隨機(jī)過程

——基礎(chǔ)及應(yīng)用nk_lilihua@教材：《隨機(jī)過程基礎(chǔ)》

王家生，天津大學(xué)出版社參考教材：《應(yīng)用隨機(jī)過程》

林元烈，清華大學(xué)出版社《隨機(jī)過程應(yīng)用》

科學(xué)出版社《隨機(jī)過程及其應(yīng)用》

路大琻清華大學(xué)出版社先修課程：高等數(shù)學(xué)、概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等什么是隨機(jī)性？1.隨機(jī)因素可以忽略2.隨機(jī)因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)3.隨機(jī)因素影響必須考慮確定性模型隨機(jī)性模型隨機(jī)性就是不確定性確定性是理想化的，隨機(jī)性是現(xiàn)實(shí)中必然存在的自然界中事物的變化過程分為兩類確定性過程：具有確定形式的變化過程；或者說具有必然的變化規(guī)律；用數(shù)學(xué)語言來說，事物的變化過程可以用一個(gè)時(shí)間t的函數(shù)來描述。隨機(jī)過程：沒有確定的變化形式；也就是說每次對它的測量結(jié)果沒有一個(gè)確定的變化規(guī)律；用數(shù)學(xué)語言來說，這類事物的變化全過程不能用一個(gè)時(shí)間t的確定性函數(shù)來描述。例、群體增長問題（確定性模型和隨機(jī)性模型）1)設(shè)x(t)表示t時(shí)刻群體中的細(xì)菌數(shù)，假定群體的細(xì)菌數(shù)只能增加，在[t,t+△t]內(nèi)細(xì)菌的增加與時(shí)刻t時(shí)的細(xì)菌數(shù)成正比，即由此可得到微分方程這里，我們假定x(t)是時(shí)間t的連續(xù)可微函數(shù)，這就是描述細(xì)菌群體增長的確定性模型

2).現(xiàn)在考慮解決這一問題的隨機(jī)模型用X(t)表示t時(shí)刻的細(xì)菌數(shù)，X(t)是一個(gè)取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，于是{X(t)}是一個(gè)隨機(jī)過程。我們研究P{x(t)=k}=pk(t),即t時(shí)刻細(xì)菌數(shù)的概率分布同樣，可以建立可列多個(gè)方程組成的差分方程組，求解得到pk(t)的表達(dá)式。在隨機(jī)模型中，我們得到的X(t)是取非負(fù)整數(shù)的，并得到了t時(shí)刻群體細(xì)菌數(shù)為k的概率如果另m(t)=E[X(t)],（這是隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望定義）經(jīng)計(jì)算可得即t時(shí)刻群體細(xì)菌數(shù)的數(shù)學(xué)期望與確定性模型群體含量表達(dá)式是相同的，也就是說確定性模型得到的解是t時(shí)刻的平均群體數(shù)目。但是，隨機(jī)模型卻給出了更多的信息，如還可以求出t時(shí)刻X(t)的方差或其他數(shù)字特征，有實(shí)際意義什么是隨機(jī)過程？隨機(jī)過程是現(xiàn)代概率論中的一部分重要內(nèi)容隨機(jī)過程與概率論密不可分

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)分支隨機(jī)現(xiàn)象隨時(shí)間的進(jìn)展而變化發(fā)展，這樣的動態(tài)過程,稱之為隨機(jī)過程隨機(jī)過程的提出和發(fā)展事件的概率則是指衡量該事件發(fā)生的可能性的量度雖然在一次隨機(jī)試驗(yàn)中發(fā)生某個(gè)事件是帶有偶然性的，但那些可以在相同條件下大量重復(fù)的隨機(jī)試驗(yàn)卻往往呈現(xiàn)出明顯的數(shù)量規(guī)律性。（大數(shù)定律和中心極限定理）在實(shí)際中，人們往往要研究時(shí)間推進(jìn)中某一特定隨機(jī)現(xiàn)象的演變情況，描述這種演變的就是隨機(jī)過程隨機(jī)現(xiàn)象指的是這樣的客觀現(xiàn)象，當(dāng)人們觀察它時(shí)，所得的結(jié)果不能預(yù)先確定，而只是多種可能結(jié)果中的一種隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果稱為一個(gè)基本事件，一個(gè)或一組基本事件通稱為隨機(jī)事件，簡稱事件隨機(jī)過程的應(yīng)用

