第七章應(yīng)力和應(yīng)變分析強度理論

7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念

7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法

7-4二向應(yīng)力狀態(tài)分析-圖解法

7-5三向應(yīng)力狀態(tài)7-8廣義胡克定律

7-11四種常用強度理論第七章應(yīng)力和應(yīng)變分析

強度理論低碳鋼塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？鑄鐵問題的提出7—1應(yīng)力狀態(tài)的概念目錄脆性材料扭轉(zhuǎn)時為什么沿45o螺旋面斷開？低碳鋼鑄鐵7—1應(yīng)力狀態(tài)的概念目錄FNσF①同一截面上不同點的應(yīng)力——拉伸①同一截面上不同點的應(yīng)力TOτmaxτρρ①同一截面上不同點的應(yīng)力——扭轉(zhuǎn)τmax①同一截面上不同點的應(yīng)力

直桿拉伸應(yīng)力分析結(jié)果表明：即使同一點不同方向面上的應(yīng)力也是各不相同的，此即應(yīng)力的面的概念。7—1應(yīng)力狀態(tài)的概念

直桿拉伸{過一點不同方位截面上應(yīng)力情況，稱為這一點的應(yīng)力狀態(tài)（StateoftheStressesofaGivenPoint）。應(yīng)力哪一個面上？

哪一點？哪一點？

哪個方向面？指明點的應(yīng)力狀態(tài)的概念研究應(yīng)力狀態(tài)的目的：找出一點處沿不同方向應(yīng)力的變化規(guī)律，確定出最危險應(yīng)力，從而全面考慮構(gòu)件破壞的原因，建立適當(dāng)?shù)膹姸葪l件。一點的應(yīng)力狀態(tài)的描述研究一點的應(yīng)力狀態(tài)，可對一個包圍該點的微小正六面體——單元體進行分析各邊邊長,,dxdydz在單元體各面上標(biāo)上應(yīng)力——

應(yīng)力單元體

補例

已知構(gòu)件如圖。試取表面A點的單元體，并表明各面的應(yīng)力。AF2F2F

l/3

l/3

l/3

dAxzyA

σ

σxzyA

σ

σ單向應(yīng)力狀態(tài)（一個不為0的主應(yīng)力）

補例,

已知構(gòu)件如圖d=80mm。試取A點的單元體，并表明各面的應(yīng)力。M1=12kN·mDCA

a/22aM3=8kN·mM2=4kN·m

a/2

dABxzyAττ二向應(yīng)力狀態(tài)（兩個不為0的主應(yīng)力）Fl/2l/2S平面7—1應(yīng)力狀態(tài)的概念S平面543211232t1.斜截面上的應(yīng)力dAαnt

7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法目錄xy列平衡方程dAαnt目錄

7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法利用三角函數(shù)公式并注意到化簡得目錄

7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法2.正負(fù)號規(guī)則正應(yīng)力：拉為正；壓為負(fù)切應(yīng)力：使微元順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之為負(fù)。α角：由x軸正向逆時針轉(zhuǎn)到斜截面外法線時為正；反之為負(fù)。αntx目錄

7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法xy確定正應(yīng)力極值設(shè)α＝α0

時，上式值為零，即3.

正應(yīng)力極值和方向即α＝α0

時，切應(yīng)力為零目錄

7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別為最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力（主應(yīng)力）所在平面。所以，最大和最小正應(yīng)力分別為：主應(yīng)力按代數(shù)值排序：σ1σ2

σ3目錄

7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法試求（1）斜面上的應(yīng)力；

（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。例題1：一點處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知目錄

7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法解：（1）斜面上的應(yīng)力目錄

7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法（2）主應(yīng)力、主平面目錄

7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法主平面的方位：代入表達(dá)式可知主應(yīng)力方向：主應(yīng)力方向：目錄

7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法（3）主應(yīng)力單元體：目錄

7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法應(yīng)力狀態(tài)與強度理論例3

分析圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力狀態(tài)。解：確定危險點并畫其原始單元體求極值應(yīng)力txyCtyxMCxy鑄鐵圓軸扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象分析應(yīng)力狀態(tài)與強度理論xy

