自動控制理論方煒安徽工業(yè)大學電氣信息學院第四章根軌跡法本章的主要內(nèi)容12廣義根軌跡3滯后系統(tǒng)的根軌跡4根軌跡的基本概念繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能5安徽工業(yè)大學電氣信息學院

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性由閉環(huán)極點（特征根）決定，系統(tǒng)暫態(tài)響應的基本特性也與閉環(huán)極點在s平面的分布有密切的關系。

伊凡思(W.R.Evans)提出了一種在復平面上由開環(huán)零極點確定閉環(huán)極點的圖解方法—根軌跡法。將系統(tǒng)的某一個參數(shù)（比如開環(huán)放大系數(shù)）的全部值與閉環(huán)特征根的關系表示在一張圖上。

高階系統(tǒng)特征根的求取比較困難，從而限制了時域分析法在二階以上系統(tǒng)中的廣泛應用。安徽工業(yè)大學電氣信息學院4-1根軌跡的基本概念[根軌跡定義]：

系統(tǒng)中某參量變化時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根(閉環(huán)極點)在s平面上運動而形成的軌跡。安徽工業(yè)大學電氣信息學院例：如圖所示二階系統(tǒng)，-特征方程為：閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：特征根為：安徽工業(yè)大學電氣信息學院[討論]：①當K=0時，s1=0,s2=-2,

是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點②當K=0.32時，s1=-0.4,s2=-1.6③當K=0.5時，s1=-1,s2=-1④當K=1時，s1=-1+j,s2=-1-j⑤當K=5時，s1=-1+3j,s2=-1-3j⑥當K=∞時，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j特征根為：安徽工業(yè)大學電氣信息學院根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)定性考察根軌跡是否進入右半s平面。穩(wěn)態(tài)性能開環(huán)傳遞函數(shù)在坐標原點的極點個數(shù)，就是系統(tǒng)的型號。根軌跡上的K值就是開環(huán)增益。（通常根軌跡增益與開環(huán)增益不同，但有一定的對應關系）動態(tài)性能由K值所對應的閉環(huán)極點分布來估計。安徽工業(yè)大學電氣信息學院根軌跡可以很直觀地表示出當參數(shù)K變化時閉環(huán)特征根的變化，反映出參數(shù)K對系統(tǒng)性能的影響；

也可以很方便地確定滿足系統(tǒng)性能要求的K值。安徽工業(yè)大學電氣信息學院系統(tǒng)的結構圖如下：-閉環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)特征方程式為：凡是滿足該方程的s值，就是系統(tǒng)的特征根，或者說是根軌跡上的點。

所以該方程也稱為根軌跡方程。4-2繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則一、根軌跡繪制條件安徽工業(yè)大學電氣信息學院把上式改寫為：為開環(huán)傳遞函數(shù)。因為s是復數(shù)，所以G(s)H(s)也是復數(shù)，需滿足幅值和幅角（相角）兩方面的條件，即：1.幅值條件：2.相角條件：安徽工業(yè)大學電氣信息學院為了把幅值條件和相角條件寫成更具體的形式，把開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下形式：∴幅值條件：安徽工業(yè)大學電氣信息學院∴相角條件：安徽工業(yè)大學電氣信息學院相角條件：幅值條件：

可見，幅值條件與Kg有關，相角條件與Kg無關。

因此，把滿足相角條件的s值代入到幅值條件中，一定能求得一個與之相對應的Kg值。即凡是滿足相角條件的點必然也同時滿足幅值條件；反之，滿足幅值條件的點未必都滿足相角條件。安徽工業(yè)大學電氣信息學院根軌跡就是s平面上滿足相角條件的點的集合。

通常根據(jù)相角條件繪制根軌跡；用幅值條件確定根軌跡上某些點對應的Kg值。

安徽工業(yè)大學電氣信息學院二、繪制根軌跡的基本規(guī)則下面介紹以Kg為參變量時繪制根軌跡的基本規(guī)則。（Kg從0變化到+∞）開環(huán)傳遞函數(shù)安徽工業(yè)大學電氣信息學院一般物理系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是實數(shù)，其根必為實根或共軛復根。因此根軌跡必然對稱于實軸。1、根軌跡的連續(xù)性和對稱性

閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的某些系數(shù)是增益Kg的函數(shù)。當Kg從0到無窮變化時，這些系數(shù)是連續(xù)變化的。故特征方程的根是連續(xù)變化的，即根軌跡曲線是連續(xù)曲線。安徽工業(yè)大學電氣信息學院根軌跡方程為：時為起點，時為終點。

