第十一章連續(xù)小波變換

短時傅里葉變換必須在時域分辨率和頻域分辨之間做折衷

Gabor變換在時頻相平面上按固定窗口大小堆砌理想狀態(tài)

既能用短持續(xù)時間的窗函數對信號中的快速變化分析

又能用長持續(xù)時間窗函數對信號中的緩慢變化分析

時頻堆砌“變焦”功能示意圖寬分析窗窄分析窗小波變換的發(fā)展地質物理學家J.Morlet提出了分析窗的尺度伸縮和平移概念數學家Y.Meyer構造了近似光滑的正交小波基S.Mallat提出了多分辨率概念，引出構造正交小波基的一般方法I.Daubeices在此基礎上構造了著名的Daubeices正交小波基11．1分析窗的尺度伸縮和平移特性 分析窗函數（小波函數）的時域局域化指標分析窗的尺度伸縮平移尺度伸縮平移窗函數的局域化指標尺度伸縮平移窗函數的特性尺度a增加，分析窗時域伸展，帶寬變小尺度a減小，分析窗時域收縮，帶寬變大分析窗的時間——帶寬乘積等于常數例，尺度調節(jié)對時頻相平面的影響調節(jié)尺度可改變分析窗的時、頻域分辨率，類似調節(jié)顯微鏡的焦距尺度大時，可以觀察被分析信號的低頻頻部分（信號全貌）尺度小時，可以觀察被分析信號的細節(jié)或局部11．2連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換的定義時域和頻域局域化特性的分析窗（小波）函數信號小波函數尺度伸縮與平移CWT變換某尺度下CWT的計算過程某尺度和某位移下的CWT值等于求信號與小波函數的尺度伸縮平移的相關連續(xù)小波變換的頻域分析頻域觀察CWT的物理意義若小波函數的頻譜具有帶通特性，不同尺度CWT等效提取信號在不同頻帶的成份尺度參數a與模擬角頻率參數等效頻域局域化指標為尺度大，帶寬小，便于精確分析信號中的低頻成份尺度小，帶寬大，便于分析信號中的高頻成份典型小波函數不同尺度下的頻率特性連續(xù)小波變換的逆變換Moyal定理連續(xù)小波變換的逆變換小波函數的特性振蕩性正則性小波函數的階原點距正則性小波函數的正則性階次為p時，小波變換中只包含被分析信號的p階導數以上的成份當需要提取被分析信號的快速變化信息時，必須選擇正則性條件高的小波函數其它特性光滑性和連續(xù)性:避免短時加窗截斷時的非線性影響

緊支集性:時域或頻域緊支性可保證小波函數在一個域中具有最好的局域化特性線性相位性:防止小波變換過程中產生相位失真正交性:變換之后的冗余度最小，實現最大限度的數據壓縮具有解析表達式:方便連續(xù)小波變換的計算常見小波函數Morlet小波Haar小波墨西哥草帽（MexicanHat）或Marr小波Meyer小波無解析表達式的小波Daubechies小波系列dbN；雙正交小波系列biorNr.Nd;Coiflet小波系列Symlets小波系列symN;樣條小波系列Matlab工具箱中常用小波及其特性比較11．3連續(xù)小波變換的性質線性性時移不變性尺度伸縮性內積定理（Moyal定理）交叉項特性冗余度和再生核CWT變換結果中信息是冗余:離散化的依據，降噪

選擇正交基小波函數可去除CWT變換中的相關性11．4連續(xù)小波變換的計算機實現CWT變換的數值卷積實現CWT卷積法計算過程由計算歸一化尺度a=1時小波函數對應的短時分析窗寬度

Ts1小波采樣頻率

Ts信號采樣頻率任意尺度a小波函數對應的短時分析窗對抽樣或插值得

CWT變換的最大尺度值

MatlabCWT變換函數：Coefs=CWT（x，scale，‘wname’）分析50HZ和450HZ信號成份尺度的選擇采樣頻率為時，50HZ信號成份一個周期對應400個點，450HZ信號成份一個周期對應44個點左右。尺度等于1時對應的分析窗寬度約為4個采樣點。只有當尺度等于100左右時，分析窗的寬度才能與50HZ信號成份相匹配，當尺度等于10左右時，分析窗的寬度可以與450HZ信號成份相匹配CWT變換的應用特點可以在某一局部尺度范圍內對信號進行精確分析較小時，分析步長仍可選任意小應用梅林變換計算CWTCWT卷積算法一次可以計算固定尺度下不同位移處的CWT值梅林變換一次可以計算固定位移下不同尺度處的CWT值梅林變換梅林逆變換梅林變換時間方向的對數壓縮梅林變換性質