這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應(yīng)力圓

7-4二向應(yīng)力狀態(tài)分析-圖解法目錄2.應(yīng)力圓的畫法D(sx,txy)D/(sy,tyx)cRxy目錄

7-4二向應(yīng)力狀態(tài)分析-圖解法點面對應(yīng)——應(yīng)力圓上某一點的坐標(biāo)值對應(yīng)著單元體某一截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力3、幾個對應(yīng)關(guān)系D(sx,txy)D’(sy,tyx)cxyHnH轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)——半徑旋轉(zhuǎn)方向與截面法線的旋轉(zhuǎn)方向一致；二倍角對應(yīng)——半徑轉(zhuǎn)過的角度是截面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置方位角a0的解析式其中，為應(yīng)力圓圓心的橫座標(biāo)，為應(yīng)力圓的半徑。故得第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論或即圖c示出了主應(yīng)力和主平面的方位。sxsxADtsodacx'yy'45ox2×45o2×45obeBttotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45o2×45os1＝ts3＝tBEs3＝ts1＝tBE主應(yīng)力單元體D’例：求1）圖示單元體α=300斜截面上的應(yīng)力

2）主應(yīng)力、主平面（單位：MPa）。60EFτσO2、量出所求的物理量解：1、按比例畫此單元體對應(yīng)的應(yīng)力圓Hn1．任意斜截面上應(yīng)力§7-5三向應(yīng)力狀態(tài)2．主應(yīng)力sataotmax彈性理論證明，單元體內(nèi)任意一點任意截面上的應(yīng)力都對應(yīng)著應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點。1.基本變形時的胡克定律yx1）軸向拉壓胡克定律橫向變形2）純剪切胡克定律

7-8廣義胡克定律目錄1、單拉下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系xyz

x2、純剪的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系xyz

x

y§7-8廣義虎克定律3、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系xyzxxyzy條件：各向同性材料，彈性范圍內(nèi)，線彈性材料，小變形。1）在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)變分量可由各應(yīng)力分量引起的應(yīng)變分量疊加得到。2）正應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)，剪應(yīng)變只與剪應(yīng)力有關(guān)，線變形與角變形的相互影響可以略去。123主應(yīng)力---主應(yīng)變關(guān)系4、平面狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系:補例:已知單元體如圖。試求±45o方向的ε±450

τ

x’

45o

-45o

解：xτ

x’

45o

-45o

σ3=τ

σ1=τy

σx=－τ，σy=τ,σz=0§7－9復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度應(yīng)力狀態(tài)與強度理論根據(jù)能量守恒原理，材料在彈性范圍內(nèi)工作時，微元三對面上的力在由各自對應(yīng)應(yīng)變所產(chǎn)生的位移上所做的功，全部轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N能量，儲存于微元內(nèi)。這種能量稱為彈性應(yīng)變能，簡稱應(yīng)變能，用dVε表示。dV表示微元的體積，則dVε

/dV為應(yīng)變能密度

xyzszsysx23

1應(yīng)力狀態(tài)與強度理論三向應(yīng)力狀態(tài)下，總應(yīng)變能密度表達(dá)式應(yīng)力狀態(tài)與強度理論23

1圖am圖b圖

cmm

1-m2-m

-m3—體積改變能密度—畸變能密度物體變形時，包含了體積改變與形狀改變?？倯?yīng)變能密度包含相互獨立的兩個部分三向等拉應(yīng)力狀態(tài)，只有體積改變只有形狀改變應(yīng)力狀態(tài)與強度理論則畸變能密度：代入將xyＡ13例：用能量法證明三個彈性常數(shù)間的關(guān)系。、純剪單元體的比能為：、純剪單元體比能的主應(yīng)力表示為：（拉壓）（彎曲）（正應(yīng)力強度條件）（彎曲）（扭轉(zhuǎn)）（切應(yīng)力強度條件）桿件基本變形下的強度條件7-11四種常用強度理論目錄滿足是否強度就沒有問題了？目錄7-11四種常用強度理論強度理論：人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過判斷推理、概括，提出了種種關(guān)于破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論。

為了建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件，而提出的關(guān)于材料破壞原因的假設(shè)及計算方法。目錄7-11四種常用強度理論構(gòu)件由于強度不足將引發(fā)兩種失效形式

(1)脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關(guān)于屈服的強度理論：最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論

