PAGEPAGE7直線與圓的方程的應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．一輛卡車寬1.6m，要經(jīng)過一個半圓形隧道(半徑為3.6m)，則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過()A．1.4m B．3.5mC．3.6m D．2.0m[答案]B[解析]圓半徑OA＝3.6，卡車寬1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝eq\r(3.62－0.82)≈3.5(m)．2．已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，則x2＋y2的最小值是()A．30－10eq\r(5) B．5－eq\r(5)C．5 D．25[答案]A[解析]eq\r(x2＋y2)為圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．圓心到原點(diǎn)的距離d＝eq\r(5)，半徑為5，所以最小值為(5－eq\r(5))2＝30－10eq\r(5).3．方程y＝－eq\r(4－x2)對應(yīng)的曲線是()[答案]A[解析]由方程y＝－eq\r(4－x2)得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的圖形是圓x2＋y2＝4在x軸上和以下的部分．4．y＝|x|的圖象和圓x2＋y2＝4所圍成的較小的面積是()A．eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(3π,2) D．π[答案]D[解析]數(shù)形結(jié)合，所求面積是圓x2＋y2＝4面積的eq\f(1,4).5．點(diǎn)P是直線2x＋y＋10＝0上的動點(diǎn)，直線PA、PB分別與圓x2＋y2＝4相切于A、B兩點(diǎn)，則四邊形PAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積的最小值等于()A．24 B．16C．8 D．4[答案]C[解析]∵四邊形PAOB的面積S＝2×eq\f(1,2)|PA|×|OA|＝2eq\r(OP2－OA2)＝2eq\r(OP2－4)，∴當(dāng)直線OP垂直直線2x＋y＋10＝0時，其面積S最?。?．臺風(fēng)中心從A地以每小時20km的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險地區(qū)，城市B在A的正東40km外，B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為()A．0.5h B．1hC．1.5h D．2h[答案]B[解析]建系后寫出直線和圓的方程，求得弦長為20千米，故處于危險區(qū)內(nèi)的時間為eq\f(20,20)＝1(h)．二、填空題7．已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2＝1，則eq\f(y＋2,x＋1)的取值范圍為__________________.[答案][eq\f(3,4)，＋∞)[思路圖解][解析]如圖所示，設(shè)P(x，y)是圓x2＋y2＝1上的點(diǎn)，則eq\f(y＋2,x＋1)表示過P(x，y)和Q(－1，－2)兩點(diǎn)的直線PQ的斜率，過點(diǎn)Q作圓的兩條切線QA，QB，由圖可知QB⊥x軸，kQB不存在，且kQP≥kQA．設(shè)切線QA的斜率為k，則它的方程為y＋2＝k(x＋1)，由圓心到QA的距離為1，得eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4).所以eq\f(y＋2,x＋1)的取值范圍是[eq\f(3,4)，＋∞)．[規(guī)律方法]若直線與圓相切，且點(diǎn)(x0，y0)在圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2外，則可設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，化成一般式kx－y＋y0－kx0＝0.因為直線與圓相切，所以有eq\f(|ka－b＋y0－kx0|,\r(k2＋1))＝r，由此解出k.若此方程有一個實根，則還有一條斜率不存在的切線，一定要加上．8．已知M＝{(x，y)|y＝eq\r(9－x2)，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，則實數(shù)b的取值范圍是________.[答案](－3,3eq\r(2)][解析]數(shù)形結(jié)合法，注意y＝eq\r(9－x2)，y≠0等價于x2＋y2＝9(y＞0)，它表示的圖形是圓x2＋y2＝9在x軸之上的部分(如圖所示)．結(jié)合圖形不難求得，當(dāng)－3＜b≤3eq\r(2)時，直線y＝x＋b與半圓x2＋y2＝9(y＞0)有公共點(diǎn)．三、解答題9.為了適應(yīng)市場需要，某地準(zhǔn)備建一個圓形生豬儲備基地(如右圖)，它的附近有一條公路，從基地中心O處向東走1km是儲備基地的邊界上的點(diǎn)A，接著向東再走7km到達(dá)公路上的點(diǎn)B；從基地中心O向正北走8km到達(dá)公路的另一點(diǎn)C．現(xiàn)準(zhǔn)備在儲備基地的邊界上選一點(diǎn)D，修建一條由D通往公路BC的專用線DE，求DE的最短距離．