2023/2/5

電子教案《流體力學(xué)》第2章流體靜力學(xué)研究平衡流體的力學(xué)規(guī)律及其應(yīng)用的科學(xué)。什么是平衡？2.1作用在流體上的力1.質(zhì)量力2.表面力定義：作用在流體質(zhì)點(diǎn)上，大小與流體質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量成正比的力，它是非接觸力，有些教材也稱(chēng)為超常力。重力：慣性力：動(dòng)力學(xué)問(wèn)題按靜力學(xué)求解時(shí)虛擬的力質(zhì)量力：2.1.1

質(zhì)量力另：除了和質(zhì)量有關(guān)的重力和慣性力，流體還可能受到其他一些非接觸力，如電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力，這些力雖然與流體質(zhì)量無(wú)直接關(guān)系，在靜力學(xué)分析中，仍把它們稱(chēng)為質(zhì)量力。在流體力學(xué)中，常用到單位質(zhì)量力的概念。單位質(zhì)量流體所受的質(zhì)量力稱(chēng)單位質(zhì)量力。單位質(zhì)量力作用在流體質(zhì)點(diǎn)上的質(zhì)量力其中：是單位質(zhì)量力在x、y、z軸上的投影簡(jiǎn)稱(chēng)單位質(zhì)量分力。定義：作用在流體表面上，且與表面積大小成正比的力。表面力分為兩種：一種是沿著表面內(nèi)法線(xiàn)方向的壓力，一種是沿著表面切向的摩擦力。法向力（流體靜壓力）2.1.2表面力切向力（平衡流體=0）

2.1.3

流體靜壓力和流體靜壓強(qiáng)作用在平衡流體上的表面力只有沿受壓表面內(nèi)法線(xiàn)方向的流體靜壓力。一般來(lái)說(shuō)，受壓表面各點(diǎn)流體靜壓力的強(qiáng)度并不一定相等，某點(diǎn)流體靜壓力的強(qiáng)弱用該點(diǎn)的壓強(qiáng)來(lái)表示。一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)為：作用在某個(gè)有限表面的靜壓力為：

：微元面積外法線(xiàn)方向的單位矢量。流體靜壓強(qiáng)具有等值性：靜止流體內(nèi)部任意一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)在各方向等值，即

（證明見(jiàn)教材22頁(yè)）流體靜壓力是作用在受壓面上的總作用力矢量（具有大小、方向、作用點(diǎn)），單位是牛頓(N)，用大寫(xiě)字母來(lái)表示。它的大小和方向均與受壓面有關(guān)，方向是沿受壓面內(nèi)法線(xiàn)方向。流體的壓強(qiáng)則是一點(diǎn)上靜壓力的強(qiáng)度，單位符號(hào)Pa,用小寫(xiě)字母p來(lái)表示。它是一個(gè)標(biāo)量，只有大小沒(méi)有方向。流體靜壓力和流體靜壓強(qiáng)的區(qū)別2.2.1

流體平衡微分方程式的導(dǎo)出

從靜止流體中取出一個(gè)邊長(zhǎng)為dx、dy、dz的微元平行六面體，對(duì)其進(jìn)行受力分析，受力情況如圖。由于微元六面體處于平衡狀態(tài)，故在X方向有：化簡(jiǎn)，得同理可求得y、z方向的平衡方程?！?.2流體平衡微分方程式設(shè)該微元六面體中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為p，邊長(zhǎng)分別為dx,dy,dz.上式說(shuō)明：平衡流體的質(zhì)量力和表面力在任何方向上都保持平衡。

流體平衡微分方程式（歐拉平衡方程式）歐拉平衡方程是平衡流體中普遍適用的一個(gè)基本公式，無(wú)論流體所受的質(zhì)量力有哪些種類(lèi)，無(wú)論流體是否可壓縮，流體有無(wú)粘性，歐拉平衡方程都是普遍適用的。微元流體的質(zhì)量力與該方向上表面力的合力應(yīng)該大小相等、方向相反。平衡流體受哪個(gè)方向的質(zhì)量分力，則流體靜壓強(qiáng)沿該方向上必然發(fā)生變化；反之，如果哪個(gè)方向沒(méi)有質(zhì)量力分力，則流體靜壓強(qiáng)在該方向上保持不變。假如可以忽略流體的質(zhì)量力，則這種流體中的流體靜壓強(qiáng)必然處處相等，這正是在簡(jiǎn)化處理機(jī)械或儀器中氣體平衡問(wèn)題時(shí)所遇到的情況。discussion2.2.2

