函數(shù)的奇偶性

在日常生活中，我們可以觀察到許多對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象，如：美麗的蝴蝶，盛開(kāi)的花朵，六角形的雪花晶體，以及建筑物和它在水中的倒影.....下面請(qǐng)欣賞一、現(xiàn)實(shí)生活中的“美”的事例四川曹家大院一景曹家多子院大門(mén)二道門(mén)水鏡臺(tái)曹家大院某院晉祠鼓樓晉祠碩亭太谷民居門(mén)墩石獅子二、函數(shù)圖象的“美”xyOxyOf(x)=x2f(x)=|x|x…-2-1012…y…41014…x…-2-1012…y…21012…問(wèn)題：1、對(duì)定義域中的每一個(gè)x，-x是否也在定義域內(nèi)？2、f(x)與f(-x)的值有什么關(guān)系？函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)1、對(duì)定義域中的每一個(gè)x，-x是也在定義域內(nèi)；2、都有f(x)=f(-x)三、偶函數(shù)的定義

如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳。如果對(duì)任意的x∈A，都有

f(-x)=f(x)，那么稱(chēng)函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)。四、偶函數(shù)的判定（1）下列說(shuō)法是否正確，為什么？（1）若f(－2)=f(2)，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．（2）若f(－2)≠

f(2)，則函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)．（2）下列函數(shù)是否為偶函數(shù)，為什么？。（A）（B）（C）（D）

觀察下面兩個(gè)函數(shù)填寫(xiě)表格-30xy123-1-2-1123-2-30xy123-1-2-1123-2-3f(x)=x3210-1-2-3-1x-3-20123f(-3)=-3=0xy123-1-2-1123-2-3……f(-x)-f(x)f(x)=xf(-1)=-1f(-2)=-2=x-x表（3）-f(1)=-f(2)-f(3)=f(x)=x0xy123-1-2-1123-2-3

f(-3)==-f(3)f(-1)=-1=-f(1)f(-2)==-f(2)……f(-x)=-f(x)13210-2-3x-1-1表（4）函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)1、對(duì)定義域中的每一個(gè)x，-x是也在定義域內(nèi)；2、都有f(-x)=-f(x)五、奇函數(shù)的定義

如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳。如果對(duì)任意一個(gè)x∈A，都有

f(-x)=-f(x)，那么稱(chēng)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)

。

判定函數(shù)奇偶性基本方法:

①定義法:

先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),再看f(-x)與f(x)的關(guān)系.

②圖象法:

看圖象是否關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱(chēng).∈∈

如果一個(gè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說(shuō)函數(shù)f(x)具有奇偶性.

奇函數(shù)

偶函數(shù)

函數(shù)可劃分為四類(lèi):

既奇又偶函數(shù)

非奇非偶函數(shù)說(shuō)明：

1、根據(jù)函數(shù)的奇偶性f(x)=0x∈R非奇非偶函數(shù)0xy123-1-2-1123-2-3如：0xy123-1-2-1123-2-3y=3x+1y=x2+2x即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)0xy123-1-2-1123-2-3如：y=02、奇、偶函數(shù)定義的逆命題也成立，即

若f(x)為奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x)有成立.

若f(x)為偶函數(shù)，則f(-x)=f(x)有成立.3、奇、偶函數(shù)性質(zhì)：偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù),則它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。yxoy=x2偶函數(shù)的圖像特征反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)。,是偶函數(shù)嗎？問(wèn)題：0x123-1-2-3123456y不是。性質(zhì)：偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)解：xoy=x2例：性質(zhì)：偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性相反。問(wèn)題：

是奇函數(shù)嗎？-30xy123-1-2-1123-2-3解：不是。性質(zhì)：奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。性質(zhì)：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性一致．xy例：y=x30六、應(yīng)用:例1判斷下列函數(shù)的奇偶性

1.y=-2x2+1,x∈R;2.f(x)=-x｜x｜;3.y=-3x+1;4.f(x)=x2,x∈{-3,-2,-1,0,1,2};5.y=0,x∈[-1,1];是偶函數(shù)是奇函數(shù)不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)亦奇亦偶函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)例3如圖是奇函數(shù)y=f(x)圖象的一部分，試畫(huà)出函數(shù)在y軸左邊的圖象。xy0例4已知y=f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2+2x-1，求函數(shù)的表達(dá)式。練習(xí)：判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)解：定義域?yàn)镽 ∵f(-x)=(-x)4=f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)偶函數(shù)(2)解：定義域?yàn)镽 f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)即f(