[分析]eq\x(\a\al(建立適當(dāng)?shù)?直角坐標(biāo)系))→eq\x(\a\al(求圓與直,線的方程))→eq\x(\a\al(利用直線與圓的,位置關(guān)系求解))[解析]以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過OB，OC的直線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則圓O的方程為x2＋y2＝1，因為點(diǎn)B(8,0)，C(0,8)，所以直線BC的方程為eq\f(x,8)＋eq\f(y,8)＝1，即x＋y＝8.當(dāng)點(diǎn)D選在與直線BC平行的直線(距BC較近的一條)與圓相切所成切點(diǎn)處時，DE為最短距離，此時DE的最小值為eq\f(|0＋0－8|,\r(2))－1＝(4eq\r(2)－1)km.[點(diǎn)評]若直線與圓相離，圓心到直線的距離為d，半徑長為r，則圓上一點(diǎn)到直線距離的最大值為d＋r，最小值為d－r.與已知直線平行的直線和圓相切所成的切點(diǎn)就是對應(yīng)取得最大值和最小值的點(diǎn)．規(guī)律總結(jié)：坐標(biāo)法是研究與平面圖形有關(guān)的實際問題的有效手段，因此要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用直線與圓的方程解決問題．建立平面直角坐標(biāo)系時要盡可能有利于簡化運(yùn)算，10．某圓拱橋的示意圖如圖所示，該圓拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造時，每隔3m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長．(精確到0.01m)[解析]如圖，以線段AB所在的直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，那么點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)分別為(－18,0)，(18,0)，(0,6)．設(shè)圓拱所在的圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因為A，B，P在此圓上，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(182－18D＋F＝0.,182＋18D＋F＝0，,62＋6E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝0，,E＝48，,F＝－324.))故圓拱所在的圓的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.將點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)x＝6代入上式，解得y＝－24＋12eq\r(6).答：支柱A2P2的長約為12eq\r(6)－24.[點(diǎn)評]在實際問題中，遇到有關(guān)直線和圓的問題，通常建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法解決．建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系應(yīng)遵循三點(diǎn)：①若曲線是軸對稱圖形，則可選它的對稱軸為坐標(biāo)軸；②常選特殊點(diǎn)作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；盡量使已知點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上．建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，會簡化運(yùn)算過程．能力提升一、選擇題1．已知圓C的方程是x2＋y2＋4x－2y－4＝0，則x2＋y2的最大值為()A．9 B．14C．14－6eq\r(5) D．14＋6eq\r(5)[答案]D[解析]圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝9，圓心為C(－2,1)，半徑為3.|OC|＝eq\r(5)，圓上一點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)的距離的最大值為3＋eq\r(5)，x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)的距離的平方，最大值為(3＋eq\r(5))2＝14＋6eq\r(5).2．方程eq\r(1－x2)＝x＋k有唯一解，則實數(shù)k的范圍是()A．k＝－eq\r(2) B．k∈(－eq\r(2)，eq\r(2))C．k∈[－1,1) D．k＝eq\r(2)或－1≤k<1[答案]D[解析]由題意知，直線y＝x＋k與半圓x2＋y2＝1(y≥0只有一個交點(diǎn)．結(jié)合圖形易得－1≤k<1或k＝eq\r(2).3．已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0.設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A．10eq\r(6) B．20eq\r(6)C．