第一講什么是數(shù)學(xué)建模玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號(hào)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1

從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型我們常見(jiàn)的模型你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型——“航行問(wèn)題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船的速度是多少?x=20y=5求解航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟

作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號(hào)表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；

回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模1.2

數(shù)學(xué)建模的重要意義

電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；

數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，越來(lái)越受到人們的重視。

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開(kāi)辟了許多處女地。數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計(jì)

預(yù)報(bào)與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼女孩子都愛(ài)美，你知道你穿鞋跟多高的鞋子看起來(lái)最美嗎？1.3.1

高跟鞋問(wèn)題1.3

數(shù)學(xué)建模示例穿高跟鞋是為了身高在視覺(jué)上得到增加，但是身高越高看起來(lái)越美嗎？理解問(wèn)題合理化假設(shè)由黃金分割原理，我們不妨假定，當(dāng)人的下肢和身高的比為0.618時(shí)，看起來(lái)最美。設(shè)某人身高為h厘米，下肢長(zhǎng)l厘米，高跟鞋的鞋跟為x厘米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題穿上高跟鞋后，身高為h+x厘米，下肢長(zhǎng)l+x厘米。得到一個(gè)關(guān)于x的一次方程：?jiǎn)栴}的求解解該一次方程，得：?jiǎn)栴}的檢驗(yàn)以身高168CM，下肢長(zhǎng)為102CM的人為例，其所穿鞋的鞋跟高度與好看程度的關(guān)系可由下表說(shuō)明：原比(l/h)身高(cm)鞋跟高度(cm)新比值０.６０７１０.６０７１０.６０７１０.６０７１１６８１６８１６８１６８２.５３.５５４.５４.７７４８０.６１２９０.６１５１０.６１７３０.６１８問(wèn)題的檢驗(yàn)又如，按照上述模型，身高153CM，下肢長(zhǎng)為92CM的女士，應(yīng)穿鞋跟高為6.6CM的高跟鞋顯得比較美。評(píng)價(jià)和應(yīng)用由此看來(lái)，女孩們愛(ài)穿高跟鞋是有科學(xué)依據(jù)的，也使人聯(lián)想到為什么人們觀看芭蕾舞的時(shí)候有一種美的感受，可當(dāng)你看踩高翹表演時(shí)就沒(méi)有這種感覺(jué)。這下女生知道應(yīng)該如何選擇合適的高跟鞋了吧！1.3.2

烏鴉能喝到水嗎？小學(xué)課文：一只烏鴉口渴了，到處找水喝。烏鴉看見(jiàn)一個(gè)瓶子，瓶子里有水?？墒瞧孔永锼欢?，瓶口又小，烏鴉喝不著水，怎么辦呢？烏鴉看見(jiàn)旁邊有許多小石子，想出辦法來(lái)了。烏鴉把小石子一個(gè)一個(gè)地放進(jìn)瓶子里。瓶子里的水漸漸升高，烏鴉就喝著水了?？墒?，烏鴉真的能喝到水嗎？理解問(wèn)題不難想象，當(dāng)烏鴉把各種各樣的小石子扔到瓶子里時(shí)，石子之間是不可能沒(méi)有空隙的。如果石子之間的空隙較大，而瓶子里的水又較少，那么烏鴉即使將瓶子填滿也無(wú)法喝到水。那么瓶子里到底應(yīng)當(dāng)有多少水，烏鴉才能喝到水呢？顯然水的體積大于空隙的體積，烏鴉才能喝到水。因此我們可以從幾何體積計(jì)算的角度，重新認(rèn)識(shí)烏鴉喝水問(wèn)題。合理化假設(shè)

顯然該問(wèn)題與瓶子和石子的形狀及其排列方式有關(guān)，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)我們假設(shè)：瓶子是正方體的且不考慮瓶口的體積。烏鴉投進(jìn)的石子是大小相同的球體。瓶子中擺放的方法如圖1所示圖1瓶子的邊長(zhǎng)是石子直徑的整數(shù)倍，不妨設(shè)為n倍（顯然，如果不是整數(shù)倍的話，那石子間的空隙會(huì)更大，不利于烏鴉喝到水）石頭內(nèi)部滲進(jìn)的水忽略不計(jì)。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題一個(gè)邊長(zhǎng)為n*a的正方體中放入n3個(gè)邊長(zhǎng)為a的球，求其空隙部分的體積占總體積的比例。問(wèn)題的求解下面我們首先證明球體的大小與球體占據(jù)正方體空間的總和無(wú)關(guān)，為此我們?cè)O(shè)瓶中僅放入一個(gè)最大的球體（假如能放入的話）如圖2所示。