當時，只有時，上式才能成立，所以根軌跡起始于開環(huán)極點。2、根軌跡的起點和終點根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。

n階系統(tǒng)有n個開環(huán)極點，分別是n支根軌跡的起點。安徽工業(yè)大學電氣信息學院

我們稱系統(tǒng)有n-m個無限遠零點。有限值零點加無窮遠零點的個數(shù)等于極點數(shù)。當時，①，上式成立。是開環(huán)傳遞函數(shù)有限值的零點，有m個。故n階系統(tǒng)有m支根軌跡的終點在m個有限零點處。②若n>m，那么剩余的n-m個終點在哪里呢？在無窮遠處。由根軌跡方程知：當時安徽工業(yè)大學電氣信息學院

n階特征方程有n個根。當Kg從0到無窮大變化時，n個根在復平面內(nèi)連續(xù)變化組成n支根軌跡。即根軌跡的支數(shù)等于系統(tǒng)階次。3、實軸上的根軌跡：

實軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)實數(shù)零點數(shù)和極點數(shù)的總和為奇數(shù)。安徽工業(yè)大學電氣信息學院[例]設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求實軸上的根軌跡。[解]：零極點分布如下：紅線所示為實軸上根軌跡，為：[-10，-5]和[-2，-1]。安徽工業(yè)大學電氣信息學院4、根軌跡的漸近線：漸近線包括兩個內(nèi)容：漸近線的傾角（漸近線與實軸的夾角）和漸近線與實軸的交點。

傾角：設根軌跡在無限遠處有一點，則s平面上所有的開環(huán)有限零點和極點到的相角都相等，即為漸近線的傾角。代入根軌跡的相角條件得：規(guī)定：相角逆時針為正，順時針為負。安徽工業(yè)大學電氣信息學院漸近線與實軸的交點安徽工業(yè)大學電氣信息學院[例]系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試確定根軌跡支數(shù)，起點和終點。若終點在無窮遠處，求漸近線與實軸的交點和傾角。

[解]：根軌跡有3支。

起點為開環(huán)極點無有限值零點，所以三支根軌跡都趨向無窮遠。漸近線與實軸的交點：漸近線與實軸的傾角：零極點分布和漸近線（紅線）如圖所示。安徽工業(yè)大學電氣信息學院5、根軌跡的會合點和分離點：若干根軌跡在復平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。如圖所示某系統(tǒng)的根軌跡，A點稱為根軌跡在實軸上的分離點，B點稱為根軌跡在實軸上的會合點。安徽工業(yè)大學電氣信息學院[分離點和會合點的求法]：設系統(tǒng)開環(huán)傳函：可由確定分離點或會合點。在分離點或會合點0根軌跡方程：安徽工業(yè)大學電氣信息學院

注意：上式只是確定分離點和會合點的必要條件，求出的解是否實際的分離點和會合點，還需進一步判斷。根據(jù)相應的規(guī)則判斷求出的點是否在根軌跡上。

求出這些點對應的增益，若增益為大于零的實數(shù)，則所求出的點為分離會合點。安徽工業(yè)大學電氣信息學院[例]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定實軸上根軌跡的會合點和分離點的位置。實軸上根軌跡區(qū)間是：顯然，-0.4725為分離點，而-3.5275不是分離回合點。[解]：閉環(huán)特征方程為：安徽工業(yè)大學電氣信息學院6、根軌跡的出射角和入射角根軌跡離開開環(huán)復極點的切線與實軸正方向的夾角稱為出射角；根軌跡進入開環(huán)復零點的切線與實軸正方向的夾角稱為入射角。在復數(shù)極點-pl

處的出射角為：——所有開環(huán)零點指向極點-pl矢量的相角之和。——除-pl之外的其余開環(huán)極點指向極點-pl

矢量的相角之和。安徽工業(yè)大學電氣信息學院在復數(shù)零點-zl

處的入射角為：——所有開環(huán)極點指向零點-zl矢量的相角之和?！?zl之外的其余開環(huán)零點指向零點-zl矢量的相角之和。安徽工業(yè)大學電氣信息學院[例]如圖，試確定根軌跡離開復數(shù)共軛極點的出射角。[解]：根據(jù)對稱性，可知點的出射角為：安徽工業(yè)大學電氣信息學院7、根軌跡和虛軸的交點：根軌跡和虛軸相交時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對共軛虛根。這時的增益稱為臨界根軌跡增益。

