試卷第=page1111頁，共=sectionpages1212頁試卷第=page1212頁，共=sectionpages1212頁2023年九年級數(shù)學(xué)中考專題：猜想證明綜合壓軸題1．（1）如圖1，在正方形中，G是上一點（點G與B，C不重合），交于點E，交于點F，試猜想線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）在其余條件不變的基礎(chǔ)上延長，交于點H，連接，，交于點P，如圖2，求證：；（3）如圖3是一塊長為1米正方形銅板，由于磨損，該鋼板的頂點B、C、D均不能使用，王師傅計劃過點A裁出一個形如的零件，其中E、F、G分別在AB、CD、BC邊上，且F為的中點，交于點E，連接AE，求王師傅能截出四邊形的最大面積是多少？2．綜合與實踐問題情境：綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動，下面是同學(xué)們的折紙過程：動手操作：步驟一：將正方形紙片（邊長為4cm）對折，使得點A與點D重合，折痕為，再將紙片展開，得到圖1．步驟二：將圖1中的紙片的右上角沿著折疊，使點D落到點G的位置，連接，，得到圖2．步驟三：在圖2的基礎(chǔ)上，延長與邊交于點H，得到圖3．問題解決：(1)在圖3中，連接，則的度數(shù)為______，的長為______．(2)在圖3的基礎(chǔ)上延長與邊交于點M，如圖4，試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)將圖4中的正方形紙片過點折疊，使點落在邊上，然后再將正方形紙片展開，折痕分別與邊，交于點，，求的長（直接寫出答案）．3．軸對稱變換是幾何證明中重要的圖形變換之一，即尋找對稱軸，將對稱軸的一側(cè)圖形進行翻折，來構(gòu)造滿足條件的幾何輔助線．【例題】如圖，是的平分線，且，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；分析：將沿直線翻折，得到，通過相關(guān)定理即可得到結(jié)論．請猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展應(yīng)用】如圖，為線段同側(cè)兩點，，，若，求的長．4．已知：正方形中，，繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于點M，N，當(dāng)繞點A旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證．(1)當(dāng)繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時（如圖2），線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明．(2)當(dāng)繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想并加以證明．(3)圖3中，若，求的面積為．5．（1）如圖1，點E在正方形內(nèi)，且在對角線右側(cè)，連接，，，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，，．①試猜想與之間的位置關(guān)系為______；②當(dāng)時，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖2，點E在矩形內(nèi)，且在對角線右側(cè)，連接，，，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，，，當(dāng)，且，求的值．6．如圖，和都是等腰直角三角形，．(1)猜想：如圖1，點在上，點在上，線段與的數(shù)量關(guān)系是_______，位置關(guān)系是______________；(2)探究：把繞點旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接，，（1）中的結(jié)論還成立嗎?說明理由；(3)拓展：把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，當(dāng)，，三點在同一直線上時，則的長是_______________．7．如圖，和分別位于兩側(cè)，點為中點，連接，．(1)如圖1，若，，，求的長；(2)如圖2，連接交于點，在上取一點使得，若，，，猜想與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，是以為斜邊的等腰直角三角形，若，，請直接寫出當(dāng)取最大值時的面積．8．如圖，和分別位于兩側(cè)，為中點，連接，．(1)如圖1，若，求的長；(2)如圖2，連接交于點F，在上取一點G使得．若，．猜想與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，是以為斜邊的等腰直角三角形，若，，請直接寫出當(dāng)取最大值時的面積．9．已知：中，，直線上取一點D，連接，線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接交直線于G．(1)喜歡思考問題的小捷同學(xué)，想探索圖中線段和線段的數(shù)量關(guān)系．于是他畫了圖1所示當(dāng)D在邊上的時候的圖形，并通過測量得到了線段與的數(shù)量關(guān)系．你認為小捷的猜想是_________(填＞，＝，＜中選一個)．