(2)塑性屈服（流動）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。關(guān)于斷裂的強度理論：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長線應(yīng)變理論目錄7-11四種常用強度理論1.最大拉應(yīng)力理論（第一強度理論）－構(gòu)件危險點的最大拉應(yīng)力－極限拉應(yīng)力，由單拉實驗測得目錄7-11四種常用強度理論無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內(nèi)的最大拉應(yīng)力達(dá)到簡單拉伸時的破壞拉應(yīng)力數(shù)值。斷裂條件強度條件最大拉應(yīng)力理論（第一強度理論）鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)目錄7-11四種常用強度理論簡單拉伸破壞試驗得到最大拉應(yīng)力脆斷準(zhǔn)則：相應(yīng)的強度條件：適用范圍：雖然只突出而未考慮的影響，它與鑄鐵，工具鋼，工業(yè)陶瓷等多數(shù)脆性材料的實驗結(jié)果較符合。特別適用于拉伸型應(yīng)力狀態(tài)（如），混合型應(yīng)力狀態(tài)中拉應(yīng)力占優(yōu)者（但）。2.最大伸長拉應(yīng)變理論（第二強度理論）無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內(nèi)的最大拉應(yīng)變（線變形）達(dá)到簡單拉伸時的破壞伸長應(yīng)變數(shù)值。－構(gòu)件危險點的最大伸長線應(yīng)變－極限伸長線應(yīng)變，由單向拉伸實驗測得目錄7-11四種常用強度理論實驗表明：此理論對于一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論更接近實際情況。強度條件最大伸長拉應(yīng)變理論（第二強度理論）斷裂條件即目錄7-11四種常用強度理論無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元內(nèi)的最大切應(yīng)力達(dá)到了某一極限值。3.最大切應(yīng)力理論（第三強度理論）－構(gòu)件危險點的最大切應(yīng)力－極限切應(yīng)力，由單向拉伸實驗測得目錄7-11四種常用強度理論屈服條件強度條件最大切應(yīng)力理論（第三強度理論）低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉(zhuǎn)目錄7-11四種常用強度理論實驗表明：此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實。局限性：

2、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象。1、未考慮的影響，試驗證實最大影響達(dá)15%。最大切應(yīng)力理論（第三強度理論）目錄7-11四種常用強度理論適用范圍：雖然只考慮了最大剪應(yīng)力，而未考慮其它兩個剪應(yīng)力的影響，但與低碳鋼、銅、軟鋁等塑性較好材料的屈服試驗結(jié)果符合較好；并可用于像硬鋁那樣塑性變形較小，無頸縮材料的剪切破壞，無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元的最大形狀改變比能達(dá)到一個極限值。4.形狀改變比能理論（第四強度理論）－構(gòu)件危險點的形狀改變比能－形狀改變比能的極限值，由單拉實驗測得目錄7-11四種常用強度理論屈服條件強度條件形狀改變比能理論（第四強度理論）實驗表明：對塑性材料，此理論比第三強度理論更符合試驗結(jié)果，在工程中得到了廣泛應(yīng)用。目錄7-11四種常用強度理論強度理論的統(tǒng)一表達(dá)式：相當(dāng)應(yīng)力目錄7-11四種常用強度理論例試寫出扭轉(zhuǎn)軸四個強度理論的強度條件。mm解：7-11四種常用強度理論例題已知：和。試寫出最大切應(yīng)力準(zhǔn)則和形狀改變比能準(zhǔn)則的表達(dá)式。解：首先確定主應(yīng)力{強度理論的選擇

一般情況下，我們是根據(jù)材料選擇相應(yīng)的強度條件的。處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)并在常溫和靜載條件下的脆性材料，多發(fā)生斷裂破壞，通常采用第一強度理論。塑性材料多發(fā)生屈服破壞，應(yīng)該采用第三強度理論或第四強度理論。前者表達(dá)式比較簡單，后者用于設(shè)計可得較為經(jīng)濟的截面尺寸。也要注意少數(shù)特殊情況下，還須按可能發(fā)生的破壞形式和應(yīng)力狀態(tài)，來選擇適宜的強度理論，對構(gòu)件進行強度計算。例如，在低溫或三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)情況下，不論是脆性還是塑性材料，都應(yīng)采用最大拉應(yīng)力理論；在三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)情況下，不論是塑性材料還是脆性材料，都應(yīng)該采用第三或第四強度理論。四、強度理論的應(yīng)用（一）強度計算的步驟：1、外力分析：確定全部的外力。2、內(nèi)力分析：畫內(nèi)力圖，確定可能的危險面。3、應(yīng)力分析：畫危險截面應(yīng)力分布圖，確定危險點并畫出其單元體，求主應(yīng)力。4、強度分析：選擇適當(dāng)?shù)膹姸壤碚?，計算相?dāng)應(yīng)力，然后進行強度計算。應(yīng)力狀態(tài)與強度理論（二）強度理論的選用原則：依破壞形式而定。1、脆性材料：當(dāng)最小主應(yīng)力大于等于零時，使用第一理論（大多數(shù)情況選用）；3、簡單變形時：一律用與其對應(yīng)的強度準(zhǔn)則。如拉壓，扭轉(zhuǎn)：2、塑性材料：當(dāng)最小主應(yīng)力大于等于零時，使用第一理論；4、破壞形式還與溫度、變形速度等有關(guān)！當(dāng)最大主應(yīng)力小于等于零時，使用第三或第四理論。其它應(yīng)力狀態(tài)時，使用第三或第四理論（大多數(shù)情況選用）

