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第3章曲線擬合的最小二乘法

給出一組離散點(diǎn)，確定一個(gè)函數(shù)逼近原函數(shù)，插值是這樣的一種手段。

在實(shí)際中，數(shù)據(jù)不可避免的會(huì)有誤差，插值函數(shù)會(huì)將這些誤差也包括在內(nèi)。

因此，我們需要一種新的逼近原函數(shù)的手段：①不要求過所有的點(diǎn)（可以消除誤差影響）；②盡可能表現(xiàn)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)，靠近這些點(diǎn)。

有時(shí)候，問題本身不要求構(gòu)造的函數(shù)過所有的點(diǎn)。如：5個(gè)風(fēng)景點(diǎn)，要修一條公路S使得S為直線，且到所有風(fēng)景點(diǎn)的距離和最小。先講些預(yù)備知識(shí)

對(duì)如上2類問題，有一個(gè)共同的數(shù)學(xué)提法：找函數(shù)空間上的函數(shù)g，使得g到f的距離最小。定義1：向量范數(shù)映射：滿足：①非負(fù)性②齊次性③三角不等式稱該映射為向量的一種范數(shù)預(yù)備知識(shí)我們定義兩點(diǎn)的距離為：常見的范數(shù)有：定義2：函數(shù)f，g的關(guān)于離散點(diǎn)列的離散內(nèi)積為：定義3：函數(shù)f的離散范數(shù)為提示：該種內(nèi)積，范數(shù)的定義與向量的2－范數(shù)一致我們還可以定義函數(shù)的離散范數(shù)為：f(x)為定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，為區(qū)間上n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)，為給定的某一函數(shù)類。求上的函數(shù)g(x)滿足f(x)和g(x)的距離最小如果這種距離取為2－范數(shù)的話，稱為最小二乘問題曲線擬合的最小二乘問題定義下面我們來看看最小二乘問題：求使得最小設(shè)最小則即關(guān)于系數(shù)由于它關(guān)于系數(shù)最小，因此有：即寫成矩陣形式有：法方程由的線性無關(guān)性，知道該方程存在唯一解①第一步：函數(shù)空間的基，然后列出法方程②第一步：函數(shù)空間的基，然后列出法方程例：第一步：函數(shù)空間的基，然后列出法方程由，可以先做求解一個(gè)矛盾方程組，計(jì)算的是在均方誤差

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