學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)（十二）(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．設(shè)f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)(n∈N＋)，則f(n＋1)－f(n)等于()\f(1,3n＋2) \f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2) \f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)【解析】因?yàn)閒(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)，所以f(n＋1)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)＋eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)，所以f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2).故選D.【答案】D2．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為eq\f(1,2)n(n－3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0等于()A．1 B．2C．3 【解析】邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形．【答案】C3．已知a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，猜想an等于()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750066】\f(3,n＋2) \f(3,n＋3)\f(3,n＋4) \f(3,n＋5)【解析】a2＝eq\f(3a1,a1＋3)＝eq\f(3,7)，a3＝eq\f(3a2,a2＋3)＝eq\f(3,8)，a4＝eq\f(3a3,a3＋3)＝eq\f(1,3)＝eq\f(3,9)，猜想an＝eq\f(3,n＋5).【答案】D4．用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)時(shí)，從“k到k＋1”左邊需增乘的代數(shù)式是()A．2k＋1 \f(2k＋1,k＋1)C．2(2k＋1) \f(2k＋2,k＋1)【解析】當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)…(k＋k)·eq\f(2k＋12k＋2,k＋1)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·2(2k＋1)．【答案】C5．記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)等于f(k)加上()\f(π,2) B．πC．2π \f(3,2)π【解析】從n＝k到n＝k＋1時(shí)，內(nèi)角和增加π.【答案】B二、填空題6．觀察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n個(gè)式子應(yīng)為________．【答案】1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n＋1·eq\f(nn＋1,2)7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的過程中，第二步假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)應(yīng)得到________．【解析】∵n＝k時(shí)，命題為“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，∴n＝k＋1時(shí)為使用歸納假設(shè)，應(yīng)寫成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1.【答案】1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－18．用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被14整除，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，對(duì)于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1應(yīng)變形為________．【解析】34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.【答案】81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1三、解答題9．用數(shù)學(xué)歸納法證明：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n2)))＝eq\f(n＋1,2n)(n≥2，n∈N＋)．【證明】(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，右邊＝eq\f(2＋1,2×2)＝eq\f(3,4).∴等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)，等式成立，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k2)))＝eq\f(k＋1,2k)(k≥2，k∈N＋)．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k＋12)))＝eq\f(k＋1,2k)·eq\f(k＋12－1,k＋12)＝eq\f(k＋1k·k＋2,2k·k＋12)＝eq\f(k＋2,2k＋1)＝eq\f(k＋1＋1,2k＋1)，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立．根據(jù)(1)和(2)知，對(duì)n≥2，n∈N＋時(shí)，等式成立．10．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，整式an－bn都能被a－b整除．【證明】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，an－bn＝a－b能被a－b整除．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)，ak－bk能被a－b整除，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1－bk＋1＝ak＋1－akb＋akb－bk＋1＝ak(a－b)＋b(ak－bk)．因?yàn)?a－b)和ak－bk都能被a－b整除，所以上面的和ak(a－b)＋b(ak－bk)也能被a－b整除．這也就是說(shuō)當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1－bk＋1能被a－b整除．根據(jù)(1)(2)可知對(duì)一切正整數(shù)n，an－bn都能被a－b整除．[能力提升]1．設(shè)f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750067】\f(1,2n＋1) \f(1,2n＋2)\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2) \f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)【解析】因?yàn)閒(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)，所以f(n＋1)＝eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)，所以f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2).【答案】D2．某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\r(n2＋n)＜n＋1(n∈N＋)的過程如下：證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，顯然命題是正確的：(2)假設(shè)n＝k時(shí)有eq\r(kk＋1)＜k＋1，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)＜eq\r(k2＋4k＋4)＝(k＋1)＋1，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題是正確的．由(1)(2)可知對(duì)于n∈N＋，命題都是正確的．以上證法是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤在于()A．從k到k＋1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)B．歸納假設(shè)的寫法不正確C．從k到k＋1的推理不嚴(yán)密D．當(dāng)n＝1時(shí)，驗(yàn)證過程不具體【解析】證明eq\r(k＋12＋k＋1)＜(k＋1)＋1時(shí)進(jìn)行了一般意義的放大．而沒有使用歸納假設(shè)eq\r(kk＋1)＜k＋1.【答案】A3．用數(shù)學(xué)歸納法證明22＋32＋…＋n2＝eq\f(nn＋12n＋1,6)－1(n∈N＋，且n＞1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證n＝________，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊的式子為________．【解析】∵所證明的等式為22＋32＋…＋n2＝eq\f(nn＋12n＋1,6)－1(n∈N＋，n＞1)．又∵第一步驗(yàn)證的值應(yīng)為第一個(gè)值(初始值)，∴n應(yīng)為2.又∵當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式左邊的式子實(shí)際上是將左邊式子中所有的n換成k＋1，即22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2.【答案】222＋32＋…＋k2＋(k＋1)24．是否存在常數(shù)a，b，c使等式(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c對(duì)一切正整數(shù)n成立？證明你的結(jié)論．【解】存在．分別用n＝1,2,3代入，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0，,16a＋4b＋c＝3，,81a＋9b＋c＝18，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝－\f(1,4)，,c＝0，))故原等式右邊＝eq\f(n4,4)－eq\f(n2,4).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．(1)當(dāng)n＝1時(shí)，由上式可知等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)等式成立，即(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝eq\f(1,4)k4－eq\f(1,4)k2.則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝[(k＋1)2－12]＋2[