在閉環(huán)特征方程中令

，然后使特征方程的實、虛部為零即可求和

。

由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求解。交點和

的求法：安徽工業(yè)大學電氣信息學院方法一：用勞斯判據(jù)[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，試求根軌跡與虛軸的交點和。

閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：勞斯表：勞斯表中某一行全為零時，特征方程可出現(xiàn)共軛虛根。令，得臨界增益為：共軛虛根為輔助方程

的根，安徽工業(yè)大學電氣信息學院方法二：將代入得：當時，為根軌跡的起點（開環(huán)極點）當

時，，即根軌跡與虛軸的交點為。閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：安徽工業(yè)大學電氣信息學院8、特征根之和閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：

，即：比較上面各式得：

當n-m≥2時，

，即：對于任意的

，閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，為常數(shù)。表明：當

變化時，部分閉環(huán)極點在復平面上向右移動（變大），則另一些極點必然向左移動（變小）。安徽工業(yè)大學電氣信息學院根軌跡繪制舉例例1.具有一個零點和3個實極點的三階系統(tǒng)的根軌跡。設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：解：把開環(huán)傳遞函數(shù)化為零、極點形式安徽工業(yè)大學電氣信息學院1.根軌跡有3條分支，起點為開環(huán)極點0、0、-1/T，終點為開環(huán)零點-1/τ及無窮遠處。02.根軌跡在實軸上的分布為[-1/T，-1/τ]。3.根軌跡有n-m=2條漸近線，安徽工業(yè)大學電氣信息學院例2.具有一對開環(huán)復根和一個開環(huán)實零點的四階系統(tǒng)的根軌跡。設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：解：1.根軌跡有4條分支，起點為開環(huán)極點0、-3、-1+j、-1-j，終點為開環(huán)零點-2及無窮遠處。2.根軌跡在實軸上的分布為(-∞,-3]和[-2，0]。安徽工業(yè)大學電氣信息學院3.根軌跡有n-m=3條漸近線，4.極點-1+j的出射角為-26.6o

極點-1-j的出射角為+26.6o安徽工業(yè)大學電氣信息學院5.根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)特征方程為把s=jω代入上式可解得即根軌跡與虛軸的交點為，相應的根軌跡增益為Kgc=7。安徽工業(yè)大學電氣信息學院安徽工業(yè)大學電氣信息學院4-3廣義根軌跡其它種類的根軌跡:

3.正反饋回路和零度根軌跡

2.多回路系統(tǒng)的根軌跡1.參數(shù)根軌跡安徽工業(yè)大學電氣信息學院在實際系統(tǒng)設計中，除了根軌跡增益Kg外，還常常要分析其它參數(shù)變化時對閉環(huán)特征根的影響。比如，特殊的開環(huán)零、極點，校正環(huán)節(jié)的參數(shù)等。

除Kg以外的其它參數(shù)變化時閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的軌跡，就是參數(shù)根軌跡。

繪制方法：用特征方程中不含可變參數(shù)的部分去除特征方程，得到等效的開環(huán)傳遞函數(shù)，使參變量的位置與Kg的位置相當。一、參數(shù)根軌跡安徽工業(yè)大學電氣信息學院例1.一隨動系統(tǒng)如圖所示，試用根軌跡法分析其反饋系數(shù)Kf

對系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響。解：開環(huán)傳遞函數(shù)為等效開環(huán)傳遞函數(shù)為-特征方程為安徽工業(yè)大學電氣信息學院等效開環(huán)傳函1.根軌跡有兩條分支，起點為開環(huán)極點-1+j3、-1-j3

，終點為開環(huán)零點0及無窮遠處。2.根軌跡在實軸上的分布為(-∞,0]。03.求分離點和會合點。s1=-3.16為會合點，相應的Kf

=0.432s1=+3.16不在根軌跡上，舍去。Kf

=0.432安徽工業(yè)大學電氣信息學院4.求極點p1=–1+j3處的出射角由對稱性可知p2=-1-j3處的出射角為以Kf為參變量的根軌跡如圖所示。0Kf

=0.432等效開環(huán)傳函安徽工業(yè)大學電氣信息學院等效開環(huán)傳遞函數(shù)為分析：Kf為任何值系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。0Kf

=0.432當Kf<0.432時，系統(tǒng)有一對共軛復根，階躍響應為欠阻尼情況，且Kf越小，阻尼比越?。划擪f=0.432時，系統(tǒng)有二重根，階躍響應為臨界阻尼情況；當Kf

