2022年北京第四十三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)O是三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且，則△AOB與△AOC的面積之比為（

）

A．2

B．

C．1

D．參考答案：D略2.將個正整數(shù)、、、…、（）任意排成行列的數(shù)表.對于某一個數(shù)表,計算各行和各列中的任意兩個數(shù)、（）的比值,稱這些比值中的最小值為這個數(shù)表的“特征值”.當(dāng)時,數(shù)表的所有可能的“特征值”最大值為A．

B．

C．

D．參考答案：D3.球O的半徑為1，該球的一小圓O1上兩點(diǎn)A、B的球面距離為，則=

A．

B．

C．

D．參考答案：B略4.已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），則a+b=

（A）（1，1）

（B）（-1，-1）

（C）（1，-1）

（D）（-1，1）參考答案：D略5.若且則的值為（

）A．B．C．D．參考答案：C略6.設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，則“l(fā)⊥a，l⊥b”是“l(fā)⊥α”的(

)A．充要條件 B．充分而不必要的條件C．必要而不充分的條件 D．既不充分也不必要的條件參考答案：C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】常規(guī)題型．【分析】由題意a，b是平面α內(nèi)兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，若a∥b，l與a垂直，且斜交，推不出l一定垂直平面α，利用此對命題進(jìn)行判斷；【解答】解：∵a、b是平面α內(nèi)兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，“∵l⊥a，l⊥b”，若a∥b，l可以與平面α斜交，推不出l⊥α，若“l(fā)⊥α，∵a，b是平面α內(nèi)兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，∴l(xiāng)⊥a，l⊥b，∴“l(fā)⊥a，l⊥b”是“l(fā)⊥α”的必要而不充分的條件，故選C．【點(diǎn)評】此題以平面立體幾何為載體，考查了線線垂直和線面垂直的判定定了，還考查了必要條件和充分條件的定義，是一道基礎(chǔ)題．7.非零向量與，對于任意的的最小值的幾何意義為

.參考答案：8.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典名著，它在集合學(xué)中的研究比西方早1千年，在《九章算術(shù)》中，將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑，已知某“鱉臑”的三視圖如圖所示，則該鱉臑的外接球的表面積為（）A．200π B．50π C．100π D．π參考答案：B【考點(diǎn)】LR：球內(nèi)接多面體；L7：簡單空間圖形的三視圖．【分析】幾何體復(fù)原為底面是直角三角形，一條側(cè)棱垂直底面直角頂點(diǎn)的三棱錐，擴(kuò)展為長方體，長方體的對角線的長，就是外接球的直徑，然后求其的表面積．【解答】解：由三視圖復(fù)原幾何體，幾何體是底面是直角三角形，一條側(cè)棱垂直底面直角頂點(diǎn)的三棱錐；擴(kuò)展為長方體，也外接與球，它的對角線的長為球的直徑：=5該三棱錐的外接球的表面積為：=50π，故選B．10.已知函數(shù)，函數(shù)，若方程恰好有4個實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】當(dāng)時，，求導(dǎo)，由可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，然后在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與曲線的圖象求解.【詳解】當(dāng)時，，則，由，可得.當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因此，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與曲線的圖象如圖所示.若函數(shù)與恰好有4個公共點(diǎn)，則，即，解得.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列是正項等差數(shù)列，若，則數(shù)列也為等差數(shù)列.類比上述結(jié)論，已知數(shù)列是正項等比數(shù)列，若=

，則數(shù)列{}也為等比數(shù)列.36.參考答案：

由等差數(shù)列的的和，則等比數(shù)列可類比為﹒的積；對求算術(shù)平均值，所以對﹒求幾何平均值，所以類比結(jié)果為.12.已知函數(shù)f（x）＝，若f（x）存在零點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍是_______．

參考答案：略13.設(shè)互不相等的平面向量組，滿足：①；②，若，則的取值集合為

參考答案：{0,2,}【知識點(diǎn)】向量的加法向量的模F1解析：由題意知m最大值為4，當(dāng)m=2時，為以O(shè)A,OB為鄰邊的正方形的對角線對應(yīng)的向量，其模為，當(dāng)m=3時，，其模為2，當(dāng)m=4時，，其模為0，所以的取值集合為{0,2,}..【思路點(diǎn)撥】可先結(jié)合條件由m=2開始逐步分析所求向量的和向量，再求其模即可.14.函數(shù)的值域為________．參考答案：且，∴且，即值域為且．15.的計算可采用如圖所示的算法，則圖中①處應(yīng)填的條件是

