CH5

留數(shù)1、孤立奇點

2、留數(shù)(Residue)

3、留數(shù)在定積分計算上的應用§5.1

孤立奇點1.定義2.分類3.性質4.零點與極點的關系5.函數(shù)在無窮遠點的狀態(tài)1.定義例如----z=0為孤立奇點----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇點----z=1為孤立奇點定義~~~~~~~~~xyo這說明奇點未必是孤立的.2.分類以下將f(z)在孤立奇點的鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù)，根據(jù)展開式的不同情況，將孤立點進行分類.考察：特點：沒有負冪次項特點：只有有限多個負冪次項特點：有無窮多個負冪次項定義設z0是f(z)的一個孤立奇點，在z0

的去心鄰域內(nèi)，若f(z)的洛朗級數(shù)沒有負冪次項，稱z=z0為可去奇點;只有有限多個負冪次項，稱z=z0為m階極點;有無窮多個負冪次項，稱z=z0為本性奇點.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3.性質若z0為f(z)的可去奇點若z0為f(z)的m(m1)

階極點例如：z=1為f(z)的一個三階極點，z=i為f(z)的一階極點.若z0為f(z)的本性奇點4.零點與極點的關系定義不恒等于0的解析函數(shù)f(z)如果能表示成則稱z=z0為f(z)的m階零點.例如：性質1事實上，必要性得證！充分性略！例如性質2性質3:證明“”

若z0為f(z)的m階極點推論:極點的判定方法小結：的負冪項為有的洛朗展開式中含有限項.在點的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且(1)由定義判別(2)由定義的等價形式判別(3)利用極限判斷.(4)利用零點和極點關系判斷.例解顯然，z=i是(1+z2)的一階零點綜合解(8)

函數(shù)除點外,所以這些點都是的一階零點,故這些點中除1,2外,都是的三階極點.內(nèi)解析.在都是的三階零點,那么是的可去奇點.不是的孤立奇點.由無窮點孤立奇點定義5.函數(shù)在無窮遠點的狀態(tài)定義令變換規(guī)定此變換將:映射為擴充z

平面擴充t平面映射為映射為映射為規(guī)定1.留數(shù)的定義

2.留數(shù)定理

3.留數(shù)的計算規(guī)則

4.在無窮遠點的留數(shù)§5.2留數(shù)(Residue)1.留數(shù)的定義設為的一個孤立奇點;內(nèi)的洛朗級數(shù):在.的某去心鄰域C為鄰域內(nèi)包含的任一條正向簡單閉曲線0(高階導數(shù)公式)0(柯西-古薩基本定理)定義設z0為f(z)的孤立奇點，f(z)在z0鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)中負冪次項(z-z0)–1的系數(shù)c–1

稱為f(z)在z0的留數(shù)，記作Res[f(z),z0]

或Resf(z0).由留數(shù)定義,

Res[f(z),z0]=c–1

(1)2.留數(shù)定理定理證明Dcznz1z3z2由復合閉路定理得：用2i除上式兩邊得:得證！

求沿閉曲線c的積分，歸之為求在c中各孤立奇點的留數(shù).

一般求Res[f(z),z0]是采用將f(z)在z0鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)求系數(shù)c–1的方法,但如果能先知道奇點的類型，對求留數(shù)更為有利.以下就三類孤立奇點進行討論：3.留數(shù)的計算規(guī)則規(guī)則I規(guī)則II事實上，由條件當m=1時，式(5)即為式(4).規(guī)則III事實上，例1解例2解例3解例4解故由留數(shù)定理得：

(1)要靈活運用規(guī)則及洛朗級數(shù)展開來求留數(shù)，不要死套規(guī)則.如是f(z)的三階極點.---該方法較規(guī)則II更簡單！

(2)由規(guī)則II的推導過程知，在使用規(guī)則II時，可將m取得比實際級數(shù)高，這可使計算更簡單.如3.在無窮遠點的留數(shù)定義由此得注意積分路線取順時針方向定理如果f(z)在擴充復平面內(nèi)只有有限個孤立奇點（包括無窮遠點），那么f(z)在所有孤立奇點

