第二節(jié)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性判別法

第七章（Interrogateofconstanttermseries）一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂四、小結(jié)與思考練習(xí)2/4/20231一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法若定理1正項(xiàng)級數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項(xiàng)級數(shù).單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”(Interrogateofpositivetermseries)2/4/202322/4/20233證

根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是收斂的．2/4/20234(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因?yàn)閷σ磺卸{(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,例2討論p級數(shù)2/4/20235因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級數(shù)的部分和故強(qiáng)級數(shù)收斂,由比較審斂法知p級數(shù)收斂.時,2)若2/4/20236解

2/4/20237則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)l=

0(3)當(dāng)l=∞設(shè)兩正項(xiàng)級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞時,定理3(比較審斂法的極限形式)2/4/20238解

2/4/202392/4/2023102/4/2023112/4/202312設(shè)為正項(xiàng)級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知定理4比值審斂法(D’Alembert判別法)2/4/202313因此所以級數(shù)發(fā)散.時說明:

當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.從而(2)當(dāng)2/4/2023142/4/2023152/4/202316對任意給定的正數(shù)設(shè)為正項(xiàng)級則證明提示:即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.數(shù),且定理5根值審斂法(Cauchy判別法)2/4/202317時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.說明:2/4/2023182/4/202319二、交錯級數(shù)及其審斂法則各項(xiàng)符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定理6(Leibnitz

判別法)若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,且其和其余項(xiàng)滿足(Interrogateofstaggeredseries)2/4/202320證:是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S,且故2/4/202321收斂收斂收斂上述級數(shù)各項(xiàng)取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:2/4/202322三、絕對收斂與條件收斂定義對任意項(xiàng)級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,則稱原級收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對收斂.例如：絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂.(Absoluteconvergenceandconditionalconvergence)2/4/202323證:設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令定理7絕對收斂的級數(shù)一定收斂.2/4/202324證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.例11證明下列級數(shù)絕對收斂

:（補(bǔ)充題）2/4/202325(2)令因此收斂,絕對收斂.2/4/2023262/4/202327其和分別為*定理8絕對收斂級數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和.*定理9

(絕對收斂級數(shù)的乘法)則對所有乘積按任意順序排列得到的級數(shù)也絕對收斂,設(shè)級數(shù)與都絕對收斂,其和為絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)具有完全不同的性質(zhì).說明:條件收斂級數(shù)不具有這兩條性質(zhì).2/4/202328內(nèi)容小結(jié)1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2.利用正項(xiàng)級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限2/4/202329為收斂級數(shù)Leibniz判別法:則交錯級數(shù)收斂概念:絕對收斂條件收斂3.任意項(xiàng)級數(shù)審斂法2/4/202330課外練習(xí)習(xí)題7－21-8思考練習(xí)1、設(shè)正項(xiàng)級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.2/4/202