歐拉平衡方程式的綜合形式（質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù)略）由相加，移項(xiàng)得：2.2.3

等壓面1、流體中壓強(qiáng)相等的點(diǎn)組成的面叫等壓面。方程：2、等壓面的選?。?）同種流體；（2）靜止；（3）連續(xù)。例1：1、2、3、4各點(diǎn)是否處在一個(gè)等壓面上？各點(diǎn)壓強(qiáng)的大小關(guān)系如何。

ρ<ρ2<ρ11、2兩點(diǎn)同種液體、靜止、連續(xù)，且在同一高度，是同一等壓面；（重力場(chǎng)中等壓面是水平面）2、3兩點(diǎn)不滿(mǎn)足連續(xù)條件，壓強(qiáng)不一定相等；3、4兩點(diǎn)不滿(mǎn)足同種液體條件，壓強(qiáng)不一定相等；事實(shí)上，ρ12.3.1不可壓縮流體的靜壓強(qiáng)基本公式綜合方程：現(xiàn)故有：積分有：即：(靜壓強(qiáng)基本公式)§2.3重力場(chǎng)中的平衡流體Z：?jiǎn)挝恢亓α黧w的位置勢(shì)能：?jiǎn)挝恢亓α黧w壓強(qiáng)勢(shì)能物理意義：平衡流體中各點(diǎn)的總勢(shì)能（包括位置勢(shì)能和壓強(qiáng)勢(shì)能）是一定的。使用條件：重力場(chǎng)、不可壓縮流體（1）靜壓強(qiáng)基本方程的物理意義1.從量綱上分析；L2.一定的流體靜壓強(qiáng)代表使液柱上升一定高度的勢(shì)能。C點(diǎn)的總勢(shì)能：A點(diǎn)的總勢(shì)能：根據(jù)靜壓強(qiáng)基本方程有：可見(jiàn)可以用液柱高度表示單位重力流體所具有的能量。重力流體的壓強(qiáng)勢(shì)能單位重力流體所具有的能量也可以用液柱高度來(lái)表示，并稱(chēng)水頭。

Z：位置水頭：壓強(qiáng)水頭

（2）靜壓強(qiáng)基本方程的幾何意義

流體的靜水頭線(xiàn)和計(jì)示水頭線(xiàn)流體靜力學(xué)基本方程幾何意義：在重力作用下的連續(xù)均質(zhì)不可壓縮靜止流體中，靜水頭線(xiàn)和計(jì)示靜水頭線(xiàn)均為水平線(xiàn)。

（3）靜壓強(qiáng)分布規(guī)律靜壓強(qiáng)基本公式中的積分常數(shù)C用平衡液體自由表面上的邊界條件：z=z0，p=p0來(lái)確定。于是有（邊界條件）（h-淹入系數(shù)，h=z0-z)移相，整理得：上式就是自由表面的不可壓縮重力流體中壓強(qiáng)分布規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，也是靜力學(xué)基本方程的形式之一，式中h為距自由表面的深度。從該式中可以看出：在重力作用下，液體內(nèi)部的壓強(qiáng)隨深度h線(xiàn)性增加；

2.在重力作用下的液體中，深度相同的各點(diǎn)靜壓強(qiáng)亦相同。因此等壓面是一水平面。2.3.2可壓縮流體的靜壓強(qiáng)分布公式（略）靜水力學(xué)基本方程演示2.4.1

靜壓強(qiáng)的計(jì)算單位流體靜壓強(qiáng)的國(guó)際法定應(yīng)力單位是Pa(1Pa=1N/m2)，1bar=105Pa。應(yīng)力單位多用于理論計(jì)算。1MPa=106Pa