。參考答案：n≤6？

16.正四棱錐的五個頂點(diǎn)在同一球面上，若該正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為，則這個球的表面積為_________.參考答案：17.已知，且，則當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是

．參考答案：

或

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.我們國家正處于老齡化社會中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有戶籍人口400萬，其中老人（年齡60歲及以上）人數(shù)約有66萬，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機(jī)抽取600人并委托醫(yī)療機(jī)構(gòu)免費(fèi)為他們進(jìn)行健康評估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級，并以80歲為界限分成兩個群體進(jìn)行統(tǒng)計，樣本分布被制作成如下圖表：（1）若采用分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取16人進(jìn)一步了解他們的生活狀況，則兩個群體中各應(yīng)抽取多少人？（2）估算該市80歲及以上長者占全市戶籍人口的百分比；（3）政府計劃為80歲及以上長者或生活不能自理的老人每人購買1000元/年的醫(yī)療保險，為其余老人每人購買600元/年的醫(yī)療保險，不可重復(fù)享受，試估計政府執(zhí)行此計劃的年度預(yù)算．參考答案：（1）抽取16人中不能自理的80歲及以上長者人數(shù)為6人，能自理的80歲及以上長者人數(shù)為10人（2）2.75%（3）約為4.51億元試題分析：（1）有圖表得到分層比例，得抽取16人中不能自理的80歲及以上長者人數(shù)為6人，能自理的80歲及以上長者人數(shù)為10人；（2）80歲及以上長者有：=11萬人，百分比為：=2.75%；（3）用樣本估計總體，年度預(yù)算約為4.51億元。試題解析：（1）數(shù)據(jù)整理如下表：健康狀況健康基本健康不健康尚能自理不能自理80歲及以上2045201580歲以下2002255025

從圖表中知不能自理的80歲及以上長者占比為：=故抽取16人中不能自理的80歲及以上長者人數(shù)為6人，能自理的80歲及以上長者人數(shù)為10人；

（2）在600人中80歲及以上長者在老人中占比為：=所以80歲及以上長者有：=11萬人用樣本估計總體，80歲及以上長者占戶籍人口的百分比為：=2.75%

（3）先計算抽樣的600人的預(yù)算，其中享受1000元/年的人數(shù)為14+25+20+45+20=125人，享受600元/年的人數(shù)為600﹣125=475人，預(yù)算為：125×1000+475×600=41×104元用樣本估計總體，全市老人的總預(yù)算為×41×104=4.51×108元:所以政府執(zhí)行此計劃的年度預(yù)算約為4.51億元19.已知橢圓C：的離心率為，F(xiàn)為該橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F任作一直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的最大值為4.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A，若直線AM，AN分別交直線于P，Q兩點(diǎn)，求證：.參考答案：解：（Ⅰ）依題意知：，，即；所求橢圓的方程：．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，；（?。┊?dāng)直線斜率不存在時，；直線；所以,同理；即；即；所以．（ⅱ）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線，，[來源:學(xué),科,網(wǎng)Z,X,X,K]由得：[來源:Z_xx_k.Com]即，，由三點(diǎn)共線得：，同理即,,∴即所以．20.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，圓和的參數(shù)方程分別是（為參數(shù)）和（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（Ⅰ）求圓和的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）射線：與圓交于點(diǎn)、，與圓交于點(diǎn)、，求的最大值．參考答案：解：（Ⅰ）圓和的普通方程分別是和，∴圓和的極坐標(biāo)方程為，．（Ⅱ）依題意得點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為，，∴，，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式取“”，取最大值是4．21.已知是公差不為零的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列。求數(shù)列的通項；求數(shù)列的前項和參考答案：（1）（舍）

（2）由等比數(shù)列求和公式，略22.已知橢圓C：的離心率為，長軸長為8.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）如圖所示，橢圓C的左頂點(diǎn)為D，右焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)的動直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求四邊形ADBF面積S的最大值.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)離心率和長軸長，結(jié)合，求得，由此求得橢圓的方程.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為