>0.432時，系統(tǒng)有兩個不相等的實根，階躍響應為過阻尼情況。安徽工業(yè)大學電氣信息學院等效開環(huán)傳遞函數(shù)為分析：0Kf=0.432用幅值條件可求得相應的Kf

值。求時的閉環(huán)極點及Kf

值。作的射線與根軌跡的交點即為所求閉環(huán)極點。AB安徽工業(yè)大學電氣信息學院[例]系統(tǒng)如下。試繪制Kg和p分別從零變化到無窮大時的根軌跡。-[解]：有兩種方法：

取Kg為不同值時，繪制參量p從零變化到無窮大時的參量根軌跡。這時，根軌跡方程為：

Kg不同時的根軌跡如下頁所示：安徽工業(yè)大學電氣信息學院安徽工業(yè)大學電氣信息學院

取p為不同值時，繪制參量Kg從零變化到無窮大時的根軌跡。這時，根軌跡方程為：

Kg不同時的根軌跡如右所示：安徽工業(yè)大學電氣信息學院二、多回路系統(tǒng)的根軌跡根軌跡不僅適合于單回路,也適用于多回路。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)特征方程以α為參數(shù)安徽工業(yè)大學電氣信息學院安徽工業(yè)大學電氣信息學院研究以Kc

為變量的根軌跡系統(tǒng)有兩個環(huán)，內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點就是外環(huán)的開環(huán)極點??！1）繪制內(nèi)環(huán)的根軌跡圖內(nèi)環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)根據(jù)根軌跡繪制規(guī)則繪制出以Kf為參數(shù)的內(nèi)環(huán)根軌跡圖安徽工業(yè)大學電氣信息學院安徽工業(yè)大學電氣信息學院2)確定內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點要求內(nèi)環(huán)的反饋系數(shù)

3.2<Kf<3.5內(nèi)環(huán)的特征方程可選Kf

=3.36,則求得內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點為3)繪制外環(huán)的根軌跡圖外環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)安徽工業(yè)大學電氣信息學院安徽工業(yè)大學電氣信息學院1、局部正反饋系統(tǒng)的框圖正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程三、正反饋回路和零度根軌跡安徽工業(yè)大學電氣信息學院幅值條件相角條件特征方程對于正反饋回路：相角條件為，因此通常也稱為零度根軌跡。安徽工業(yè)大學電氣信息學院繪制正反饋回路根軌跡的基本規(guī)則：（1）根軌跡的分支數(shù)(相同)（2）根軌跡的起點和終點(相同)（3）根軌跡的對稱性(相同)（4）實鈾上的根軌跡：實軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)實數(shù)零、極點數(shù)目之和為偶數(shù)。（5）根軌跡的漸近線：根軌跡漸近線與實袖的交點(相同)根軌跡漸近線與實軸正方向的夾角為安徽工業(yè)大學電氣信息學院（6）根軌跡的會合點和分離點(相同)（7）根軌跡的出射角和入射角（8）根軌跡與虛軸的交點(相同)（9）閉環(huán)極點的和(相同)安徽工業(yè)大學電氣信息學院例：控制系統(tǒng)方框圖如下所示系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)為正反饋，繪制內(nèi)環(huán)根軌跡圖。解：（1）內(nèi)環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)（3）實軸上的根軌跡（2）根軌跡的起點0，-1，-3終點均為∞

安徽工業(yè)大學電氣信息學院（4）根軌跡的漸近線（6）根軌跡的分離點特征方程安徽工業(yè)大學電氣信息學院安徽工業(yè)大學電氣信息學院在自動控制系統(tǒng)中有時會出現(xiàn)純時間滯后現(xiàn)象滯后環(huán)節(jié)的存在使系統(tǒng)的根軌跡具有一定的特殊性，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性會帶來不利的影響。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程這是一個超越方程，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根不再是有限個，而是無限多個，這是滯后系統(tǒng)的重要特征。4-4滯后系統(tǒng)的根軌跡安徽工業(yè)大學電氣信息學院滯后系統(tǒng)根軌跡繪制條件滯后系統(tǒng)根軌跡方程滯后系統(tǒng)特征方程安徽工業(yè)大學電氣信息學院幅值條件相角條件滯后系統(tǒng)根軌跡方程安徽工業(yè)大學電氣信息學院繪制滯后系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則：（3）實軸上的根軌跡：實軸上根軌跡區(qū)段的右側開環(huán)實零、極點數(shù)目之和為奇數(shù)。（1）滯后系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的并對稱于實軸（2）根軌跡的起點和終點起點終點安徽工業(yè)大學電氣信息學院（4）根軌跡的漸近線：根軌跡漸近線有無數(shù)條，且平行于實軸根軌跡漸近線僅與虛軸相交，交點為（5）根軌跡的分離點：安徽工業(yè)大學電氣信息學院（6）根軌跡的出射角和入射角：（7）根軌跡與虛軸的交點：安徽工業(yè)大學電氣信息學院例：設滯后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求繪制此系統(tǒng)的根軌跡圖。解：系統(tǒng)特征方程為繪制根軌跡的相角條件為（1）根軌跡的起點和終點起點-