工程中習(xí)慣上用如下兩種換算單位:1)液柱高單位液柱高液柱高度位有米水柱(mH2O)、毫米汞柱(mmHg)等,多用于實(shí)驗(yàn)室計(jì)量。2)大氣壓?jiǎn)挝?標(biāo)準(zhǔn)大氣壓(atm)=101325Pa=760mmHg大氣壓?jiǎn)挝欢嘤糜跈C(jī)械或航天行業(yè)。2.4靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量(1)絕對(duì)壓強(qiáng)：以絕對(duì)真空為起點(diǎn)計(jì)算壓強(qiáng)大小。(2)計(jì)示壓強(qiáng)：以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽榱阌?jì)算的壓強(qiáng)，比當(dāng)?shù)卮髿鈮捍蠖嗌俚膲簭?qiáng)，叫做計(jì)示壓強(qiáng)或表壓強(qiáng)。(3)真空度：某點(diǎn)壓強(qiáng)低于當(dāng)?shù)卮髿鈮?，其低于?dāng)?shù)卮髿鈮旱臄?shù)值叫真空度。2.4.2靜壓強(qiáng)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)與真空度的關(guān)系絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)、真空度絕對(duì)壓強(qiáng)是以絕對(duì)真空為起點(diǎn)，其值恒大于0；相對(duì)壓強(qiáng)是以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽槠瘘c(diǎn)，其值可正可負(fù)，也可為0.相對(duì)壓強(qiáng)又稱(chēng)計(jì)示壓強(qiáng)；相對(duì)壓強(qiáng)小于0時(shí)，其數(shù)值的絕對(duì)值又稱(chēng)真空度。2.4.3靜壓強(qiáng)的測(cè)量（1）測(cè)壓管（最簡(jiǎn)單的液柱式測(cè)壓計(jì)）預(yù)測(cè)量容器（管道）中某點(diǎn)A壓強(qiáng)，在容器（管道）該點(diǎn)處開(kāi)一個(gè)小孔，接測(cè)壓管（管內(nèi)徑一般大于5mm)，液體在壓強(qiáng)作用下升高，可測(cè)出高度h,繼而得到A點(diǎn)的計(jì)示壓強(qiáng)。測(cè)壓管測(cè)壓計(jì)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，測(cè)量準(zhǔn)確。但存在限制條件：①不能測(cè)氣體壓強(qiáng)；②管內(nèi)壓強(qiáng)要大于當(dāng)?shù)卮髿鈮?；③測(cè)點(diǎn)A壓強(qiáng)不能過(guò)高；測(cè)量容器中氣體的真空度容器中的真空度P=gh（2）U形管測(cè)壓計(jì)(a)p+1gh1=2gh2，則計(jì)示壓強(qiáng)p=2gh2

-1gh1(b)p+1gh1+2gh2=0，則真空度p=1gh1+2gh2

取等壓面1-1，列方程：p1+1gh1=p2+2gh2+′gh則

p1-p2=2gh2+′gh-1gh1常用來(lái)測(cè)量?jī)扇萜鞯膲簭?qiáng)差或管路中兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差。（3）差壓計(jì)測(cè)量?jī)牲c(diǎn)壓差的儀器叫差壓計(jì)。（4）傾斜式微壓計(jì)測(cè)量較小壓強(qiáng)或壓強(qiáng)差的儀器叫微壓計(jì)。實(shí)質(zhì)：應(yīng)用幾何原理測(cè)壓。金屬式電測(cè)式機(jī)械設(shè)備中測(cè)壓方法例2.為了測(cè)量高度差為z的兩個(gè)水管中的微小壓強(qiáng)差PB-PA,用頂部充有較水輕而與水不相混合的液體的倒U形管。已知A、B管中的液體相對(duì)密度d1=d3=1,倒U形管中液體相對(duì)密度d2=0.95,h1=h2=0.3m,h3=1m，試求壓強(qiáng)差PB-PA。解：逐段采用壓強(qiáng)公式，可算出：[例題3]如圖所示測(cè)定裝置，活塞直徑d=35mm，油的相對(duì)密度d油=0.92,水銀的相對(duì)密度d水銀=13.6，活塞與缸壁無(wú)泄漏和摩擦。當(dāng)活塞重為15N時(shí)，h=700mm，試計(jì)算U形管側(cè)壓計(jì)的液面高度△h值。（P35例題2.2)