的留數(shù)和等于零......證由留數(shù)定義有:(繞原點的并將內(nèi)部的正向簡單閉曲線)包含在[證畢]說明:由定理得(留數(shù)定理)計算積分計算無窮遠點的留數(shù).計算無窮遠點的留數(shù)的方法.練習解在內(nèi)§5.3留數(shù)在定積分計算上的應用在數(shù)學分析中，以及許多實際問題中，往往要求計算出一些定積分或反常積分的值，而這些積分中的被積函數(shù)的原函數(shù)，不能用初等函數(shù)表示出來；例如或者有時可以求出原函數(shù)，但計算也往往非常復雜，例如（2）利用留數(shù)計算積分，沒有一些通用的方法，我們主要通過例子進行討論；利用留數(shù)計算積分的特點：（1）利用留數(shù)定理，我們把計算一些積分的問題，轉化為計算某些解析函數(shù)在孤立奇點的留數(shù)，從而大大化簡了計算；例1.

計算積分思想方法

:封閉路線的積分

.兩個重要工作:1)積分區(qū)域的轉化2)被積函數(shù)的轉化把定積分化為一個復變函數(shù)沿某條解：令而且當t從0增加到時，z按逆時針方向繞圓C:|z|=1一周.因此于是應用留數(shù)定理，只需計算在|z|<1內(nèi)極點處的留數(shù)，就可求出I.上面的被積函數(shù)有兩個極點：顯然因此被積函數(shù)在|z|<1內(nèi)只有一個極點z1，而它在這點的留數(shù)是：于是求得結論1.

計算形如的積分，其中R(x,y)是有理分式，并且在圓C:|z|=1上，分母不等于零時可得：

z的有理函數(shù),且在單位圓周上分母不為零,滿足留數(shù)定理的條件.包圍在單位圓周內(nèi)的孤立奇點.例2.

計算積分2.

積分區(qū)域的轉化:取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線,使與區(qū)間一起構成一條封閉曲線,并使R(z)在其內(nèi)部除有限孤立奇點外處處解析.(此法常稱為“圍道積分法”)1.

被積函數(shù)的轉化:(當z在實軸上的區(qū)間內(nèi)變動時,R(z)=R(x))可取

f(z)=R(z).解：首先，這是一個廣義積分，它顯然是收斂的.我們應用留數(shù)定理來計算它.考慮函數(shù)這個函數(shù)有兩個二階極點，在上半平面上的一個是z=i.作以O為心、r為半徑的圓盤.xy..其中表示Cr上的圓弧部分，沿它的積分是按幅角增加的方向取的.考慮這一圓盤在上半平面的部分，設其邊界為Cr.取r>1，那么z=i包含在Cr的內(nèi)區(qū)域內(nèi),沿

Cr取的積分，得xy..現(xiàn)在估計積分我們有因此令，就得到xy..結論2.應用同樣得方法，我們可以計算一般形如的積分，其中R(x)是有理分式，分母在實軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高2次.例3.

計算積分解：取r>0，則有函數(shù)在時有一階極點z=i外，在其他每一點都解析,取積分區(qū)域如圖，而只要取r>1.于是我們有xy..于是我們有其中表示Cr上的圓弧部分，沿它的積分是按幅角增加的方向取的.xy..結論3.應用同樣得方法，我們可以計算一般形如的積分，其中R(x)是有理分式，分母在實軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高1次.xy..其中R(x,y)是有理分式，并且在圓C:|z|=1上，分母不等于零.

結論1：其中R(x)是有理分式，分母在實軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高2次.結論2：其中R(x)是有理分式，分母在實軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高1次.結論3：

練習.

計算下列積分.在上半平面只有一階極點又

例4.

計算積分函數(shù)只是在z=0有一個一階極點.解：取，使于是我們有作積分路徑如右圖,在上半平面上作以原點為心,為半徑的半圓

的積分分別是按幅角減小與增加的方向取的.現(xiàn)在求當趨近于0時，的極限.圍道積分法其中h(z)是在z=0的解析函數(shù).因此由于，h(z)在z=0的解析，在z=0的一個鄰域內(nèi)，|h(z)|有上界當時于是當充分小時從而令，應用結論3的推導過程，可以得到所求積分收斂，并且本章作業(yè)1.（3），（5），（9）；8.（3），（5），（6），（7）；9.（1），（