30eq\r(6) D．40eq\r(6)[答案]B[解析]圓心坐標(biāo)是(3,4)，半徑是5，圓心到點(diǎn)(3,5)的距離為1，根據(jù)題意最短弦BD和最長弦(即圓的直徑)AC垂直，故最短弦的長為2eq\r(52－12)＝4eq\r(6)，所以四邊形ABCD的面積為eq\f(1,2)×AC×BD＝eq\f(1,2)×10×4eq\r(6)＝20eq\r(6).4．在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為()A．eq\f(4,5)π B．eq\f(3,4)πC．(6－2eq\r(5))π D．eq\f(5,4)π[答案]A[解析]原點(diǎn)O到直線2x＋y－4＝0的距離為d，則d＝eq\f(4,\r(5))，點(diǎn)C到直線2x＋y－4＝0的距離是圓的半徑r，由題知C是AB的中點(diǎn)，又以斜邊為直徑的圓過直角頂點(diǎn)，則在直角△AOB中，圓C過原點(diǎn)O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小為eq\f(2,\r(5))，面積最小為eq\f(4π,5)，故選A．二、填空題5．某公司有A、B兩個景點(diǎn)，位于一條小路(直道)的同側(cè)，分別距小路eq\r(2)km和2eq\r(2)km，且A、B景點(diǎn)間相距2km，今欲在該小路上設(shè)一觀景點(diǎn)，使兩景點(diǎn)在同時進(jìn)入視線時有最佳觀賞和拍攝效果，則觀景點(diǎn)應(yīng)設(shè)于________.[答案]B景點(diǎn)在小路的投影處[解析]所選觀景點(diǎn)應(yīng)使對兩景點(diǎn)的視角最大．由平面幾何知識，該點(diǎn)應(yīng)是過A、B兩點(diǎn)的圓與小路所在的直線相切時的切點(diǎn)，以小路所在直線為x軸，過B點(diǎn)與x軸垂直的直線為y軸上建立直角坐標(biāo)系．由題意，得A(eq\r(2)，eq\r(2))、B(0,2eq\r(2))，設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝b2.由A、B在圓上，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4\r(2)，,b＝5\r(2)，))由實際意義知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝\r(2).))∴圓的方程為x2＋(y－eq\r(2))2＝2，切點(diǎn)為(0,0)，∴觀景點(diǎn)應(yīng)設(shè)在B景點(diǎn)在小路的投影處．6．設(shè)集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，若存在實數(shù)t，使得A∩B≠?，則實數(shù)a的取值范圍是________.[答案][0，eq\f(4,3)][解析]首先集合A，B實際上是圓上的點(diǎn)的集合，即A，B表示兩個圓，A∩B≠?說明這兩個圓相交或相切(有公共點(diǎn))，由于兩圓半徑都是1，因此兩圓圓心距不大于半徑之和2，即eq\r(t－42＋at－22)≤2，整理成關(guān)于t的不等式：(a2＋1)t2－4(a＋2)t＋16≤0，據(jù)題意此不等式有實解，因此其判別式不小于零，即Δ＝16(a＋2)2－4(a2＋1)×16≥0，解得0≤a≤eq\f(4,3).三、解答題7.如圖，已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達(dá)，其監(jiān)測范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼，速度為28km/h.問：這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時間多長？(要求用坐標(biāo)法)[解析]如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，東西方向為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A(40,0)，B(0,30)，圓O方程x2＋y2＝252.直線AB方程：eq\f(x,40)＋eq\f(y,30)＝1，即3x＋4y－120＝0.設(shè)O到AB距離為d，則d＝eq\f(|－120|,5)＝24<25，所以外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到．設(shè)監(jiān)測時間為t，則t＝eq\f(2\r(252－242),28)＝eq\f(1,2)(h)答：外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到，時間是0.5h.8．有一種大型商品，A、B兩地均有出售且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品運(yùn)回來，每公里的運(yùn)費(fèi)A地是B地的兩倍，若A、B兩地相距10km，顧客選擇A地或B地購買這種商品的運(yùn)費(fèi)和價格的總費(fèi)用較低，那么不同地點(diǎn)的居民應(yīng)如何選擇購買此商品的地點(diǎn)？[解析]以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