圖2由于圖1中有n3個(gè)小正方體，而每個(gè)小正方體與圖2的情況相同，每個(gè)小球都內(nèi)切于一個(gè)小正方體。

設(shè)大立方體的體積為V，其內(nèi)切球體積為V球，小立方體的體積為Vi，小球的體積為Vi球，顯然：

由等比定理得：

由此可知球的大小與所占空間總和無(wú)關(guān)，于是容易計(jì)算出球體所占空間體積與瓶子體積比為：即空隙部分的體積與瓶子體積比約為48%。這表明，按上述條件，當(dāng)瓶中的水不足瓶子容積的48%時(shí)，烏鴉將難以喝到水。評(píng)價(jià)和應(yīng)用假如烏鴉聰明得很，能使石子彼此之間挨得更緊密些，那么空隙部分也得占瓶子1/3左右（只是計(jì)算麻煩些，讀者可舉一實(shí)例驗(yàn)證之）上述計(jì)算僅對(duì)特殊情況的一種粗略計(jì)算，但這也實(shí)在難為烏鴉了，不過(guò)這不能不使我們考慮這樣一個(gè)事實(shí)，在日常生活中，應(yīng)當(dāng)怎樣地充分利用空間，減少浪費(fèi)，獲得更高的效益，這正是數(shù)學(xué)所需要解決的問(wèn)題。

數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究(CaseStudies)來(lái)學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)1.4

數(shù)學(xué)建模的方法和步驟

數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問(wèn)題’模型假設(shè)針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具

數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐1.5

數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進(jìn)性模型的強(qiáng)健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)……數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)……表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機(jī)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)數(shù)學(xué)建模與其說(shuō)是一門(mén)技術(shù)，不如說(shuō)是一門(mén)藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無(wú)法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想像力洞察力判斷力

學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)別人作過(guò)的模型

親自動(dòng)手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際題目1.6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模

1985年美國(guó)出現(xiàn)了一種叫MCM(MathematicalContestinModeling)的一年一度的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽?？碱}由工業(yè)或政府部門(mén)工作的數(shù)學(xué)家提出，從中選擇沒(méi)有固定范圍的實(shí)際問(wèn)題。比賽時(shí)間3天，要求在3天的持續(xù)時(shí)間內(nèi)參賽隊(duì)要以有清楚定義的格式寫(xiě)出解法論文。參賽隊(duì)可以使用包括計(jì)算機(jī)、軟件包、書(shū)、雜志等一切外部資源。我國(guó)大學(xué)生1989年開(kāi)始參加美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽；我校2011年開(kāi)始參加美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。1.7

大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽競(jìng)賽每年九月舉行，在指定網(wǎng)站公布競(jìng)賽題，參賽選手屆時(shí)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)下載并完成題目。三人一組報(bào)名參加，72小時(shí)合作完成一個(gè)題目。共四題，本科A、B中選1題，?？艭,D中選1題。解答過(guò)程寫(xiě)成論文提交。一般要用計(jì)算機(jī)軟件編寫(xiě)程序計(jì)算出結(jié)果?？梢圆殚唸D書(shū)及網(wǎng)絡(luò)等資料，但要保證自己的獨(dú)創(chuàng)性，不能與他人雷同。

我國(guó)高校于1990年在上海舉辦上海市大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽；西安1992年4月舉辦西安市第一屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽；1992年11月舉行全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽；以后每年舉辦一次。我校從1994年開(kāi)始參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。

這三人中必須一人數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好；一個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件（如Matlab,londo,maple等）和編程（如C，Matlab等）的能力較強(qiáng)；一個(gè)科技論文寫(xiě)作的水平較好；科技論文的寫(xiě)作要求整篇論文的結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，語(yǔ)言要有邏輯性，用詞要準(zhǔn)確；三人之間要能夠配合默契。三人之間配合不好，會(huì)降低效率，導(dǎo)致整個(gè)建模的失敗。根據(jù)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程，三人組成一隊(duì)1.摘要2.問(wèn)題的敘述，問(wèn)題的分析，背景的分析等，

3.模型的假設(shè)，符號(hào)說(shuō)明（表）4.模型的建立（問(wèn)題分析，公式推導(dǎo)，基本模型，最終或簡(jiǎn)化模型

等）

5.模型的求解6.模型檢驗(yàn):結(jié)果表示、分析與檢驗(yàn)，誤差分析，……7.模型評(píng)價(jià):特點(diǎn)，優(yōu)缺點(diǎn)，改進(jìn)方法，推廣…….8.參考文獻(xiàn)9.附錄：計(jì)算框圖、詳細(xì)圖表……1.8撰寫(xiě)數(shù)學(xué)建模論文1、某甲早8時(shí)從山下旅店出發(fā)沿一路徑上山，下午5時(shí)到達(dá)山頂并留宿。次日早8時(shí)沿同一路徑下山，下午5時(shí)回到旅店。某乙說(shuō)，甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過(guò)路徑中的同一地點(diǎn)，為什么？看誰(shuí)答得快2、某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車(chē)于6時(shí)抵