四、二次曲面第四單元向量代數(shù)與空間解析幾何一、曲面方程的概念二、旋轉曲面

三、柱面§4.2曲面與曲線方程五、空間曲線的一般方程六、空間曲線的參數(shù)方程七、空間曲線在坐標面上的投影一、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:動點軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.解:設軌跡上的動點為軌跡方程.

定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關系:(1)曲面

S上的任意點的坐標都滿足此方程則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標不滿足此方程求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).故所求方程為例1.

求動點到定點方程.特別,當M0在原點時,球面方程為解:

設軌跡上動點為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.例2.

研究方程解:

配方得可見此方程表示一個球面說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為球心為一個球面,或點,或虛軌跡.定義2.一條平面曲線二、旋轉曲面

繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸.例如:建立yOz面上曲線C

繞

z

軸旋轉所成曲面的方程:故旋轉曲面方程為當繞

z軸旋轉時,若點給定yOz

面上曲線

C:則有則有該點轉到思考：當曲線C繞y軸旋轉時，方程如何？例3.試建立頂點在原點,旋轉軸為z

軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yOz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉時,圓錐面的方程為兩邊平方例4.

求坐標面xOz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程.解:繞

x

軸旋轉繞

z

軸旋轉這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為三、柱面引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解:在

xOy面上，表示圓C,沿圓周C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,定義3.平行定直線并沿定曲線C

移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準線為xOy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.z

軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準線,l

叫做母線.一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準線xOz

面上的曲線l3.母線柱面,準線

xOy

面上的曲線l1.母線準線

yOz面上的曲線l2.母線四、二次曲面三元二次方程適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形統(tǒng)稱為二次曲面.(二次項系數(shù)不全為0)1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓與的交線為橢圓：(4)當a＝b

時為旋轉橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當a＝b＝c

時為球面.(3)截痕:為正數(shù))2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號)(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）(p,q同號)特別,當p=q時為繞

z軸的旋轉拋物面.3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為(實軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:雙曲線:虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z

軸;相交直線:雙曲線:(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面P18圖形4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x

或y方向的伸縮變換得到)五、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線

C.C又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.六、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動點坐標

x,y,z表示成參數(shù)

t

的函數(shù):稱它為空間曲線的參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度,稱為螺距

.例5.將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:(1)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),(2)將第二方程變形為故所求為得所求為例6.求空間曲線:繞z

軸旋轉時的旋轉曲面方程.解:點M1繞

z

軸旋轉,轉過角度后到點則這就是旋轉曲面滿足的參數(shù)方程.例如,

直線繞z

軸旋轉所得旋轉曲面方程為消去t

和

,得旋轉曲面方程為繞z

軸旋轉所得旋轉曲面(即球面)方程為又如,

xOz

面上的半圓周說明:

一般曲面的參數(shù)方程含兩個參數(shù),形如七、空間曲線在坐標面上的投影設空間曲線C的一般方程為消去

z

得投影柱面則C在xOy面上的投影曲線C′為消去x得C在yOz

面上的投影曲線方程消去y得C在zOx面上的投影曲線方程例如,在xOy面上的投影曲線方程為又如,所圍的立體在xOy

面上的投影區(qū)域為:上半球面和錐面在xOy面上的投影曲線二者交線所圍圓域:二者交線在xOy面上的投影曲線所圍之域.內容小結1.

空間曲面三元方程

球面

旋轉曲面如,曲線繞z

軸的旋轉曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z

軸的柱面.又如,橢圓