(2)當(dāng)D在邊的延長線上時請你根據(jù)題目要求補全圖2，①并在你補全的圖2中找出與相等的角___________________________②在圖2中探索(1)中小捷的猜想是否成立，若成立證明你的結(jié)論，若不成立，請你說明理由；(3)如圖3，當(dāng)D在邊的反向延長線上時，直接寫出的數(shù)量關(guān)系(用等式表示)．10．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，在正方形中，是上一點（點與，不重合），交于點，交于點．試猜想線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；【延伸探究】（2）在其余條件不變的基礎(chǔ)上延長，交于點，連接，，交于點，如圖②．求證：；【問題解決】（3）如圖③，是一塊邊長為米的正方形鋼板由于磨損，該鋼板的頂點，，均不能使用，王師傅計劃過點裁出一個形如四邊形的零件，其中點，，分別在，，邊上，且為的中點，交于點，連接，求王師傅能裁出四邊形的最大面積是多少？11．已知，和都是等腰直角三角形，C為它們公共的直角頂點，如圖1，D，E分別在，邊上，F(xiàn)是的中點，連接．(1)求證：．(2)請猜想與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．(3)如圖2，將固定不動，由圖1位置繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)過程中，其他條件不變．試判斷，與的關(guān)系是否發(fā)生改變？若不變，請說明理由；若改變，請求出相關(guān)正確結(jié)論．12．如圖，將兩塊直角三角板的直角頂點C疊放在一起．(1)______（填“”“”或“”）；(2)當(dāng)時，求的度數(shù)；(3)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(4)將三角板繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出此時為多少度時，與的大小是二倍關(guān)系．13．已知正方形，動點在上運動，過點作射線于點，連接．(1)如圖1，在上取一點，使，連接，求證：；(2)如圖2，點在延長線上，求證：；(3)如圖3，若把正方形改為矩形，且，其他條件不變，請猜想，和的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不必證明．14．綜合與實踐．項目式學(xué)習(xí)小組研究了一個問題，如圖1，在矩形中，，，，分別是，的中點，四邊形是矩形，連接．(1)請直接寫出與的長度比為；(2)如圖2，將矩形繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)至點G落在邊上，求點到的距離；(3)將矩形繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)至如圖3所示的位置時，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．15．如圖，在平面直角坐標系中，點為x軸負半軸上一動點，等腰的底邊在x軸上，，，點在第一象限．(1)如圖1，求點C的坐標；（用含t的代數(shù)式表示）(2)如圖2，在y軸負半軸上分別取點D和點E，連接，，，與交于點F，若，請猜想的度數(shù)是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點D作交x軸于點G，連接，若，，請求出點A的坐標．16．如圖，在中，點、分別是，的中點，可以猜想：且．請根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖，寫出證明過程．【結(jié)論應(yīng)用】如圖，在中垂直于的平分線于點，且交邊于點，點為的中點．若，，求的長．【拓展延伸】如圖，在中，，，，為中點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到線段，連結(jié)，取的中點，連結(jié)．則面積的最大值為______．17．在四邊形中，，點E在上，連接，與交于點F，，；(1)如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖2，若，猜想和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，在（2）的條件下，W為中點，K為中點，E為的中點，連接，，若，求的長．18．圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一．小華和小芳對等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進行研究．如圖（1），已知和均為等腰直角三角形，點D，E分別在線段上，且．(1)的值_______；(2)觀察猜想：小華將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接，如圖（2），當(dāng)?shù)难娱L線恰好經(jīng)過點E時，①的值為_______；②的度數(shù)為_______度；(3)類比探究如圖（3），小芳在小華的基礎(chǔ)上，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，連接，設(shè)的延長線交于點F，請求出的值及的度數(shù)，并說明理由．答案第=page33頁，共=sectionpages33頁答案第=page22頁，共=sectionpages33頁參考答案：1．（1），（3）王師傅能裁出四邊形的最大面積是平方米2．(1)，(2)，(3)3．例題：；拓展應(yīng)用：44．(1)，(2)，(3)7.55．（1）①②