p15598(Pa)15598[例題4]如下圖所示，用雙U形管測(cè)壓計(jì)測(cè)量A、B兩點(diǎn)的壓差。已知:§2.5平衡流體對(duì)壁面的作用力2.5.1作用在平面上的總壓力(水平面、垂直面、斜面)F1F2F3A1hA2A31、左側(cè)壁面受力2、右側(cè)壁面受力3、底面受力平面受力計(jì)算公式：：受力面形心點(diǎn)的壓強(qiáng)：受力面面積2.5.2

作用在曲面上的總壓力

：曲面在受力方向投影面形心點(diǎn)的壓強(qiáng)：曲面在受力方向投影面的面積1、水平方向上的力：2、豎直力：：壓力體（以曲面四周向自由面引投影線(xiàn)，曲面、自由面、投影線(xiàn)圍成的體積）方向：（1）實(shí)壓力體（給曲面以力的液體包含與壓力體之內(nèi)）向下（2）虛壓力體向上

曲面1曲面2曲面3曲面4曲面5壓力體壓力體壓力體壓力體壓力體例題5：繪出曲面壓力體圖，并標(biāo)出垂直分力的方向例題6：如圖為一貯水容器，器壁上有三個(gè)半球形蓋，設(shè)d=0.5m，h=2m，H=2.5m。試求作用在每個(gè)球蓋上的液體總壓力。解：1、底蓋底蓋左右兩部分曲面在鉛垂平面上的投影面積相同，故兩部分水平分力大小相等方向相反而抵消。所以液體總壓力，就等于垂直分力：

F1=ρgV=ρg【πd2/4×(H+h/2)+πd3/12】=7063（N）由于V為實(shí)壓力體，故F1的作用方向垂直向下，且通過(guò)壓力體中心。

2、頂蓋水平分力為零，總壓力等于垂直分力。

F2=ρgV=ρg【πd2/4×(H-h/2)-πd3/12】=2568（N）由于V為虛壓力體，故F1的作用方向垂直向上，且通過(guò)壓力體中心。

3、側(cè)蓋液體總壓力由垂直分力及水平分力合成，即；

FZ3=ρgπd3/12=321（N）(向下）由于V為實(shí)壓力體，故FZ3的方向垂直向下，且通過(guò)壓力體中心。

Fy3=ρgHAy=4813（N）（這樣即可，要寫(xiě)成合力的形式，則要求進(jìn)一步求出合力的方向）

例7如圖所示一弧形閘門(mén)，半徑R=7.5m，擋著深度h=4.8m的水，其圓心角。旋轉(zhuǎn)軸的位置距底為H=5.8m，閘門(mén)的水平投影CB=a=2.7m，閘門(mén)的寬度b=6.4m。試求作用在閘門(mén)上的總壓力的大小。[解]總壓力的水平分力為總壓力的垂直分力為

壓力體積=(三角形面積ABK+拱形面積AB)*b所以例8如圖所示，的斜壁上有一半徑為的圓孔，，現(xiàn)用一個(gè)半球面堵住孔，如圖所示。試求的大小?？仔牡纳疃葹榘肭蛎嫠芤后w壓強(qiáng)合力解題過(guò)程和答案見(jiàn)教材2.5.3作用在沉沒(méi)物體上的總壓力

物體浸在液體中的位置有三種：(1)物體沉到液體底部，此時(shí)物體為沉體；(2)物體潛入液體中的任何位置，此時(shí)物體為潛體；(3)物體浮在液體上，此時(shí)物體為浮體。液體作用在潛體或浮體上的總壓力叫浮力，浮力的作用