.參考答案：（1）

（2）（1）

①

②②-①得

又∵時(shí)，

（2）

③④③-④得

整理得：20.已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，右焦點(diǎn)為F，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，過(guò)定點(diǎn)P（2，0）的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)交C于M，求證：∠PFM＝∠PFB．參考答案：（1）（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)出圓的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出b，利用離心率求出a，即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）依題意可知直線斜率存在，設(shè)方程，代入整理得，與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，.設(shè)，，直線，的斜率分別為，，利用韋達(dá)定理證明即可.【詳解】解：（1）依題意可設(shè)圓方程為，圓與直線相切，.，由解得，橢圓的方程為.（2）依題意可知直線斜率存在，設(shè)方程為，代入整理得，與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，，即.設(shè)，，直線，的斜率分別為，則，.，即.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的圓心與半徑的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．21.如圖，已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD為菱形，平面ABCD，，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)。

（Ⅰ）證明：AEPD；

（Ⅱ）若直線PB與平面PAD所成角的正弦值為，求二面角E—AF—C的余弦值。

參考答案：22.（16分）已知函數(shù)，（為常數(shù)）．函數(shù)定義為：對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)，（1）求對(duì)所有實(shí)數(shù)成立的充分必要條件（用表示）；（2）設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿足，且．若，求證：函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為（閉區(qū)間的長(zhǎng)度定義為）參考答案：解析：（1）由的定義可知，（對(duì)所有實(shí)數(shù)）等價(jià)于（對(duì)所有實(shí)數(shù)）這又等價(jià)于，即對(duì)所有實(shí)數(shù)均成立.

（*）由于的最大值為，故（*）等價(jià)于，即，這就是所求的充分必要條件（2）分兩種情形討論

（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知（對(duì)所有實(shí)數(shù)）則由及易知，再由的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)