隨機(jī)數(shù)學(xué)方法就是透過隨機(jī)現(xiàn)象表面的偶然性揭示過程的內(nèi)在規(guī)律性的數(shù)學(xué)工具經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域：股票價(jià)格預(yù)測，經(jīng)濟(jì)增長預(yù)測物理領(lǐng)域：分子布朗運(yùn)動，天體運(yùn)行軌道等服務(wù)系統(tǒng)：電話通信，機(jī)器損修，病人候診，公交車等待等等生物數(shù)學(xué)：群體遷移，增長模型等圖像處理：圖像分割與識別等社會科學(xué)、天氣預(yù)報(bào)等學(xué)習(xí)要求掌握隨機(jī)過程的基本概念，掌握典型的幾種常用隨機(jī)過程模型不僅要掌握知識，更重要的是掌握思想學(xué)會把抽象的問題和實(shí)際隨機(jī)模型結(jié)合起來；能夠利用隨機(jī)方法分析并解決問題隨機(jī)過程基礎(chǔ)知識基本概念馬爾可夫過程時(shí)間序列分析平穩(wěn)過程維納過程泊淞過程

第一章概率論的基礎(chǔ)知識

第一節(jié)隨機(jī)事件與概率

第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布

第三節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第四節(jié)矩母函數(shù)和特征函數(shù)

第五節(jié)條件期望

第六節(jié)指數(shù)分布

第七節(jié)收斂性和極限定理第一節(jié)隨機(jī)事件與概率

1.隨機(jī)試驗(yàn)

一、基本概念要點(diǎn)

其結(jié)果在事先不能確定的試驗(yàn)。具有三個(gè)特性：（1）可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，并能事先明確試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果；（3）每次試驗(yàn)前不能確定哪個(gè)結(jié)果會出現(xiàn)。2.樣本點(diǎn)（基本事件）對于隨機(jī)試驗(yàn)E，以ω表示它的一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果，稱ω為E的一個(gè)樣本點(diǎn)。3.樣本空間

樣本點(diǎn)的全體稱為樣本空間，用Ω表示。

Ω＝{ω}4.隨機(jī)事件

樣本空間Ω的子集就是隨機(jī)事件，簡稱事件。用大寫英文字母A、B、C等來表示。稱事件A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)A中一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。樣本空間也是一個(gè)事件，稱必然事件?？占Q為不可能事件。

事件的關(guān)系與運(yùn)算（并、交、差、極限運(yùn)算）

5.集類6.事件域7.概率概率是滿足非負(fù)性；規(guī)一性；可列可加性；的集函數(shù)。二、概率的性質(zhì)1.2.3.有限可加性

4.5.6.

7.8.可列次可加性三、概率的連續(xù)性

1．極限事件

對于事件則稱事件序列則稱事件序列

這樣可定義一個(gè)新的事件，記為遞增，遞減，

2．連續(xù)性定理若是遞增的或遞減的事件序列，證明則即由包含在中但不在任何前面的（）中的點(diǎn)組成。設(shè)是遞增序列，并定義事件：定理1容易驗(yàn)證（）是互不相交的事件，且滿足和于是說明:極限事件的概率等于事件概率的極限設(shè)E為隨機(jī)試驗(yàn)，為其樣本空間，A、B為任意兩個(gè)事件，四、條件概率為事件A出現(xiàn)的情況下，事件B的條件概率，或簡稱事件B關(guān)于事件A的條件概率。若1．定義則稱定理2（乘法公式）

2．基本公式

假設(shè)為任意n個(gè)事件（），若則定理3（全概率公式與貝葉斯公式）設(shè)事件兩兩互不相容，則（1）對任意事件A，有（2）對任意事件A

，若，有五、獨(dú)立性如果事件A，B滿足

設(shè)是n個(gè)事件，如果對于任意和，有則稱事件相互獨(dú)立。則稱事件A，B相互獨(dú)立。1．定義兩個(gè)n個(gè)2．獨(dú)立性的性質(zhì)定理4

若事件A，B相互獨(dú)立，則；；分別也相互獨(dú)立.定理5

設(shè)事件相互獨(dú)立，若其中任意個(gè)事件相應(yīng)地?fù)Q成它們的對立事件，則所得的n個(gè)事件仍然相互獨(dú)立。

推論若事件相互獨(dú)立，則

證事件的獨(dú)立性