p1=-1,σ=-∞終點趨于無窮遠安徽工業(yè)大學電氣信息學院（2）實軸上的根軌跡（-∞，-1]（3）根軌跡的漸近線平行于實軸并與虛軸交于（4）令k=0畫出主根軌跡k=0的根軌跡，稱為主根軌跡k=1、2、…的根軌跡，稱為輔助根軌跡作圖方法安徽工業(yè)大學電氣信息學院安徽工業(yè)大學電氣信息學院系統(tǒng)中滯后環(huán)節(jié)的存在對系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來不利影響,如果系統(tǒng)的開環(huán)增益較大,即使原來為一階的系統(tǒng)也可能變?yōu)椴环€(wěn)定系統(tǒng)。說明：1、以近似式畫出的根軌跡圖與主根軌跡近似。2、當開環(huán)增益較大時，近似方法誤差很大。近似方法：安徽工業(yè)大學電氣信息學院4-5利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能一、閉環(huán)零、極點分布與暫態(tài)響應的定性關系

對一個控制系統(tǒng)的基本要求是：系統(tǒng)要穩(wěn)定；暫態(tài)過程的快速性、平穩(wěn)性要好；穩(wěn)態(tài)誤差要小。閉環(huán)系統(tǒng)零、極點分布與系統(tǒng)性能的關系為：

1.要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)的閉環(huán)極點均位于s平面左半平面。

2.如果閉環(huán)極點均為負實數(shù)，且無零點，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應為非振蕩的，響應時間取決于距離虛軸最近的極點，若其它極點距離虛軸的距離比最近極點的距離大5倍以上，可以忽略不計。安徽工業(yè)大學電氣信息學院

3.如果系統(tǒng)具有一對閉環(huán)主導極點，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應呈振蕩性質(zhì)，其超調(diào)量主要取決于主導極點的衰減率并與其它極點接近原點的程度有關，調(diào)整時間主要取決于主導極點的實部安徽工業(yè)大學電氣信息學院

4.如果系統(tǒng)中存在非常接近的零點和極點，其相互距離比其本身的模值小一個數(shù)量級以上，則把這對閉環(huán)零、極點稱為偶極子。偶極子的位置距離原點非常近時，其對暫態(tài)響應的影響一般需要考慮，但不會影響閉環(huán)主導極點的主導作用。偶極子的位置距離原點較遠時，其對暫態(tài)響應的影響可以忽略。

單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)零點和閉環(huán)零點相同，在設計時可以有意識地在系統(tǒng)中加入適當?shù)牧泓c，以抵消對暫態(tài)過程影響較大的不利的極點，使系統(tǒng)的暫態(tài)性能得到改善。安徽工業(yè)大學電氣信息學院

5.除主導閉環(huán)極點外的其它實數(shù)極點的存在會增大系統(tǒng)的阻尼比，使響應速度減慢，超調(diào)量減少。閉環(huán)實數(shù)零點的存在減小系統(tǒng)阻尼，使響應速度加快，超調(diào)量增加。安徽工業(yè)大學電氣信息學院例.系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：解：該系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計算閉環(huán)主導極點具有阻尼比時的性能指標。安徽工業(yè)大學電氣信息學院分離點：與虛軸的交點：安徽工業(yè)大學電氣信息學院用幅值條件可求得相應的Kg值。求時的閉環(huán)極點及Kg值。作的射線與根軌跡的交點即為所求閉環(huán)極點。根據(jù)特征根之和的性質(zhì)，可求得第3個閉環(huán)極點為：安徽工業(yè)大學電氣信息學院超調(diào)量主導極點閉環(huán)特征方程為與典型二階系統(tǒng)相比較調(diào)整時間安徽工業(yè)大學電氣信息學院二、附加開環(huán)零點對根軌跡的影響漸近線與實軸傾角隨著m