。應(yīng)力狀態(tài)與強度理論解：危險點A的應(yīng)力狀態(tài)如圖：例6

直徑為d=0.1m的鑄鐵圓桿受力如圖,T=7kNm,P=50kN,[]=40MPa,

試用第一強度理論校核桿的強度。故，安全。PPTTAA

應(yīng)力狀態(tài)與強度理論例7薄壁圓筒受最大內(nèi)壓時,測得x=1.8810-4,y=7.3710-4,已知鋼的E=210GPa，[]=170MPa,泊松比=0.3，試用第三強度理論校核其強度。解：由廣義虎克定律得:AsxsyxyA所以，此容器不滿足第三強度理論。不安全。應(yīng)力狀態(tài)與強度理論已知：[σ]=140MPa,[τ]=90MPa試設(shè)計工字梁。例8Mx84KN.mAB250cm200KN200KN4242CD（1）求內(nèi)力，作內(nèi)力圖。解：查表知，可選No.32a工字鋼,Wz=692.2cm3,d=9.5mm（3）用剪應(yīng)力強度條件校核xFS200KN200KN（2）由正應(yīng)力條件求Wz（4）再對翼緣和腹板的交界處的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)進行校核。

故應(yīng)增加鋼號，可選No.32c工字鋼,Wz=761cm3,這時，交界處σ=100MPa，τ=37.32MPa，σr3=124.8MPa<[σ],滿足強度。已知：[σ]=140MPa,[τ]=90MPa試設(shè)計工字梁。例9Mx84KN.mAB250cm200KN200KN4242CD解：xFS200KN200KN§7-12莫爾強度理論1．不同于四個經(jīng)典強度理論，莫爾理論不致力于尋找（假設(shè)）引起材料失效的共同力學(xué)原因，而致力于盡可能地多占有不同應(yīng)力狀態(tài)下材料失效的試驗資料，用宏觀唯象的處理方法力圖建立對該材料普遍適用（不同應(yīng)力狀態(tài)）的失效條件。2．自相似應(yīng)力圓與材料的極限包絡(luò)線

自相似應(yīng)力圓：如果一點應(yīng)力狀態(tài)中所有應(yīng)力分量隨各個外載荷增加成同一比例同步增加，則表現(xiàn)為最大應(yīng)力圓自相似地擴大。材料的極限包絡(luò)線：隨著外載荷成比例增加，應(yīng)力圓自相似地擴大，到達(dá)該材料出現(xiàn)塑性屈服或脆性斷裂時的極限應(yīng)力圓。只要試驗技術(shù)許可，務(wù)求得到盡可能多的對應(yīng)不同應(yīng)力狀態(tài)的極限應(yīng)力圓，這些應(yīng)力圓的包絡(luò)線即該材料的極限（狀態(tài)）包絡(luò)線。3．對拉伸與壓縮極限應(yīng)力圓所作的公切線是相應(yīng)材料實際包絡(luò)線的良好近似（圖b）。實際載荷作用下的應(yīng)力圓落在此公切線之內(nèi)，則材料不會失效，到達(dá)此公切線即失效。由圖示幾何關(guān)系可推得莫爾強度失效準(zhǔn)則?；?．適用范圍：1）適用于從拉伸型到壓縮型應(yīng)力狀態(tài)的廣闊范圍，可以描述從脆性斷裂向塑性屈服失效形式過渡（或反之）的多種失效形態(tài)，例如“脆性材料”在壓縮型或壓應(yīng)力占優(yōu)的混合型應(yīng)力狀態(tài)下呈剪切破壞的失效形式。2）特別適用于抗拉與抗壓強度不等的材料。3）在新材料（如新型復(fù)合材料）不斷涌現(xiàn)的今天，莫爾理論從宏觀角度歸納大量失效數(shù)據(jù)與資料的唯象處理方法仍具有廣闊應(yīng)用前景?！?-13構(gòu)件含裂紋時的斷裂準(zhǔn)則1．概述隨著現(xiàn)代技術(shù)與工業(yè)的發(fā)展，新材料、新工藝，大型結(jié)構(gòu)與構(gòu)件的出現(xiàn)和工作環(huán)境的苛刻化，構(gòu)件中隱含宏觀裂紋或由微觀裂紋成長為宏觀裂紋的機會大大增加，宏觀裂紋發(fā)展到了臨